第一章《有理数》提升卷—沪科版（2024）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七上·天心月考）对于有理数a，下列说法正确的是（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可以是正数、负数或0 D．与一定有一个负数
【答案】C
【知识点】有理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：当是正数，则是负数；当是负数，则是正数；当是0，是0，
∴错误，正确，
故答案为：C．
【分析】根据字母表示数的任意性，可知当是有理数时，是正数或负数或0，据此即可求解.
2．（2024七上·盘龙月考）把写成省略括号和加号的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】本题考查有理数减法法则的运用，将减法运算转化为加法运算，把式子中的减号根据 “减去一个数等于加上这个数的相反数” 进行变换，从而得到省略括号和加号的形式.
3．（2024七上·钱塘月考）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．1与 B．与3 C．与 D．与
【答案】D
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A．，故1与不是互为倒数，故选项A不符合题意；
B．，故与3不是互为倒数，故选项B不符合题意；
C．，故与不是互为倒数，故选项C不符合题意．
D．，故与互为倒数，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义对选项进行逐一判断即可.
4．（2024七上·高州月考）下列有理数的大小比较，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵=2， 2>-3.1. ∴选项A正确；
∵==，==.<. ∴>-. ∴选项B错误；
∵=4.5， =3.5， 4.5>3.5。∴ -4.5<-3.5. ∴ 选项C正确；
∵=0.001 ，0<0.001. ∴ 0<.∴选项D正确.
故答案为：B.
【分析】根据数的比较的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。可以得出正确结论.
5．（2023七上·蓬江月考）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵a+b=0，
∴A，B两点对应的数互为相反数，
∴可设A表示的数为a，则B表示的数为-a，
∵AB=6，
∴-a+（-a）=6，
解得：a=-3，
∴点A表示的数为-3.
故选：A.
【分析】根据互为相反数的两数之和等于0，表示出点A和点B表示的数，根据AB=6，列出方程，解方程求出a的值即可.
6．（2024七上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定是正数
B．绝对值等于它本身的数只有0
C．绝对值相等的两个数一定相等
D．互为相反数的两个数绝对值相等
【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：、0的绝对值是0，不是正数，原说法错误，故A不符合题意；
、绝对值等于它本身的数只有0和正数，原说法错误，故B不符合题意；
、绝对值相等的两个数也可以是互为相反数的，原说法错误，故C不符合题意；
、互为相反数的两个数绝对值相等，原说法正确，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零一 一判断即可．
7．（2023七上·天河期中）下列说法正确的是（ ）
A．近似数精确到百分位
B．近似数万精确到千位
C．近似数与表示的意义相同
D．近似数精确到个位
【答案】B
【知识点】精准度与有效数字
【解析】【解答】解：A、近似数0.010精确到千分位，故此选项错误，不符合题意；
B、近似数4.3万的3实际所在的数位是千位，故近似数4.3万精确到千位正确，故此选项正确，符合题意；
C、近似数2.8表示精确到十分位，2.80精确到百分位，故此选项错误，不符合题意；
D、近似数43.0精确到十分位，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要求一个近似数的精确度，就需要看这个数的最末一位所在的实际数位，据此即可逐项判断得出答案.
8．（2024七上·茂名开学考）绝对值小于4的负整数之和是（ ）
A． B．0 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：绝对值小于4的负整数有，
，
故答案为：A
【分析】先根据绝对值的定义，找出绝对值小于4的负数，然后再将其进行相加即可求解。
9．（2024七上·杭州期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：把表示成两个整数的积，共出现的可能性有：
①，②，③，④，
共4种情况．
故选：．
【分析】
两数相乘，同号得正、异号得负，由于积是负数，则可把分解成两个异号整数的乘积．
10．（2025七上·湖州期末）排球的国际标准指标中有一项是质量，规定排球的标准质量为．现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示：若只从质量的角度考虑，符合要求的排球有（ ）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
质量（） 271 266 279 285 253 281 239 264
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】
解：由题意得排球标准质量为，即排球质量在到之间都符合要求，所以在这个范围内，
∴符合要求的排球有个，所以Ａ、Ｂ、Ｄ选项都错误。
故应选：C ．
【分析】由正数和负数的实际意义知，其中的意思是在标准270克的基础上，最多重10克，最少轻10克，即只要在260克和280克之间的都达标。
11．（2025七上·江北期末）希尔伯特在 1900年国际数学家大会上将“孪生质数猜想”列为第8个问题，即存在无穷多对孪生质数.“孪生质数”是指两个相差为2的质数，例如3和5，17和19等.华人数学家张益唐曾证明了存在无穷多差小于 7000万的质数对，从而在孪生质数猜想证明上迈出了革命性的一大步，以上材料中数字 7000万用科学记数法表示为（ ）
A．0.7x109 B．7x107 C．7.0x108 D．70x107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为： B.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
12．（2024七上·义乌月考）书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进32本此阅读书，至少要花（ ）元．
A．268 B．269 C．270 D．272
【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：①只用方案一：买5个5本，到手30本，再买2本即可，
花费为：
②只用方案二：直接购买32本，
花费为：
③用方案一买4个5本，其余用方案二购买，
花费为：
∵
故答案为：A.
【分析】根据题意可知购买方案有三种：①只用方案一：买5个5本，到手30本，再买2本即可，②只用方案二：直接购买32本，③用方案一买4个5本，其余用方案二购买，分别根据书店销售方案计算花销即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13． 在12， ， 19%， 50，， 11， 5%， 6.3， 2 022中， 正理数的个数为 ，其中正整数的个数为 ；负有理数的个数为 ，其中负整数的个数为 .
【答案】5；2；4；2
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解： 在12， ， 19%， 50，， 11， 5%， 6.3， 2 022中，
正有理数有： ， 19%， 50， 6.3， 2 022，共5个；
正整数有：50，2022，共2个；
负有理数有：-12，， 11， 5%，共4个；
负整数有-12，-11，共2个.
故答案为：5；2；4；2.
【分析】有理数数分为正有理数、零和负有理数，正有理数就是大于零的有理数，正有理数分为正整数、正分数；负有理数就是小于零的有理数，负有理数分为负整数与负分数，有限小数与无限循环小数都可以化为分数，据此逐一判断得出答案.
14．（2024七上·成都期中）数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数的绝对值之和为 ．
【答案】7
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵数轴上，两点对应的数分别是和，
∴，之间的整数的整数有：，0，1，2，3，
∴，
故答案为：7．
【分析】先求出，之间的整数，再计算它们的绝对值之和即可．
15．（2025七上·温州期末）定义“”运算：，如：，则的运算结果是 ．
【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了根据定义运算列出计算公式，根据含乘方的有理数混合运算法则运算即可。
16． “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”.如图①，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来(斜行的和满十进一)，得2397.如图②，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 .
【答案】615或645或675
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由图得，1×4=4，5×4=20，1·a=a，
∴如图，
∴b=6，
∴如图，
有图得，a应为奇数1，3，5.
所以两个两位数可以为15×41；15×43；15×45，
∴相乘结果为615或645或675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可.
三、解答题：本大题7小题，共72分.
17．（2024七上·钱塘月考）把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）．
①；②0.1；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；
整数集{ …}；
非负数集{ …}；
分数集{ …}；
【答案】解：先进行化简，；．
整数集{ ①，④，⑤， ⑧ ，…}；
非负数集{ ②，④，⑤ ，⑨，…}；
分数集{ ②，③，⑥，⑦ ，⑨ ，…}；
【知识点】有理数的分类；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】
本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类分析即可，
有理数可分为整数和分数，
整数集包括：正整数，零和负整数；
非负数集包括：正有理数和零；
分数集包括：正分数和负分数；
18．（2024七上·成都期中）计算．
（1）；
（2）
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
；
（2） 解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）运用加法的交换律和结合律，相加即可；
（2）先确定符号，再将除法转换成乘法，再约分算乘法即可；
（3）利用乘法分配律进行逆运算计算即可；
（4）原式先算乘方及绝对值运算，再算乘除法运算，最后算加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．（2025七上·金华月考）阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：因为，
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
【答案】解：先计算
原式
，
∴．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，仿照例题计算原式的倒数，即可得到答案．
20．（2023七上·普宁期中）若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个数为“劳动数”．例如：判断210是“劳动数”的过程如下：，∵7能被7整除，∴是“劳动数”；判断322是“劳动数”的过程如下：，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”．
（1）直接写出最小的“劳动数”为______．
（2）判断448是否为“劳动数”．
（3）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．
【答案】（1）105
（2）解：是，理由如下：
∵
∵28÷7=4
∴448是“劳动数”.
（3）解：设一个“劳动数”为
∴能被7整除
∴是7的倍数
∴
，
∵是整数，
∴“劳动数”为能被7整除．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】
解：∵百位最小为1，十位最小为0，设个位最小时为由“劳动数”的定义可得：
∴能被7整除，且要最小，
∴，解得a=5
∴最小的“劳动数”为105．
故答案为：105.
【分析】（1）百位上的最小数字为1，十位上的数字为0，由因为是“劳动数”，而1×2+0×3+个位数字能够被7整除，因此，个位数字为5，这样即可得出最小的“劳动数”.
（2）根据“劳动数”的定义进行计算得：，又因为28能被7整除即可得出结论.
（3）先设出三位数，根据“劳动数”的定义得到：能被7整除，故是7的倍数，再计算进行化简为：，因为是整数，故“劳动数”为能被7整除．
（1）解：∵“劳动数”是三位数，而三位数要最小，
百位最小为1，十位最小为0，设个位最小时为，
由“劳动数”的定义可得，
，
∴能被7整除，且要最小，
∴，
∴最小的“劳动数”为105．
故答案为：105；
（2）∵，
又∵28能被7整除，
∴448是“劳动数”；
（3）设一个“劳动数”为，
∴能被7整除，即是7的倍数，
∴
，
∵是整数，
∴“劳动数”为能被7整除．
21．（2024七上·广州期中）如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点E表示原点，点G表示的有理数是8．
（1）点A表示的数为 ，点F表示的数为 ；
（2）在数轴上标出的所有点中，表示的数互为相反数的两点为 ；
（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，若点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，则这样的点P共有多少个？请说明理由．
（4）数轴上有两个点M，N，点M到点D的距离为5，点N到点D的距离是3.7，则点M，N之间的距离为多少？请说明理由．
【答案】（1），4
（2）D与F，C与G
（3）解：由数轴可知点C、F分别表示的数是，4，
因为点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，
所以点P在这条线段上．
又因为P表示的数是整数，
所以点P可能是，，，，，，，，0，1，2，3，4共计13个，
所以这样的点P共有13个.
（4）解：分类讨论：①当点M和N位于点D同一侧时，
；
②当点M和N位于点D异侧时，
；
所以点M，N之间的距离为1.3或8.7．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；相反数的意义与性质
【解析】【解答】（1）解：因为点E表示原点，点G表示的有理数是8，
所以．
因为任意相邻两点间的距离都相等，
所以，，
所以点A表示的数为，点F表示的数为4.
故答案为：，4
（2）解：因为表示的数互为相反数的两点，位于原点两侧，且距原点的距离相等，
所以由数轴可知表示的数互为相反数的两点为D与F，C与G.
故答案为：D与F，C与G.
【分析】（1）先根据（原点）和（表示 ）的位置，算出相邻两点距离，再确定、位置对应的数.
（2）先确定各点表示的数，再找和为的两个数对应的点.
（3）先确定、表示的数，得出两点距离，再分情况讨论点位置，统计整数点个数.
（4）先确定表示的数，再分情况讨论、与的位置关系，计算距离.
（1）解：因为点E表示原点，点G表示的有理数是8，
所以．
因为任意相邻两点间的距离都相等，
所以，，
所以点A表示的数为，点F表示的数为4；
（2）解：因为表示的数互为相反数的两点，位于原点两侧，且距原点的距离相等，
所以由数轴可知表示的数互为相反数的两点为D与F，C与G；
（3）解：由数轴可知点C、F分别表示的数是，4，
因为点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，
所以点P在这条线段上．
又因为P表示的数是整数，
所以点P可能是，，，，，，，，0，1，2，3，4共计13个，
所以这样的点P共有13个；
（4）解：分类讨论：①当点M和N位于点D同一侧时，
；
②当点M和N位于点D异侧时，
；
所以点M，N之间的距离为1.3或8.7．
22．（2024七上·德惠期中）阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳※（加乘）运算的运算法则：
两数进行※（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ．
（2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可）
【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值
（2）解；原式；
（3）解：交换律仍然适用，
例如：，
所以，
故交换律仍然适用．
结合律不适用，
举例：，
，
所以结合律不适用．
【知识点】有理数的加法法则；有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
都得这个数的绝对值．
【分析】（1）根据新定义的运算，结合所给示例，进行总结，即可求解；
（2）根据新定义的运算，结合总结的运算规律，进行计算，即可求解；
（3）根据新定义的运算，选择加法交换律，根据运算法则，举例计算，即可得出结论．
（1）解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
都得这个数的绝对值．
（2）解；原式；
（3）解：交换律仍然适用，
例如：，
所以，
故交换律仍然适用．
结合律不适用，
举例：，
，
所以结合律不适用．
23．（2024七上·龙岗月考）某一出租车一天下午以深圳市民中心为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，十名乘客行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车位于市民中心的方向为 ，离市民中心出发点 ．
（2）出租车在行驶过程中，离市民中心最远的距离为 ．
（3）出租车在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.2升，则汽车共耗油多少升？
（4）出租车按物价部门规定，起步价（不超过2千米）为13元，超过2千米的部分每千米的价格为2.7元，第八位乘客应付多少元打车费？
【答案】（1）东方；2
（2）10
（3）解：（升），
答：这辆出租车共耗油12升．
（4）解：（元），
答：第八位乘客应付23.8元打车费．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；绝对值的概念与意义；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】（1）解：（），
∵，
∴在公司的东方，
答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离公司出发点2，在公司的东方．
故答案围为：东方；2．
（2）解：第一次：9，
第二次：（），
第三次：（），
第四次：（），
第五次：，（），
第六次：（），
第七次：（），
第八次：（），
第九次：，（），
第十次：（），
∵，
∴离公司最远的距离是10．
故答案为：10．
【分析】本题考查正负数的意义，绝对值的意义，有理数混合运算的实际应用．
（1）将记录数据相加可得：， 再利用有理数的加减法进行计算求出结果，若结果为负，在公司西方，否则在公司东方；
（2）根据题意分别求出10次行程离公司距离，再进行比较可得：，进而可求出离公司最远的距离；
（3）将记录数据的绝对值相加可得：，利用有理数的加法可求出行驶路程，再乘以0.2可求出答案；
（4）将2千米内和超过2千米部分的费用相加可得：，再进行计算可求出答案．
（1）解：（），
∵，
∴在公司的东方，
答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离公司出发点2，在公司的东方．
故答案围为：东方；2．
（2）解：第一次：9，
第二次：（），
第三次：（），
第四次：（），
第五次：，（），
第六次：（），
第七次：（），
第八次：（），
第九次：，（），
第十次：（），
∵，
∴离公司最远的距离是10．
故答案为：10．
（3）解：（升），
答：这辆出租车共耗油12升．
（4）解：（元），
答：第八位乘客应付23.8元打车费．
24．【概念学习】
规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作 a ，读作“的圈次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果 ， ， ．
（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
， ， ．
（3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是 ．
【答案】（1）；；
（2）；；
（3）
【知识点】有理数的乘方法则；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1）；
；
；
故答案为：，，．
（2），
；
故答案为：，，；
（3）由题意，根据（2）中规律可得，
故答案为：
【分析】（1）根据除方的定义结合题意即可求解；
（2）根据除方的定义结合有理数的乘方得到，，，进而即可求解；
（3）根据除方的定义结合（2）即可得到.
1 / 1第一章《有理数》提升卷—沪科版（2024）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七上·天心月考）对于有理数a，下列说法正确的是（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可以是正数、负数或0 D．与一定有一个负数
2．（2024七上·盘龙月考）把写成省略括号和加号的形式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·钱塘月考）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．1与 B．与3 C．与 D．与
4．（2024七上·高州月考）下列有理数的大小比较，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七上·蓬江月考）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
6．（2024七上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定是正数
B．绝对值等于它本身的数只有0
C．绝对值相等的两个数一定相等
D．互为相反数的两个数绝对值相等
7．（2023七上·天河期中）下列说法正确的是（ ）
A．近似数精确到百分位
B．近似数万精确到千位
C．近似数与表示的意义相同
D．近似数精确到个位
8．（2024七上·茂名开学考）绝对值小于4的负整数之和是（ ）
A． B．0 C．4 D．6
9．（2024七上·杭州期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（2025七上·湖州期末）排球的国际标准指标中有一项是质量，规定排球的标准质量为．现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示：若只从质量的角度考虑，符合要求的排球有（ ）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
质量（） 271 266 279 285 253 281 239 264
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
11．（2025七上·江北期末）希尔伯特在 1900年国际数学家大会上将“孪生质数猜想”列为第8个问题，即存在无穷多对孪生质数.“孪生质数”是指两个相差为2的质数，例如3和5，17和19等.华人数学家张益唐曾证明了存在无穷多差小于 7000万的质数对，从而在孪生质数猜想证明上迈出了革命性的一大步，以上材料中数字 7000万用科学记数法表示为（ ）
A．0.7x109 B．7x107 C．7.0x108 D．70x107
12．（2024七上·义乌月考）书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进32本此阅读书，至少要花（ ）元．
A．268 B．269 C．270 D．272
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13． 在12， ， 19%， 50，， 11， 5%， 6.3， 2 022中， 正理数的个数为 ，其中正整数的个数为 ；负有理数的个数为 ，其中负整数的个数为 .
14．（2024七上·成都期中）数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数的绝对值之和为 ．
15．（2025七上·温州期末）定义“”运算：，如：，则的运算结果是 ．
16． “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”.如图①，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来(斜行的和满十进一)，得2397.如图②，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 .
三、解答题：本大题7小题，共72分.
17．（2024七上·钱塘月考）把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）．
①；②0.1；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；
整数集{ …}；
非负数集{ …}；
分数集{ …}；
18．（2024七上·成都期中）计算．
（1）；
（2）
（3）；
（4）．
19．（2025七上·金华月考）阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：因为，
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
20．（2023七上·普宁期中）若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个数为“劳动数”．例如：判断210是“劳动数”的过程如下：，∵7能被7整除，∴是“劳动数”；判断322是“劳动数”的过程如下：，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”．
（1）直接写出最小的“劳动数”为______．
（2）判断448是否为“劳动数”．
（3）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．
21．（2024七上·广州期中）如图，在数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点E表示原点，点G表示的有理数是8．
（1）点A表示的数为 ，点F表示的数为 ；
（2）在数轴上标出的所有点中，表示的数互为相反数的两点为 ；
（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，若点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，则这样的点P共有多少个？请说明理由．
（4）数轴上有两个点M，N，点M到点D的距离为5，点N到点D的距离是3.7，则点M，N之间的距离为多少？请说明理由．
22．（2024七上·德惠期中）阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳※（加乘）运算的运算法则：
两数进行※（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ．
（2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可）
23．（2024七上·龙岗月考）某一出租车一天下午以深圳市民中心为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，十名乘客行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车位于市民中心的方向为 ，离市民中心出发点 ．
（2）出租车在行驶过程中，离市民中心最远的距离为 ．
（3）出租车在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.2升，则汽车共耗油多少升？
（4）出租车按物价部门规定，起步价（不超过2千米）为13元，超过2千米的部分每千米的价格为2.7元，第八位乘客应付多少元打车费？
24．【概念学习】
规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作 a ，读作“的圈次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果 ， ， ．
（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
， ， ．
（3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：当是正数，则是负数；当是负数，则是正数；当是0，是0，
∴错误，正确，
故答案为：C．
【分析】根据字母表示数的任意性，可知当是有理数时，是正数或负数或0，据此即可求解.
2．【答案】C
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】本题考查有理数减法法则的运用，将减法运算转化为加法运算，把式子中的减号根据 “减去一个数等于加上这个数的相反数” 进行变换，从而得到省略括号和加号的形式.
3．【答案】D
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A．，故1与不是互为倒数，故选项A不符合题意；
B．，故与3不是互为倒数，故选项B不符合题意；
C．，故与不是互为倒数，故选项C不符合题意．
D．，故与互为倒数，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义对选项进行逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵=2， 2>-3.1. ∴选项A正确；
∵==，==.<. ∴>-. ∴选项B错误；
∵=4.5， =3.5， 4.5>3.5。∴ -4.5<-3.5. ∴ 选项C正确；
∵=0.001 ，0<0.001. ∴ 0<.∴选项D正确.
故答案为：B.
【分析】根据数的比较的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。可以得出正确结论.
5．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵a+b=0，
∴A，B两点对应的数互为相反数，
∴可设A表示的数为a，则B表示的数为-a，
∵AB=6，
∴-a+（-a）=6，
解得：a=-3，
∴点A表示的数为-3.
故选：A.
【分析】根据互为相反数的两数之和等于0，表示出点A和点B表示的数，根据AB=6，列出方程，解方程求出a的值即可.
6．【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：、0的绝对值是0，不是正数，原说法错误，故A不符合题意；
、绝对值等于它本身的数只有0和正数，原说法错误，故B不符合题意；
、绝对值相等的两个数也可以是互为相反数的，原说法错误，故C不符合题意；
、互为相反数的两个数绝对值相等，原说法正确，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零一 一判断即可．
7．【答案】B
【知识点】精准度与有效数字
【解析】【解答】解：A、近似数0.010精确到千分位，故此选项错误，不符合题意；
B、近似数4.3万的3实际所在的数位是千位，故近似数4.3万精确到千位正确，故此选项正确，符合题意；
C、近似数2.8表示精确到十分位，2.80精确到百分位，故此选项错误，不符合题意；
D、近似数43.0精确到十分位，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要求一个近似数的精确度，就需要看这个数的最末一位所在的实际数位，据此即可逐项判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：绝对值小于4的负整数有，
，
故答案为：A
【分析】先根据绝对值的定义，找出绝对值小于4的负数，然后再将其进行相加即可求解。
9．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：把表示成两个整数的积，共出现的可能性有：
①，②，③，④，
共4种情况．
故选：．
【分析】
两数相乘，同号得正、异号得负，由于积是负数，则可把分解成两个异号整数的乘积．
10．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】
解：由题意得排球标准质量为，即排球质量在到之间都符合要求，所以在这个范围内，
∴符合要求的排球有个，所以Ａ、Ｂ、Ｄ选项都错误。
故应选：C ．
【分析】由正数和负数的实际意义知，其中的意思是在标准270克的基础上，最多重10克，最少轻10克，即只要在260克和280克之间的都达标。
11．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为： B.
【分析】科学记数法的表示形式为( 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
12．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：①只用方案一：买5个5本，到手30本，再买2本即可，
花费为：
②只用方案二：直接购买32本，
花费为：
③用方案一买4个5本，其余用方案二购买，
花费为：
∵
故答案为：A.
【分析】根据题意可知购买方案有三种：①只用方案一：买5个5本，到手30本，再买2本即可，②只用方案二：直接购买32本，③用方案一买4个5本，其余用方案二购买，分别根据书店销售方案计算花销即可.
13．【答案】5；2；4；2
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解： 在12， ， 19%， 50，， 11， 5%， 6.3， 2 022中，
正有理数有： ， 19%， 50， 6.3， 2 022，共5个；
正整数有：50，2022，共2个；
负有理数有：-12，， 11， 5%，共4个；
负整数有-12，-11，共2个.
故答案为：5；2；4；2.
【分析】有理数数分为正有理数、零和负有理数，正有理数就是大于零的有理数，正有理数分为正整数、正分数；负有理数就是小于零的有理数，负有理数分为负整数与负分数，有限小数与无限循环小数都可以化为分数，据此逐一判断得出答案.
14．【答案】7
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵数轴上，两点对应的数分别是和，
∴，之间的整数的整数有：，0，1，2，3，
∴，
故答案为：7．
【分析】先求出，之间的整数，再计算它们的绝对值之和即可．
15．【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了根据定义运算列出计算公式，根据含乘方的有理数混合运算法则运算即可。
16．【答案】615或645或675
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由图得，1×4=4，5×4=20，1·a=a，
∴如图，
∴b=6，
∴如图，
有图得，a应为奇数1，3，5.
所以两个两位数可以为15×41；15×43；15×45，
∴相乘结果为615或645或675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可.
17．【答案】解：先进行化简，；．
整数集{ ①，④，⑤， ⑧ ，…}；
非负数集{ ②，④，⑤ ，⑨，…}；
分数集{ ②，③，⑥，⑦ ，⑨ ，…}；
【知识点】有理数的分类；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】
本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类分析即可，
有理数可分为整数和分数，
整数集包括：正整数，零和负整数；
非负数集包括：正有理数和零；
分数集包括：正分数和负分数；
18．【答案】（1）解：
；
（2） 解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）运用加法的交换律和结合律，相加即可；
（2）先确定符号，再将除法转换成乘法，再约分算乘法即可；
（3）利用乘法分配律进行逆运算计算即可；
（4）原式先算乘方及绝对值运算，再算乘除法运算，最后算加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．【答案】解：先计算
原式
，
∴．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，仿照例题计算原式的倒数，即可得到答案．
20．【答案】（1）105
（2）解：是，理由如下：
∵
∵28÷7=4
∴448是“劳动数”.
（3）解：设一个“劳动数”为
∴能被7整除
∴是7的倍数
∴
，
∵是整数，
∴“劳动数”为能被7整除．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】
解：∵百位最小为1，十位最小为0，设个位最小时为由“劳动数”的定义可得：
∴能被7整除，且要最小，
∴，解得a=5
∴最小的“劳动数”为105．
故答案为：105.
【分析】（1）百位上的最小数字为1，十位上的数字为0，由因为是“劳动数”，而1×2+0×3+个位数字能够被7整除，因此，个位数字为5，这样即可得出最小的“劳动数”.
（2）根据“劳动数”的定义进行计算得：，又因为28能被7整除即可得出结论.
（3）先设出三位数，根据“劳动数”的定义得到：能被7整除，故是7的倍数，再计算进行化简为：，因为是整数，故“劳动数”为能被7整除．
（1）解：∵“劳动数”是三位数，而三位数要最小，
百位最小为1，十位最小为0，设个位最小时为，
由“劳动数”的定义可得，
，
∴能被7整除，且要最小，
∴，
∴最小的“劳动数”为105．
故答案为：105；
（2）∵，
又∵28能被7整除，
∴448是“劳动数”；
（3）设一个“劳动数”为，
∴能被7整除，即是7的倍数，
∴
，
∵是整数，
∴“劳动数”为能被7整除．
21．【答案】（1），4
（2）D与F，C与G
（3）解：由数轴可知点C、F分别表示的数是，4，
因为点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，
所以点P在这条线段上．
又因为P表示的数是整数，
所以点P可能是，，，，，，，，0，1，2，3，4共计13个，
所以这样的点P共有13个.
（4）解：分类讨论：①当点M和N位于点D同一侧时，
；
②当点M和N位于点D异侧时，
；
所以点M，N之间的距离为1.3或8.7．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；相反数的意义与性质
【解析】【解答】（1）解：因为点E表示原点，点G表示的有理数是8，
所以．
因为任意相邻两点间的距离都相等，
所以，，
所以点A表示的数为，点F表示的数为4.
故答案为：，4
（2）解：因为表示的数互为相反数的两点，位于原点两侧，且距原点的距离相等，
所以由数轴可知表示的数互为相反数的两点为D与F，C与G.
故答案为：D与F，C与G.
【分析】（1）先根据（原点）和（表示 ）的位置，算出相邻两点距离，再确定、位置对应的数.
（2）先确定各点表示的数，再找和为的两个数对应的点.
（3）先确定、表示的数，得出两点距离，再分情况讨论点位置，统计整数点个数.
（4）先确定表示的数，再分情况讨论、与的位置关系，计算距离.
（1）解：因为点E表示原点，点G表示的有理数是8，
所以．
因为任意相邻两点间的距离都相等，
所以，，
所以点A表示的数为，点F表示的数为4；
（2）解：因为表示的数互为相反数的两点，位于原点两侧，且距原点的距离相等，
所以由数轴可知表示的数互为相反数的两点为D与F，C与G；
（3）解：由数轴可知点C、F分别表示的数是，4，
因为点P到点C的距离与点P到点F的距离之和为12，
所以点P在这条线段上．
又因为P表示的数是整数，
所以点P可能是，，，，，，，，0，1，2，3，4共计13个，
所以这样的点P共有13个；
（4）解：分类讨论：①当点M和N位于点D同一侧时，
；
②当点M和N位于点D异侧时，
；
所以点M，N之间的距离为1.3或8.7．
22．【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值
（2）解；原式；
（3）解：交换律仍然适用，
例如：，
所以，
故交换律仍然适用．
结合律不适用，
举例：，
，
所以结合律不适用．
【知识点】有理数的加法法则；有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
都得这个数的绝对值．
【分析】（1）根据新定义的运算，结合所给示例，进行总结，即可求解；
（2）根据新定义的运算，结合总结的运算规律，进行计算，即可求解；
（3）根据新定义的运算，选择加法交换律，根据运算法则，举例计算，即可得出结论．
（1）解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
都得这个数的绝对值．
（2）解；原式；
（3）解：交换律仍然适用，
例如：，
所以，
故交换律仍然适用．
结合律不适用，
举例：，
，
所以结合律不适用．
23．【答案】（1）东方；2
（2）10
（3）解：（升），
答：这辆出租车共耗油12升．
（4）解：（元），
答：第八位乘客应付23.8元打车费．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；绝对值的概念与意义；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】（1）解：（），
∵，
∴在公司的东方，
答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离公司出发点2，在公司的东方．
故答案围为：东方；2．
（2）解：第一次：9，
第二次：（），
第三次：（），
第四次：（），
第五次：，（），
第六次：（），
第七次：（），
第八次：（），
第九次：，（），
第十次：（），
∵，
∴离公司最远的距离是10．
故答案为：10．
【分析】本题考查正负数的意义，绝对值的意义，有理数混合运算的实际应用．
（1）将记录数据相加可得：， 再利用有理数的加减法进行计算求出结果，若结果为负，在公司西方，否则在公司东方；
（2）根据题意分别求出10次行程离公司距离，再进行比较可得：，进而可求出离公司最远的距离；
（3）将记录数据的绝对值相加可得：，利用有理数的加法可求出行驶路程，再乘以0.2可求出答案；
（4）将2千米内和超过2千米部分的费用相加可得：，再进行计算可求出答案．
（1）解：（），
∵，
∴在公司的东方，
答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离公司出发点2，在公司的东方．
故答案围为：东方；2．
（2）解：第一次：9，
第二次：（），
第三次：（），
第四次：（），
第五次：，（），
第六次：（），
第七次：（），
第八次：（），
第九次：，（），
第十次：（），
∵，
∴离公司最远的距离是10．
故答案为：10．
（3）解：（升），
答：这辆出租车共耗油12升．
（4）解：（元），
答：第八位乘客应付23.8元打车费．
24．【答案】（1）；；
（2）；；
（3）
【知识点】有理数的乘方法则；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1）；
；
；
故答案为：，，．
（2），
；
故答案为：，，；
（3）由题意，根据（2）中规律可得，
故答案为：
【分析】（1）根据除方的定义结合题意即可求解；
（2）根据除方的定义结合有理数的乘方得到，，，进而即可求解；
（3）根据除方的定义结合（2）即可得到.
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