第三章《勾股定理》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
2．（2025八上·拱墅期末）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2021八上·苏州月考）已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25
4．如图，在△ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上异于B，C的一点，则 的值是( ).
A．16 B．20 C．25 D．30
5．如图，若Rt△ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD，则. 与AB2 的比值为( ).
A． B．1 C． D．
6．如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 的内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC.给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④.
其中正确的是( ).
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
7．（2020八上·榆林月考）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90 ，则
8．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（ ）
A．256 B．169 C．29 D．48
9．（2024八上·浙江期中）《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（ ）
A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸
10．（2024七下·桑植期末）如图，两个正方形的泳池，底面积分别是和，且，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2024八上·衡阳期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 .
12．（2024八上·普宁月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ ．
13．（2025八上·兰州期末）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为 ．
14．（2024八上·诸暨期末）已知三角形三条边长度为，，，其中，则这个三角形面积为 化简结果
15．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
16．（2020八上·禅城月考）勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．已知：如图，等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm.
（1）求证：△BDC是直角三角形.
（2）求△ABC的周长.
18． (3，4，5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题：
（1）三边长为连续整数的直角三角形有多少个
（2）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗 如果存在，有多少个
（3）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗 如果存在，有多少个
19．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
20．（2024八上·沅江开学考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
（2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
21．（2023八上·二七期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
22．（2025八上·龙岗期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到。请证明刘徽解法的正确性。
23．【问题】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB.试判断BC和AC，AD之间的数量关系.
【探究】如图②，在BC上截取(连结DA'，得到一对全等的三角形，从而问题得以解决.
请回答下列问题：
（1）在图②中，小明得到哪对全等三角形
（2）如图②，BC和AC，AD之间的数量关系是 .
（3）如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9.求AB的长.
24．（2024七下·市中区期末）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ×180°＝75°，故△ABC是锐角三角形，不是直角三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
故答案为：B．
【分析】 A、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知条件∠A-∠B=∠C可求得∠A=90°，于是可得△ABC是直角三角形；
B、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知可得最大角∠C=75°，于是可得△ABC是锐角三角形；
C、将已知的等式去括号可得b2=a2+c2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；
D、根据已知的线段长度计算可得c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
=AP2+(BD-PD）（CD+DP)=AP2+BD2-PD2，
∵AP2=AD2+PD2，
∴=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2=AB2=42=16。
故答案为：A .
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD=CD，然后根据勾股定理得出AP2=AD2+PD2，进而得出=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2，进而根据勾股定理得出答案。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：设AC=b，BC=a，
∵AE，BD分别是边BC，AC的中线，
∴，，
∵∠C=90°，
∴AB2=a2+b2，，，
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】设AC=b，BC=a，根据中线的性质，得，，再根据勾股定理推出，进而可以得出结论.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC：
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2，故④正确，
故答案为：A.
【分析】只要证明△DAB≌△BAC，利用全等三角形的性质即可一 一判断.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A选项错误；
B、∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B选项正确；
C、∵ ，∴c为斜边，c的对角∠C=90 ，∴C选项错误；
D、∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90 ，∴b为斜边，∴ ，∴D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此判A；根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中，最长边所对的角是直角，据此判断B，C，D.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2=42=16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a2+b2=42，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：取的中点，过作于，如下图：
由题意得：；
设 寸，
则寸，寸，寸，
寸，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴寸，
故答案为：D．
【分析】取的中点，过作于，设AC=r寸，可得寸，寸，寸以及AO的长，再在中利用勾股定理，即可得得到答案．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：依题意，，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可得，结合三角形的面积公式计算即可．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：三角形的三边长的比为，
∴设三角形的三边长分别为，，，
其周长为，
，解得，
∴三角形的三边长分别是，，，
∵，
此三角形是直角三角形，
，
故答案为：．
【分析】根据比值设三角形的三边长分别为，，，根据周长求出的值，然后判断三角形的形状，利用三角形的面积公式计算解题．
12．【答案】34
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，AD2=DE2+AE2=9，BC2=BE2+CE2=25，
∵AB2=BE2+AE2，CD2=CE2+DE2，
∴AB2+CD2=BE2+AE2+CE2+DE2= BE2+CE2+AE2+DE2 =25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据勾股定理，即可得出答案。
13．【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∴这个三角形是直角三角形，直角边是 ，
∴三角形的面积为 ，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理的逆定理证得三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式计算即可.
15．【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
16．【答案】13，84，85
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85
17．【答案】（1）证明：∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BC2=BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形.
（2）解： 设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=x，
∵△BDC为直角三角形，
∴△ADC也为直角三角形，
∴AD2+CD2=AC2，
∴x2=（x-5）2+122，
解得：
∴△ABC的周长
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明；
（2）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AB的值，在根据三角形的周长公式即可求解.
18．【答案】（1）解：设直角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，
则：（x-1）2+x2=（x+1）2，
解得：x1=4，x2=0（舍去）
∴三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；
（2）解：设钝角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，
则：（x-1）2+x2＜（x+1）2，且x-1＞0，
解得1＜x＜4，
当x=2时，1，2，3不能组成三角形，
∴三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2，3，4；
（3）解：设锐角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，
则：（x-1）2+x2＞（x+1）2，且x-1＞0，
解得：x＞4，
∴三边长为连续整数的锐角三角形有无数个.
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）设直角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，根据勾股定理可列方程，解方程即可得出答案；
（2）设钝角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，可列出不等式，解不等式，即可得出x的取值范围，即可得出结论；
（3）设锐角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，可列出不等式，解不等式，即可得出结论。
19．【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：如图所示：
∵，∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，可得，，再利用不同的表示方法求出图中的面积可得，再化简可得；
（2）先画出图形，再利用不同的表达方法求出同一个图形的面积可得．
（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
21．【答案】（1）解：是，
理由是：在中，
∵
∴
∴，
∴是从村庄C到河边的最近路.
（2）解：设，则，，
由勾股定理得：
∴
解得：
答：原来的路线的长为2.5千米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出，从而可得是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，则，，利用勾股定理列出方程，再求出x的值即可.
（1）解：是，
理由是：在中，
∵
∴
∴，
∴是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设，则，
由勾股定理得：
∴
解得
答：原来的路线的长为2.5千米．
22．【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
∴水池的深度为12尺；
（2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
∴a2+b2＝（b+n）2，
∴a2+b2＝b2+2nb+n2
∴2nb＝a2-n2
∴b＝．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则OD＝x﹣1，DE＝5，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
23．【答案】（1）△ADC≌△A'DC
（2）BC=AC+AD
（3）解：如图，在AB上截取AE=AD，连结CE．
由∠DAC=∠EAC，AE=AD，AC=AC，得△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC．
过点C作CF⊥AB于点F，则EF=BF，设EF=BF=x．
在Rt△CFB中，在Rt△CFA中，
解得x=6．∴AB=AE+BE=9+12=21．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）△ADC≌△A'DC ；
理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A'CD，
在△ADC 和△A'DC 中，
∴△ADC≌△A'DC(SAS)；
故答案为：△ADC≌△A'DC．
（2）由△ADC≌△A'DC，
得
∵∠CA'D=∠B+∠BDA'，∠B=90°-∠A=30°，
∴DA'=BA'，∴BA'=AD，
∴BC=CA'+BA'=AC+AD．
【分析】(1)由SAS容易证明△ADC≌△A'DC；
(2)由△ADC≌△A'DC，得出DA'=DA，∠CA'D=∠A=60°，再求出DA'=BA'，得出BA'=AD，即可得出结论；
(3)在AB上截取AE=AD，连接CE，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，过点C作CF⊥AB于点F，设EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根据勾股定理求出x，即可得出结果.
24．【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.
1 / 1第三章《勾股定理》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
2．（2025八上·拱墅期末）一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
3．（2021八上·苏州月考）已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ×180°＝75°，故△ABC是锐角三角形，不是直角三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
故答案为：B．
【分析】 A、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知条件∠A-∠B=∠C可求得∠A=90°，于是可得△ABC是直角三角形；
B、根据三角形的内角和等于180°可得∠A+∠B+∠C=180°，结合已知可得最大角∠C=75°，于是可得△ABC是锐角三角形；
C、将已知的等式去括号可得b2=a2+c2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；
D、根据已知的线段长度计算可得c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
4．如图，在△ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上异于B，C的一点，则 的值是( ).
A．16 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
=AP2+(BD-PD）（CD+DP)=AP2+BD2-PD2，
∵AP2=AD2+PD2，
∴=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2=AB2=42=16。
故答案为：A .
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，得出BD=CD，然后根据勾股定理得出AP2=AD2+PD2，进而得出=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2，进而根据勾股定理得出答案。
5．如图，若Rt△ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD，则. 与AB2 的比值为( ).
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：设AC=b，BC=a，
∵AE，BD分别是边BC，AC的中线，
∴，，
∵∠C=90°，
∴AB2=a2+b2，，，
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】设AC=b，BC=a，根据中线的性质，得，，再根据勾股定理推出，进而可以得出结论.
6．如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 的内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC.给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④.
其中正确的是( ).
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC：
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2，故④正确，
故答案为：A.
【分析】只要证明△DAB≌△BAC，利用全等三角形的性质即可一 一判断.
7．（2020八上·榆林月考）下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90
D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90 ，则
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A选项错误；
B、∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B选项正确；
C、∵ ，∴c为斜边，c的对角∠C=90 ，∴C选项错误；
D、∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90 ，∴b为斜边，∴ ，∴D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此判A；根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中，最长边所对的角是直角，据此判断B，C，D.
8．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（ ）
A．256 B．169 C．29 D．48
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2=42=16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a2+b2=42，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
9．（2024八上·浙江期中）《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（ ）
A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：取的中点，过作于，如下图：
由题意得：；
设 寸，
则寸，寸，寸，
寸，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴寸，
故答案为：D．
【分析】取的中点，过作于，设AC=r寸，可得寸，寸，寸以及AO的长，再在中利用勾股定理，即可得得到答案．
10．（2024七下·桑植期末）如图，两个正方形的泳池，底面积分别是和，且，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：依题意，，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可得，结合三角形的面积公式计算即可．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2024八上·衡阳期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：三角形的三边长的比为，
∴设三角形的三边长分别为，，，
其周长为，
，解得，
∴三角形的三边长分别是，，，
∵，
此三角形是直角三角形，
，
故答案为：．
【分析】根据比值设三角形的三边长分别为，，，根据周长求出的值，然后判断三角形的形状，利用三角形的面积公式计算解题．
12．（2024八上·普宁月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ ．
【答案】34
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，AD2=DE2+AE2=9，BC2=BE2+CE2=25，
∵AB2=BE2+AE2，CD2=CE2+DE2，
∴AB2+CD2=BE2+AE2+CE2+DE2= BE2+CE2+AE2+DE2 =25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据勾股定理，即可得出答案。
13．（2025八上·兰州期末）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为 ．
【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
14．（2024八上·诸暨期末）已知三角形三条边长度为，，，其中，则这个三角形面积为 化简结果
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∴这个三角形是直角三角形，直角边是 ，
∴三角形的面积为 ，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理的逆定理证得三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式计算即可.
15．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
16．（2020八上·禅城月考）勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ．
【答案】13，84，85
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．已知：如图，等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm.
（1）求证：△BDC是直角三角形.
（2）求△ABC的周长.
【答案】（1）证明：∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BC2=BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形.
（2）解： 设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=x，
∵△BDC为直角三角形，
∴△ADC也为直角三角形，
∴AD2+CD2=AC2，
∴x2=（x-5）2+122，
解得：
∴△ABC的周长
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明；
（2）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AB的值，在根据三角形的周长公式即可求解.
18． (3，4，5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题：
（1）三边长为连续整数的直角三角形有多少个
（2）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗 如果存在，有多少个
（3）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗 如果存在，有多少个
【答案】（1）解：设直角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，
则：（x-1）2+x2=（x+1）2，
解得：x1=4，x2=0（舍去）
∴三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；
（2）解：设钝角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，
则：（x-1）2+x2＜（x+1）2，且x-1＞0，
解得1＜x＜4，
当x=2时，1，2，3不能组成三角形，
∴三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2，3，4；
（3）解：设锐角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，
则：（x-1）2+x2＞（x+1）2，且x-1＞0，
解得：x＞4，
∴三边长为连续整数的锐角三角形有无数个.
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）设直角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，根据勾股定理可列方程，解方程即可得出答案；
（2）设钝角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，可列出不等式，解不等式，即可得出x的取值范围，即可得出结论；
（3）设锐角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，可列出不等式，解不等式，即可得出结论。
19．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．（2024八上·沅江开学考）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
（2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵，∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，可得，，再利用不同的表示方法求出图中的面积可得，再化简可得；
（2）先画出图形，再利用不同的表达方法求出同一个图形的面积可得．
（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
21．（2023八上·二七期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）解：是，
理由是：在中，
∵
∴
∴，
∴是从村庄C到河边的最近路.
（2）解：设，则，，
由勾股定理得：
∴
解得：
答：原来的路线的长为2.5千米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出，从而可得是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，则，，利用勾股定理列出方程，再求出x的值即可.
（1）解：是，
理由是：在中，
∵
∴
∴，
∴是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设，则，
由勾股定理得：
∴
解得
答：原来的路线的长为2.5千米．
22．（2025八上·龙岗期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到。请证明刘徽解法的正确性。
【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
∴水池的深度为12尺；
（2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
∴a2+b2＝（b+n）2，
∴a2+b2＝b2+2nb+n2
∴2nb＝a2-n2
∴b＝．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则OD＝x﹣1，DE＝5，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
23．【问题】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB.试判断BC和AC，AD之间的数量关系.
【探究】如图②，在BC上截取(连结DA'，得到一对全等的三角形，从而问题得以解决.
请回答下列问题：
（1）在图②中，小明得到哪对全等三角形
（2）如图②，BC和AC，AD之间的数量关系是 .
（3）如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9.求AB的长.
【答案】（1）△ADC≌△A'DC
（2）BC=AC+AD
（3）解：如图，在AB上截取AE=AD，连结CE．
由∠DAC=∠EAC，AE=AD，AC=AC，得△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC．
过点C作CF⊥AB于点F，则EF=BF，设EF=BF=x．
在Rt△CFB中，在Rt△CFA中，
解得x=6．∴AB=AE+BE=9+12=21．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）△ADC≌△A'DC ；
理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A'CD，
在△ADC 和△A'DC 中，
∴△ADC≌△A'DC(SAS)；
故答案为：△ADC≌△A'DC．
（2）由△ADC≌△A'DC，
得
∵∠CA'D=∠B+∠BDA'，∠B=90°-∠A=30°，
∴DA'=BA'，∴BA'=AD，
∴BC=CA'+BA'=AC+AD．
【分析】(1)由SAS容易证明△ADC≌△A'DC；
(2)由△ADC≌△A'DC，得出DA'=DA，∠CA'D=∠A=60°，再求出DA'=BA'，得出BA'=AD，即可得出结论；
(3)在AB上截取AE=AD，连接CE，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，过点C作CF⊥AB于点F，设EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根据勾股定理求出x，即可得出结果.
24．（2024七下·市中区期末）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.
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