第二章《轴对称》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测

第二章《轴对称》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测
一、选择题
1．（2024七下·揭西期末）围棋是一种棋类游戏，属于琴棋书画四艺之一，其起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：B、C、D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴逐项分析即可求解.
2．（2024八上·南宁月考）现需要在某条街道上修建一个核酸检测点P，向居住在A，B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A，B的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点，然后连接B和对称点交直线l于点P，点P即为所求，故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】作A关于直线l的对称点，然后连接B和对称点交直线l于点P，点P即为所求.
3．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
4．如图是由4个相同的小正方形组成，△ABC 的顶点都落在小正方形的顶点上，则与△ABC 成轴对称，并且顶点都落在小正方形的顶点上的三角形有(　　).
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称的三角形有①△EBF关于BD对称；②△DAC关于GH对称；③△AHE关于AF对称；④△GCF关于CE对称；⑤△CBD关于AD的垂直平分线对称，共5个
故答案为：A .
【分析】本题要找一格点为顶点的与△ABC成轴对称的三角形，则可取的对称轴有BD、GH、AF、CE、以及AD的垂直平分线共五条，故可找到5个符合条件的三角形.
5．（2025七下·武侯期末） 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵S△ABP=S△ACP，
∴BP=CP，
∴作BC的垂直平分线与BC的交点即为点P，
∴A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”和垂直平分线的只规作图法判断即可.
6．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等要三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
7．（2023八上·建始期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确，符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C错误，不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由作图痕迹可得BH垂直平分线段AD，可判断A选项，S△ABC= BC AH，可判断C选项， 由题意不能B、D不一定正确，即可得解.
8．（2025八上·嵊州期末）如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形，
选项A补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两边的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”解题即可．
9．（2024八上·东莞期中）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：
∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
∴OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，
∵ 点，分别是底边，的中点，
∴OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF.
故选项C结论正确，不符合题意；
，
，
，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故结论A正确，不符合题意；
B.不一定等于，故选项B结论不正确，符合题意.
D.同“OB⊥OD”的方法，可证得：OA⊥OC，
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOD+∠BOC=180°.
故选项D结论正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A.由对称的性质得OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，由等腰三角形“三线合一”的性质OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，即可判断选项C；由垂线的定义可得∠BOE+∠BOF=90°，等量代换即可得∠BOD=90°，可判断A；不一定等于，可判断B；证明∠AOC=∠BOD=90°，相加即可得到结论并判断D.
10．（2025八上·台州期末）如图，是等边三角形，，与的角平分线交于点，过点作，交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠OBD=∠OCB=∠OCE=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵∠DOB=∠OBC=30°，
∴∠DBO=∠DOB=30°，
∴BD=OD，
同法可证EO=EC，
∴DE=AD=2BD，
∴3DB=1，
∴，
故选：B
【分析】证明△ADE是等边三角形，DE=2BD，推出AD=2BD，再根据AB=BC=1可得结论.
二、填空题
11．（2025七下·杭州期末） 如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为　 　．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵该同学用尺规分别作出了AB、AC的垂直平分线
∴BD=AD，AE=EC
∵BD=2，CD=7 ∴AD=2，CD=CE+ED=AE+ED=7
∵
∴
故答案为：9.
【分析】先由尺规作图的画法判断作出的是什么图形，再根据线段垂直平分线的性质定理计算三角形的周长。
12．如图，设l1和l2是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在l1和l2之间，小球在镜l1中的像为A'，A'在镜l2中的像为A"，若l1，l2的距离为7，则 　 　.
【答案】14
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：如图，设A距为a，则A'距也为a
A'在中成像为A''，则A''距与A'距相等
∴A''距为7+a，而A距为7-a
∴A'A''=（7+a）+（7-a）=14
故答案为：14 .
【分析】本题考查对称的性质，可把已知小球看做一个点，关于一条直线对称的两个点到直线的距离相等，即A距为a，则A'距也为a，A'在中成像为A''，则A''距与A'距相等，根据 l1，l2的距离为7即可找到二者数量关系，列方程解答即可.
13．（2024八上·瓯海期末）如图，点P是外一点，点D，E分别是上的点，点P关于的对称点落在线段的延长线上，点P关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】根据题意，得，，
故，
故，
故答案为：．
【分析】根据对称轴上的点到线段两端的距离相等解题即可．
14．（2021八上·宜春期末）如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是　 　．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD是的两条中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，
故答案为：6
【分析】连接PC，P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6。
15．（2025七下·龙岗期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是　 　cm。
【答案】12
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：已知平分，点到的距离为，根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，所以点到的距离是.
故答案为：12.
【分析】识别出是的角平分线后，直接运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，将点到的距离转化为点到的距离求解即可.
16． 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC，D 为BC 边上一点，连接 AD，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是　 　.
【答案】45°或36°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： △ACD和△ABD都是等腰三角形，分两种情况讨论．
（1）AD=DC，AC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
（2）AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
故答案为：45°或36° .
【分析】 本题主要对全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质进行讨论；先根据题干信息画出两种情况，根据不同情况下完成计算．
三、解答题
17．（2025七下·达州期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）的面积为_____________；
（3）在轴上找一点，使的和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）5
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，再连接、、即可；
（2）用矩形面积减去三个直角三角形面积计算即可；
（3）先作点B关于x轴的对称点D，再连接交x轴于点P，即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：．
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
18．（2024八上·柯桥期末）如图，在中，，D是BC的中点，，，点E，F分别为垂足．求证：．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论
小温：“需要利用全等证明．”
小州：“要证线线段相等，我想到了角平分线．”
小市：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】证明：小温的证明方法：
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
小州的证明方法：如图，连结AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，
∴DE=DF．
小市的证明方法：如图，连结AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD=BC，
∴S△ABD=S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，
∴S△ABD=AB DE，S△ACD=AC DF，
∴AB DE=AC DF，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】小温的方法：由AB=AC得∠B=∠C，由DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足得∠BED=∠CFD=90°，结合已知用角角边可证△BED≌△CFD，然后根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可求解；
小州的方法：连结AD，根据等腰三角形的“三线合一”性质证明AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF；
小市的方法：连结AD，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABD=S△ACD，可得等式AB DE=AC DF，然后由等式的性质可求解．
19．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，为上一个动点．
（1）当，时，求的度数．
（2）已知，求证：
【答案】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：
如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
【分析】
（1）设，可以用含x的式子表示，由可知，因此也可以用含x的式子表示，根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）延长到点E，使，连接，由可推得BC为AE的垂直平分线得到，通过角的关系可推导出，因此，进而即可证明结论．
（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即；
（2）如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
20．（2024八上·婺源期末）如图①，，，，相交于点M，连接．
（1）求证：；
（2）用含的式子表示的度数；
（3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．
【答案】（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，利用，证得，即可证得；
（2）根据，得出，在中，利用三角形内角和定理，结合，求得的度数，再在中，结合，即可求解；
（3）先证明，得到，利用SAS，证得，得到，再由，得出，即可求解.
（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，
，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
21．（2024八上·海曙开学考）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求：
∴AH为所画的“二分线”.
（2）解：如图即为所求：
∴DE，EC为所画的“三分线”.
（3）解：的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：（3）解：如图：当，时
∴
∴
∵
当时
，∠A=∠ADB
∵∠ADB=∠DBC＋∠C=48°
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当时，
∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当，时，，，
=24°
∵ 最小的内角
∴此种情况不符合题意，舍去
综上所述，的度数为或或
【分析】（1）在上取一点，连接，使得，因此∠B=∠BAH=20°，∠AHC=40°，因为∠C=40°，因此∠C=∠AHC，故△ABH与△ACH均为等腰三角形.
（2）过点C作∠BCE=45°交直线AB于点E，过点E作DE⊥AB交直线AC于点D，CE和DE就是所求作的“三分线”，因为AB=AC，∠A=45°，所以∠B=∠ACB=67.5°，又因为∠BCE=45°，所以∠BEC=67.5°，因而CE=CB，∠ACE=22.5°，又因为DE⊥AB，∠A=45°，所以AE=DE，∠ADE=45°，因此∠CDE=135°，∠DEC=22.5°，因此DE=DC.
（3）根据题意，此题分四种情况讨论：
当，时，得出，∠A=∠ADB，根据三角形外角的性质得出：∠ADB=∠DBC＋∠C=48°，因此可得，再根据三角形内角和定理∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°，求出，从而求出的度数． 同理当，时，当时，当，时，按照，情况求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
22．（2024七下·成华期末）在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接．
（1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长；
（3）如图3，当时，连接，若，，请求的面积．
【答案】（1）解：全等；理由如下：
证明：∵在中，， 点是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过作，交于，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，，
在和中
∴，
∴，
∴，
即，
设，则，，
∴，
，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由线段中点定义和等腰直角三角形的性质可得由同角的余角相等可得 结合已知，用角边角可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差求出AC的值，根据等腰三角形的三线合一可得，再由线段的和差FH=CF-CF即可求解；
（3）过作，交于，由题意可设，则，，再求解，然后根据三角形的面积公式计算即可求解.
23．（2024七下·禅城期末）项目式学习
项目主题 设计与制作风筝
项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程．
驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是_________（单选题） A．平分 B． C． D．
驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是_________cm2
项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识：_________
【答案】解：（1）任务一：图形如图所示：
（2）C；（3）900；（4）在轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）任务二：∵，，．
∴，是的垂直平分线；
∴，即平分，故A选项结论正确，不合题意；
，故D选项结论正确，不合题意；
∴故B选项结论正确，不合题意；
与不一定正确. 故C选项结论不正确，符合题意；
（3）任务三：四边形的面积．
（4）项目小结用到的知识：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分．
故答案为：（2）C；（3）900；（4）在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分．
【分析】任务一：根据轴对称变换的性质，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；角平分线上的点到角两边距离相等，作出图形，即可求解；
任务二：利用轴对称图形的性质，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；角平分线上的点到角两边距离相等，进行判断，即可求解；
任务三：根据四边形的面积等于对角线乘积的一半，列出算式，即可求解；
小结：根据轴对称图的性质，在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分，即可解决问题．
24．（2025七下·福田期末） 综合与实践——万花筒里的数学
【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律.
【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称
【数学探究】
探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 为 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 .
（1） 请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 （不限作图工具）；
（2） 像 ，像 会在镜子中再次轴对称成像，像 关于 的轴对称图形是像 ，像 关于 的轴对称图形是像 ，请分析像 与像 　 　 重合（填写“是”或“否”）.
（3）探究二：如图3，当“镜子门”张角 大小是 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的.
改变张角的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格：
的度数x/度 45 60 72 90 120
观察到的图形数量y/个 8 6 ▲ 4 3
①在这个变化过程中， ▲ 是自变量， ▲ 是因变量；
②补充上述表格；
③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式： ▲ .
【答案】（1）解：如下图，像 P2为所求；
（2）是
（3）①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：因图形关于镜面对称，且，通过对称变换可知，像与像能重合.
故答案为：是 .
（3）解：①自变量是的度数（或 ），因变量是观察到的图形数量（或 ）.
②，故表格填 .
③由规律得（或 ）.
故答案为：①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）
【分析】（1）运用轴对称图形的作图方法，找到顶点对称点并连接，核心是轴对称性质的应用.
（2）基于轴对称的对称性，分析多次对称后图形的重合情况，关键是理解对称变换的规律.
（3）识别自变量与因变量（主动变化与被动变化的量 ），通过除以张角度数得图形数量，总结出函数关系式，重点是规律观察与归纳.
1 / 1第二章《轴对称》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测
一、选择题
1．（2024七下·揭西期末）围棋是一种棋类游戏，属于琴棋书画四艺之一，其起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·南宁月考）现需要在某条街道上修建一个核酸检测点P，向居住在A，B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A，B的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是由4个相同的小正方形组成，△ABC 的顶点都落在小正方形的顶点上，则与△ABC 成轴对称，并且顶点都落在小正方形的顶点上的三角形有(　　).
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2025七下·武侯期末） 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023八上·建始期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
8．（2025八上·嵊州期末）如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·东莞期中）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·台州期末）如图，是等边三角形，，与的角平分线交于点，过点作，交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025七下·杭州期末） 如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为　 　．
12．如图，设l1和l2是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在l1和l2之间，小球在镜l1中的像为A'，A'在镜l2中的像为A"，若l1，l2的距离为7，则 　 　.
13．（2024八上·瓯海期末）如图，点P是外一点，点D，E分别是上的点，点P关于的对称点落在线段的延长线上，点P关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为　 　．
14．（2021八上·宜春期末）如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是　 　．
15．（2025七下·龙岗期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是　 　cm。
16． 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC，D 为BC 边上一点，连接 AD，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是　 　.
三、解答题
17．（2025七下·达州期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）的面积为_____________；
（3）在轴上找一点，使的和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（2024八上·柯桥期末）如图，在中，，D是BC的中点，，，点E，F分别为垂足．求证：．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论
小温：“需要利用全等证明．”
小州：“要证线线段相等，我想到了角平分线．”
小市：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
19．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，为上一个动点．
（1）当，时，求的度数．
（2）已知，求证：
20．（2024八上·婺源期末）如图①，，，，相交于点M，连接．
（1）求证：；
（2）用含的式子表示的度数；
（3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．
21．（2024八上·海曙开学考）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
22．（2024七下·成华期末）在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接．
（1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长；
（3）如图3，当时，连接，若，，请求的面积．
23．（2024七下·禅城期末）项目式学习
项目主题 设计与制作风筝
项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程．
驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是_________（单选题） A．平分 B． C． D．
驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是_________cm2
项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识：_________
24．（2025七下·福田期末） 综合与实践——万花筒里的数学
【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律.
【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称
【数学探究】
探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 为 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 .
（1） 请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 （不限作图工具）；
（2） 像 ，像 会在镜子中再次轴对称成像，像 关于 的轴对称图形是像 ，像 关于 的轴对称图形是像 ，请分析像 与像 　 　 重合（填写“是”或“否”）.
（3）探究二：如图3，当“镜子门”张角 大小是 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的.
改变张角的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格：
的度数x/度 45 60 72 90 120
观察到的图形数量y/个 8 6 ▲ 4 3
①在这个变化过程中， ▲ 是自变量， ▲ 是因变量；
②补充上述表格；
③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式： ▲ .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：B、C、D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴逐项分析即可求解.
2．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作A关于直线l的对称点，然后连接B和对称点交直线l于点P，点P即为所求，故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】作A关于直线l的对称点，然后连接B和对称点交直线l于点P，点P即为所求.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称的三角形有①△EBF关于BD对称；②△DAC关于GH对称；③△AHE关于AF对称；④△GCF关于CE对称；⑤△CBD关于AD的垂直平分线对称，共5个
故答案为：A .
【分析】本题要找一格点为顶点的与△ABC成轴对称的三角形，则可取的对称轴有BD、GH、AF、CE、以及AD的垂直平分线共五条，故可找到5个符合条件的三角形.
5．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵S△ABP=S△ACP，
∴BP=CP，
∴作BC的垂直平分线与BC的交点即为点P，
∴A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”和垂直平分线的只规作图法判断即可.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等要三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确，符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C错误，不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由作图痕迹可得BH垂直平分线段AD，可判断A选项，S△ABC= BC AH，可判断C选项， 由题意不能B、D不一定正确，即可得解.
8．【答案】A
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形，
选项A补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两边的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”解题即可．
9．【答案】B
【知识点】垂线的概念；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图：
∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
∴OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，
∵ 点，分别是底边，的中点，
∴OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF.
故选项C结论正确，不符合题意；
，
，
，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故结论A正确，不符合题意；
B.不一定等于，故选项B结论不正确，符合题意.
D.同“OB⊥OD”的方法，可证得：OA⊥OC，
∴∠AOC=∠BOD=90°.
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOD+∠BOC=180°.
故选项D结论正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A.由对称的性质得OA=OD=OC=OB，AB=DC，∠AOG=∠DOG，∠BOG=∠COG，由等腰三角形“三线合一”的性质OE=OF，∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，即可判断选项C；由垂线的定义可得∠BOE+∠BOF=90°，等量代换即可得∠BOD=90°，可判断A；不一定等于，可判断B；证明∠AOC=∠BOD=90°，相加即可得到结论并判断D.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠OBD=∠OCB=∠OCE=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵∠DOB=∠OBC=30°，
∴∠DBO=∠DOB=30°，
∴BD=OD，
同法可证EO=EC，
∴DE=AD=2BD，
∴3DB=1，
∴，
故选：B
【分析】证明△ADE是等边三角形，DE=2BD，推出AD=2BD，再根据AB=BC=1可得结论.
11．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵该同学用尺规分别作出了AB、AC的垂直平分线
∴BD=AD，AE=EC
∵BD=2，CD=7 ∴AD=2，CD=CE+ED=AE+ED=7
∵
∴
故答案为：9.
【分析】先由尺规作图的画法判断作出的是什么图形，再根据线段垂直平分线的性质定理计算三角形的周长。
12．【答案】14
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：如图，设A距为a，则A'距也为a
A'在中成像为A''，则A''距与A'距相等
∴A''距为7+a，而A距为7-a
∴A'A''=（7+a）+（7-a）=14
故答案为：14 .
【分析】本题考查对称的性质，可把已知小球看做一个点，关于一条直线对称的两个点到直线的距离相等，即A距为a，则A'距也为a，A'在中成像为A''，则A''距与A'距相等，根据 l1，l2的距离为7即可找到二者数量关系，列方程解答即可.
13．【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】根据题意，得，，
故，
故，
故答案为：．
【分析】根据对称轴上的点到线段两端的距离相等解题即可．
14．【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD是的两条中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，
故答案为：6
【分析】连接PC，P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6。
15．【答案】12
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：已知平分，点到的距离为，根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，所以点到的距离是.
故答案为：12.
【分析】识别出是的角平分线后，直接运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，将点到的距离转化为点到的距离求解即可.
16．【答案】45°或36°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： △ACD和△ABD都是等腰三角形，分两种情况讨论．
（1）AD=DC，AC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
（2）AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
故答案为：45°或36° .
【分析】 本题主要对全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质进行讨论；先根据题干信息画出两种情况，根据不同情况下完成计算．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）5
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，再连接、、即可；
（2）用矩形面积减去三个直角三角形面积计算即可；
（3）先作点B关于x轴的对称点D，再连接交x轴于点P，即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：．
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
18．【答案】证明：小温的证明方法：
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
小州的证明方法：如图，连结AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，
∴DE=DF．
小市的证明方法：如图，连结AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD=BC，
∴S△ABD=S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，
∴S△ABD=AB DE，S△ACD=AC DF，
∴AB DE=AC DF，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】小温的方法：由AB=AC得∠B=∠C，由DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足得∠BED=∠CFD=90°，结合已知用角角边可证△BED≌△CFD，然后根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可求解；
小州的方法：连结AD，根据等腰三角形的“三线合一”性质证明AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF；
小市的方法：连结AD，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABD=S△ACD，可得等式AB DE=AC DF，然后由等式的性质可求解．
19．【答案】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：
如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
【分析】
（1）设，可以用含x的式子表示，由可知，因此也可以用含x的式子表示，根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）延长到点E，使，连接，由可推得BC为AE的垂直平分线得到，通过角的关系可推导出，因此，进而即可证明结论．
（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即；
（2）如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
20．【答案】（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，利用，证得，即可证得；
（2）根据，得出，在中，利用三角形内角和定理，结合，求得的度数，再在中，结合，即可求解；
（3）先证明，得到，利用SAS，证得，得到，再由，得出，即可求解.
（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，
，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
21．【答案】（1）解：如图即为所求：
∴AH为所画的“二分线”.
（2）解：如图即为所求：
∴DE，EC为所画的“三分线”.
（3）解：的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：（3）解：如图：当，时
∴
∴
∵
当时
，∠A=∠ADB
∵∠ADB=∠DBC＋∠C=48°
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当时，
∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当，时，，，
=24°
∵ 最小的内角
∴此种情况不符合题意，舍去
综上所述，的度数为或或
【分析】（1）在上取一点，连接，使得，因此∠B=∠BAH=20°，∠AHC=40°，因为∠C=40°，因此∠C=∠AHC，故△ABH与△ACH均为等腰三角形.
（2）过点C作∠BCE=45°交直线AB于点E，过点E作DE⊥AB交直线AC于点D，CE和DE就是所求作的“三分线”，因为AB=AC，∠A=45°，所以∠B=∠ACB=67.5°，又因为∠BCE=45°，所以∠BEC=67.5°，因而CE=CB，∠ACE=22.5°，又因为DE⊥AB，∠A=45°，所以AE=DE，∠ADE=45°，因此∠CDE=135°，∠DEC=22.5°，因此DE=DC.
（3）根据题意，此题分四种情况讨论：
当，时，得出，∠A=∠ADB，根据三角形外角的性质得出：∠ADB=∠DBC＋∠C=48°，因此可得，再根据三角形内角和定理∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°，求出，从而求出的度数． 同理当，时，当时，当，时，按照，情况求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
22．【答案】（1）解：全等；理由如下：
证明：∵在中，， 点是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过作，交于，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，，
在和中
∴，
∴，
∴，
即，
设，则，，
∴，
，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由线段中点定义和等腰直角三角形的性质可得由同角的余角相等可得 结合已知，用角边角可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差求出AC的值，根据等腰三角形的三线合一可得，再由线段的和差FH=CF-CF即可求解；
（3）过作，交于，由题意可设，则，，再求解，然后根据三角形的面积公式计算即可求解.
23．【答案】解：（1）任务一：图形如图所示：
（2）C；（3）900；（4）在轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）任务二：∵，，．
∴，是的垂直平分线；
∴，即平分，故A选项结论正确，不合题意；
，故D选项结论正确，不合题意；
∴故B选项结论正确，不合题意；
与不一定正确. 故C选项结论不正确，符合题意；
（3）任务三：四边形的面积．
（4）项目小结用到的知识：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分．
故答案为：（2）C；（3）900；（4）在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分．
【分析】任务一：根据轴对称变换的性质，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；角平分线上的点到角两边距离相等，作出图形，即可求解；
任务二：利用轴对称图形的性质，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；角平分线上的点到角两边距离相等，进行判断，即可求解；
任务三：根据四边形的面积等于对角线乘积的一半，列出算式，即可求解；
小结：根据轴对称图的性质，在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分，即可解决问题．
24．【答案】（1）解：如下图，像 P2为所求；
（2）是
（3）①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：因图形关于镜面对称，且，通过对称变换可知，像与像能重合.
故答案为：是 .
（3）解：①自变量是的度数（或 ），因变量是观察到的图形数量（或 ）.
②，故表格填 .
③由规律得（或 ）.
故答案为：①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）
【分析】（1）运用轴对称图形的作图方法，找到顶点对称点并连接，核心是轴对称性质的应用.
（2）基于轴对称的对称性，分析多次对称后图形的重合情况，关键是理解对称变换的规律.
（3）识别自变量与因变量（主动变化与被动变化的量 ），通过除以张角度数得图形数量，总结出函数关系式，重点是规律观察与归纳.
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