第二章《整式及其加减》提升卷—沪科版（2024）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2021七上·衢州期末）代数式的意义是（ ）
A．x除以y加3 B．y加3除x
C．y与3的和除以x D．x除以y与3的和所得的商
2．（2025七上·海曙期末）下列计算正确的是（ ）
A．3a-2a=1 B．3a+2a=5a2
C． D．
3．（2025七上·镇海区期末）如果 与 是同类项，那么 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七上·光明期末）有一道题是一个多项式减去，小强误当成加法计算，结果得到，正确的结果应该是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七上·呼和浩特期中）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020七上·石景山期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ， ☆ = （ 为常数），如： ☆ = ．若 ☆ = ，则 ☆ 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2025七上·镇海区期末）如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①，②，③，④若要求图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列那个正方形的边长（ ）
A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④
8．（2022七上·渭城期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．8089 B．8088 C．4044 D．4045
9．（2025七上·海曙期末）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的x是7，则第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去，…，第2025次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
10．（2024七上·吴兴期末）借助符号，数学语言变得简洁明了.例如可用代数式 来表示“”(题目选自 1905年清朝学堂课本).观察其中的规律，将“”化简后得( )
A． B． C． D．
11．观察等式： ；….已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2 .若 用含a 的式子表示这组数的和是（ ).
A． B． C． D．
12．（2023七上·大足期末）有依次排列的3个整式：，x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2022的所有整式的和为．
上述四个结论错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2025七上·海曙期末）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则|mn|的值是 .
14．为落实“双减”政策，学校利用课后服务开展了校园读书活动，现需购买甲、乙两种读本共120本，其中甲读本12元/本，乙读本15元/本，设购买甲读本x本，则购买两种读本的总费用为 元(用含x的代数式表示).
15．（2025七上·椒江期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ．
16．（2025七上·鄞州期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ．
三、解答题：本大题7小题，共68分.
17．（2025七上·常德期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七上·兰溪期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2024七上·成都期中）定义：已知，为关于x的多项式，若，其中k为大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为．又如，，，，x不是大于的常数，则称不是N的“友好式”．
（1）已知，，则是的“友好式”吗？若是，请证明并求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由；
（2）已知，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为，求m，n的值．
20．（2024七上·龙华月考）（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式；
，，，______；
（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式．
，，，，______；
（3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______．
21．（2023七上·丰城期中）已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
（1）应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
（2）小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
（3）聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？
22．（2024七上·南海期末）综合运用
将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y．
（1）求3号、4号正方形的边长．（用含x，y的代数式表示）
（2）若题图1中5号长方形的周长为10，试求3号正方形的边长．
（3）在第（2）问的条件下，将这5个图形按图2的方式互不重叠地放入长方形中，若阴影部分的周长为70，求长方形的周长．
23．（2023七上·南海月考）当你记不住九九乘法表中乘9的口诀是，你可以进行如下的操作：例如，伸出两只手，做运算时，如图，从左手开始数4下，数到第4根手指向下弯．这时，如图1该手指左边有3根手指，右边有6根手指，可得36，即．类似的，做运算时，从左手开始数8下，数到第8根手指向下弯，这时，该手指左边有7根手指，右边有2根手指，可得72，即．
（1）在计算时，从左手开始数，数到第 根手指向下弯下，这时，该手指左边有 根手指，右边有 根手指；
（2）将问题一般化，我们可以解决（，且为整数）的问题．从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有 根手指，右边有 根手指，由此即可得 ；
（3）小郭同学在研究的过程中发现，若是一个特殊两位数时，如等，当这样的两位数与9相乘时，也能够通过指算法求解．如图2是的指算法过程，假设是这个两位数的个位数字，请用含有的等式表示上述规律，并说明它的正确性．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】解：的意义是x除以y与3的和所得的商.
故答案为：D.
【分析】表示x与y+3的商，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： 故A错误；
故B错误；
故C正确；
故D错误.
故答案为： C.
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与 是是同类项，
∴
解得
故答案为： B.
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项， 由此得出 即可求出m、 n的值.
4．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
原多项式为
∴正确结果为：
故答案为：A
【分析】根据题意求出原多项式，再求出正确结果.
5．【答案】D
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，3月份利润为 ，
则4月份利润为 ，
故答案为：D．
【分析】先利用x表示出3月份的利润，再利用“4月份比3月份增加了8%”表示出4月份的利润即可。
6．【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】∵ ☆ = ，
∴1☆2=
∴
∴ ☆ =
故答案为：A.
【分析】先根据 ☆ = 求出a的值，进而再计算 ☆ 的值即可.
7．【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解： 设正方形①、②、③、④的边长分别为a、b、c、d ，
右上角阴影部分的周长为：2×(AB-b-c+AD-a) ， 左下角阴影部分的周长为：2×(AB-a+AD-c) ，
∴ 两块阴影部分的周长之差为：2×(AB-a+AD-c) - 2×(AB-b-c+AD-a) = 2AB - 2a + 2AD - 2c - 2AB + 2b + 2c - 2AD + 2a = 2b，
故答案为：B.
【分析】设 正方形①、②、③、④的边长分别为a、b、c、d ，表示两个矩形的周长，求周长差为2b，然后判断解题即可.
8．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个图案有5个：；
第二个图案有9个：；
第三个图案有13个：；
…
则第n个图形有：个；
故第2022个图案中有(个).
故答案为：A.
【分析】根据图形可得：第一个、第二个、第三个图案中阴影小正方形的个数，推出第n个图案中阴影小正方形的个数，然后将n=2022代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出的结果是：
第2次输出的结果是：
第3次输出的结果是：
第4次输出的结果为：
第5次输出的结果为：
第6次输出的结果为：
第7次输出的结果为：
第8次输出的结果为：
…，
可以发现：输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2， 1为一个循环，
∴第2025次输出的结果为3，
故答案为： C.
【分析】通过计算可以发现，输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2， 1为一个循环，据此即可得出第2025次输出的结果.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，可知“”表示为，
化简得：，
故答案为：D．
【分析】本题考查列代数式，整式的加减．根据给定的例题，可得：“”表示为，再进行化简可列出代数式．
11．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵2 25-2 ，
∴，
∴
=
∵
∴
故答案为：C.
【分析】观察2 25-2 ，发现规律，，将数列表示为两个数列之差，并应用前面发现的规律来计算最终结果.
12．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①整式串2为：，故①正确；
②整式串3为：
整式串3共17个整式，故②正确；
③整式串2的和为：
整式串3的和为：
整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正确；
……
整式串n的和为：
④整式串2022的所有整式的和为，故④正确，
综上，错误的结论为0.
故答案为：A．
【分析】根据整式的加减运算法则“先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项”及题干要求写出整式串2与整式串3，即可直接判断①与②；再根据整式加法法则分别计算出整式串2与3的和，再求出整式串2与2的差，即可判断③；通过观察整式串2与3的和发现规律“整式串n的和为3x-2n”，进而将n=2022代入计算可判断④.
13．【答案】4
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：解：∵ 单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴-m+1=3，n+1=3，
解得m=-2，n=2，
∴|mn|=|-2×2|=4，
故答案为：4.
【分析】根据同类项的定义“含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的项”解题即可.
14．【答案】(-3x+1800)
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设购买甲读本x本，则购买乙读本(120-x)本，
根据题意得，12x+15(120-x)=12x+1800-15x=-3x+1800，
故答案为：(-3x+1800) .
【分析】根据题意，先求出购买乙读本的本数，再根据单价x数量=总价，分别求出购买甲、乙两种读本的费用，然后相加即可.
15．【答案】51
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，
由题意得：，
，
∴，
∴，
∴x、y为同一横行上，相邻的两个数，
∵，
∴当最小时，最小，
根据图可知，y的最小值为8，
∴x的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：51．
【分析】设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，即可得到，，根据题意得到，再根据日历得到x，y的最小值解题即可．
16．【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵且为非零整数
∴，
要使得最小，则都为最小值，
∴
∵，且最小，则
∵
∴
∵，为整数，且最小，则都为负数，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出为最小值时，得出，，再利用，即可得到，或，解题即可．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可；
（2）先算乘方，再算括号内的乘法，进而计算括号内减法，接着计算乘法，最后计算加法即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】解：
解得：
当时，
原式.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据偶数次幂及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求得x、y的值；再将原多项式去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项化简，最后将x、y的值代入化简结果按有理数的乘法法则计算即可.
19．【答案】（1）解：不是，理由如下
∵
，
又∵，
∴不符合定义，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，
解得，
∴M与N“友好值”为，
∴，
解得，
，．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】（1）读懂题意，利用新定义计算并判断；
（2）利用新定义列等式求出、的值．
（1）解：
，
，
∴不符合定义，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，，
∴，
∴，
，．
20．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）前3个等式规律：
第1个：（左边1个数，右边对应公式 ）
第2个：（左边2个数，右边对应公式 ）
第3个：（左边3个数，右边对应公式 ）
第4个等式左边是（4个连续自然数相加 ），按规律右边为，即：
，
故答案为：.
（2）观察前式：
第1个：和为，对应数（ ）
第2个：和为，对应数（ ）、（ ）
第3个：和为，对应数（ ）、（ ）
第4个：和为，对应数（ ）、（ ）
所以第5个等式左边是（ ）和（ ）相加，右边是，即：
，
故答案为：.
（3）结合（1）（2），左边两数是连续的三角形数：
第个等式中，前一个数为（对应第个三角形数 ）
后一个数为（对应第个三角形数 ）
两数相加：
所以第个等式为：
故答案为： .
【分析】本题是找规律题型，需通过观察点阵图与等式的对应关系，归纳出通用规律，分三步突破：
（1）第4个点阵等式：观察前3个等式，左边是连续自然数相加（个数与点阵序号一致 ），右边是“”的形式，据此推导第4个等式.
（2）第5个点阵等式：分析前4个等式（如， ），左边是两数相加，数的规律与“三角形数”（ ）相关，右边是序号的平方，据此找第5个等式.
（3）第个点阵等式：结合（1）（2）的规律，将具体序号推广到，用含的式子表示左边两数和（基于三角形数公式 ）与右边的关系.
21．【答案】（1）解：5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）解：根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
则B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）解：由题意可得：
B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用
【解析】【分析】（1 ）计算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A），去括号，合并同类项即可求出答案.
（2 ）根据倒数的性质可得ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，则2+3a﹣8＝0，解方程可得a的值，继而得出b的值，再代入代数式即可求出答案.
（ 3）先计算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根据B﹣A＝7且与字母a无关知b﹣3＝0，即可求出答案.
（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
则B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
22．【答案】（1）解：∵1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y．∴3号正方形的边长为， 4号正方形的边长为，
（2）解：5号长方形的长为：，宽为：，5号长方形的周长为10，
∴，
∴，
号正方形的边长为，
号正方形的边长为；
（3）解：
由（2）可知号正方形的边长为，
∴4号正方形的边长为，
，
∵阴影部分的周长为70，
∴，
∴，
∴长方形的周长．
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）观察图形，得到3号正方形的边长为2号正方形的边长加上1号正方形的边长，4号正方形的边长为3号正方形的边长加上1号正方形的边长，据此求解，即可得到答案；
（2）根据题意，得到5号长方形的长为4号正方形的边长加上1号正方形的边长，宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长，结合5号长方形的边长为10，列出代数式，求得，即可得到答案；
（3）根据（2）所求得到4号正方形的边长为， 得到，根据阴影部分的周长为70，得到，求得，得到长方形的周长的代数式，即可求解.
23．【答案】（1）6；5；4
（2）；；
（3）解：由题意得：这个两位数的十位数字为，
则这个两位数为，
计算（，且为整数）的问题，从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有根手指，右边有根手指，由此即可得，
说明它的正确性的过程如下：
，，
.
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） 在计算时，从左手开始数，数到第6根手指向下弯下，这时，该手指左边有5根手指，右边有4根手指，即6×9=54.
故答案为：6，5，4.
（2） 将问题一般化，我们可以解决（，且为整数）的问题．从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有（n-1）根手指，右边有(10-n)根手指，由此即可得；
故答案为：（n-1），(10-n)，.
【分析】（1）根据题干中操作求解即可；
（2）根据题干中操作求解即可；
（3）先求出这个两位数的十位数字为，则这个两位数为，再参照（2）可得，再利用整式的加减进行验证即可.
1 / 1第二章《整式及其加减》提升卷—沪科版（2024）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2021七上·衢州期末）代数式的意义是（ ）
A．x除以y加3 B．y加3除x
C．y与3的和除以x D．x除以y与3的和所得的商
【答案】D
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】解：的意义是x除以y与3的和所得的商.
故答案为：D.
【分析】表示x与y+3的商，据此判断即可.
2．（2025七上·海曙期末）下列计算正确的是（ ）
A．3a-2a=1 B．3a+2a=5a2
C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： 故A错误；
故B错误；
故C正确；
故D错误.
故答案为： C.
【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案.
3．（2025七上·镇海区期末）如果 与 是同类项，那么 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与 是是同类项，
∴
解得
故答案为： B.
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项， 由此得出 即可求出m、 n的值.
4．（2025七上·光明期末）有一道题是一个多项式减去，小强误当成加法计算，结果得到，正确的结果应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
原多项式为
∴正确结果为：
故答案为：A
【分析】根据题意求出原多项式，再求出正确结果.
5．（2021七上·呼和浩特期中）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，3月份利润为 ，
则4月份利润为 ，
故答案为：D．
【分析】先利用x表示出3月份的利润，再利用“4月份比3月份增加了8%”表示出4月份的利润即可。
6．（2020七上·石景山期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ， ☆ = （ 为常数），如： ☆ = ．若 ☆ = ，则 ☆ 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】∵ ☆ = ，
∴1☆2=
∴
∴ ☆ =
故答案为：A.
【分析】先根据 ☆ = 求出a的值，进而再计算 ☆ 的值即可.
7．（2025七上·镇海区期末）如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①，②，③，④若要求图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列那个正方形的边长（ ）
A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解： 设正方形①、②、③、④的边长分别为a、b、c、d ，
右上角阴影部分的周长为：2×(AB-b-c+AD-a) ， 左下角阴影部分的周长为：2×(AB-a+AD-c) ，
∴ 两块阴影部分的周长之差为：2×(AB-a+AD-c) - 2×(AB-b-c+AD-a) = 2AB - 2a + 2AD - 2c - 2AB + 2b + 2c - 2AD + 2a = 2b，
故答案为：B.
【分析】设 正方形①、②、③、④的边长分别为a、b、c、d ，表示两个矩形的周长，求周长差为2b，然后判断解题即可.
8．（2022七上·渭城期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．8089 B．8088 C．4044 D．4045
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个图案有5个：；
第二个图案有9个：；
第三个图案有13个：；
…
则第n个图形有：个；
故第2022个图案中有(个).
故答案为：A.
【分析】根据图形可得：第一个、第二个、第三个图案中阴影小正方形的个数，推出第n个图案中阴影小正方形的个数，然后将n=2022代入计算即可.
9．（2025七上·海曙期末）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的x是7，则第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去，…，第2025次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第1次输出的结果是：
第2次输出的结果是：
第3次输出的结果是：
第4次输出的结果为：
第5次输出的结果为：
第6次输出的结果为：
第7次输出的结果为：
第8次输出的结果为：
…，
可以发现：输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2， 1为一个循环，
∴第2025次输出的结果为3，
故答案为： C.
【分析】通过计算可以发现，输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2， 1为一个循环，据此即可得出第2025次输出的结果.
10．（2024七上·吴兴期末）借助符号，数学语言变得简洁明了.例如可用代数式 来表示“”(题目选自 1905年清朝学堂课本).观察其中的规律，将“”化简后得( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，可知“”表示为，
化简得：，
故答案为：D．
【分析】本题考查列代数式，整式的加减．根据给定的例题，可得：“”表示为，再进行化简可列出代数式．
11．观察等式： ；….已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2 .若 用含a 的式子表示这组数的和是（ ).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵2 25-2 ，
∴，
∴
=
∵
∴
故答案为：C.
【分析】观察2 25-2 ，发现规律，，将数列表示为两个数列之差，并应用前面发现的规律来计算最终结果.
12．（2023七上·大足期末）有依次排列的3个整式：，x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2022的所有整式的和为．
上述四个结论错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①整式串2为：，故①正确；
②整式串3为：
整式串3共17个整式，故②正确；
③整式串2的和为：
整式串3的和为：
整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正确；
……
整式串n的和为：
④整式串2022的所有整式的和为，故④正确，
综上，错误的结论为0.
故答案为：A．
【分析】根据整式的加减运算法则“先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项”及题干要求写出整式串2与整式串3，即可直接判断①与②；再根据整式加法法则分别计算出整式串2与3的和，再求出整式串2与2的差，即可判断③；通过观察整式串2与3的和发现规律“整式串n的和为3x-2n”，进而将n=2022代入计算可判断④.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2025七上·海曙期末）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则|mn|的值是 .
【答案】4
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：解：∵ 单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴-m+1=3，n+1=3，
解得m=-2，n=2，
∴|mn|=|-2×2|=4，
故答案为：4.
【分析】根据同类项的定义“含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的项”解题即可.
14．为落实“双减”政策，学校利用课后服务开展了校园读书活动，现需购买甲、乙两种读本共120本，其中甲读本12元/本，乙读本15元/本，设购买甲读本x本，则购买两种读本的总费用为 元(用含x的代数式表示).
【答案】(-3x+1800)
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设购买甲读本x本，则购买乙读本(120-x)本，
根据题意得，12x+15(120-x)=12x+1800-15x=-3x+1800，
故答案为：(-3x+1800) .
【分析】根据题意，先求出购买乙读本的本数，再根据单价x数量=总价，分别求出购买甲、乙两种读本的费用，然后相加即可.
15．（2025七上·椒江期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ．
【答案】51
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，
由题意得：，
，
∴，
∴，
∴x、y为同一横行上，相邻的两个数，
∵，
∴当最小时，最小，
根据图可知，y的最小值为8，
∴x的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：51．
【分析】设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，即可得到，，根据题意得到，再根据日历得到x，y的最小值解题即可．
16．（2025七上·鄞州期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵且为非零整数
∴，
要使得最小，则都为最小值，
∴
∵，且最小，则
∵
∴
∵，为整数，且最小，则都为负数，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出为最小值时，得出，，再利用，即可得到，或，解题即可．
三、解答题：本大题7小题，共68分.
17．（2025七上·常德期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可；
（2）先算乘方，再算括号内的乘法，进而计算括号内减法，接着计算乘法，最后计算加法即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2024七上·兰溪期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
解得：
当时，
原式.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据偶数次幂及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求得x、y的值；再将原多项式去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项化简，最后将x、y的值代入化简结果按有理数的乘法法则计算即可.
19．（2024七上·成都期中）定义：已知，为关于x的多项式，若，其中k为大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为．又如，，，，x不是大于的常数，则称不是N的“友好式”．
（1）已知，，则是的“友好式”吗？若是，请证明并求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由；
（2）已知，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为，求m，n的值．
【答案】（1）解：不是，理由如下
∵
，
又∵，
∴不符合定义，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，
解得，
∴M与N“友好值”为，
∴，
解得，
，．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】（1）读懂题意，利用新定义计算并判断；
（2）利用新定义列等式求出、的值．
（1）解：
，
，
∴不符合定义，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，，
∴，
∴，
，．
20．（2024七上·龙华月考）（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式；
，，，______；
（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式．
，，，，______；
（3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）前3个等式规律：
第1个：（左边1个数，右边对应公式 ）
第2个：（左边2个数，右边对应公式 ）
第3个：（左边3个数，右边对应公式 ）
第4个等式左边是（4个连续自然数相加 ），按规律右边为，即：
，
故答案为：.
（2）观察前式：
第1个：和为，对应数（ ）
第2个：和为，对应数（ ）、（ ）
第3个：和为，对应数（ ）、（ ）
第4个：和为，对应数（ ）、（ ）
所以第5个等式左边是（ ）和（ ）相加，右边是，即：
，
故答案为：.
（3）结合（1）（2），左边两数是连续的三角形数：
第个等式中，前一个数为（对应第个三角形数 ）
后一个数为（对应第个三角形数 ）
两数相加：
所以第个等式为：
故答案为： .
【分析】本题是找规律题型，需通过观察点阵图与等式的对应关系，归纳出通用规律，分三步突破：
（1）第4个点阵等式：观察前3个等式，左边是连续自然数相加（个数与点阵序号一致 ），右边是“”的形式，据此推导第4个等式.
（2）第5个点阵等式：分析前4个等式（如， ），左边是两数相加，数的规律与“三角形数”（ ）相关，右边是序号的平方，据此找第5个等式.
（3）第个点阵等式：结合（1）（2）的规律，将具体序号推广到，用含的式子表示左边两数和（基于三角形数公式 ）与右边的关系.
21．（2023七上·丰城期中）已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
（1）应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
（2）小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
（3）聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？
【答案】（1）解：5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）解：根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
则B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）解：由题意可得：
B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用
【解析】【分析】（1 ）计算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A），去括号，合并同类项即可求出答案.
（2 ）根据倒数的性质可得ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，则2+3a﹣8＝0，解方程可得a的值，继而得出b的值，再代入代数式即可求出答案.
（ 3）先计算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根据B﹣A＝7且与字母a无关知b﹣3＝0，即可求出答案.
（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
则B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
22．（2024七上·南海期末）综合运用
将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y．
（1）求3号、4号正方形的边长．（用含x，y的代数式表示）
（2）若题图1中5号长方形的周长为10，试求3号正方形的边长．
（3）在第（2）问的条件下，将这5个图形按图2的方式互不重叠地放入长方形中，若阴影部分的周长为70，求长方形的周长．
【答案】（1）解：∵1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y．∴3号正方形的边长为， 4号正方形的边长为，
（2）解：5号长方形的长为：，宽为：，5号长方形的周长为10，
∴，
∴，
号正方形的边长为，
号正方形的边长为；
（3）解：
由（2）可知号正方形的边长为，
∴4号正方形的边长为，
，
∵阴影部分的周长为70，
∴，
∴，
∴长方形的周长．
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）观察图形，得到3号正方形的边长为2号正方形的边长加上1号正方形的边长，4号正方形的边长为3号正方形的边长加上1号正方形的边长，据此求解，即可得到答案；
（2）根据题意，得到5号长方形的长为4号正方形的边长加上1号正方形的边长，宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长，结合5号长方形的边长为10，列出代数式，求得，即可得到答案；
（3）根据（2）所求得到4号正方形的边长为， 得到，根据阴影部分的周长为70，得到，求得，得到长方形的周长的代数式，即可求解.
23．（2023七上·南海月考）当你记不住九九乘法表中乘9的口诀是，你可以进行如下的操作：例如，伸出两只手，做运算时，如图，从左手开始数4下，数到第4根手指向下弯．这时，如图1该手指左边有3根手指，右边有6根手指，可得36，即．类似的，做运算时，从左手开始数8下，数到第8根手指向下弯，这时，该手指左边有7根手指，右边有2根手指，可得72，即．
（1）在计算时，从左手开始数，数到第 根手指向下弯下，这时，该手指左边有 根手指，右边有 根手指；
（2）将问题一般化，我们可以解决（，且为整数）的问题．从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有 根手指，右边有 根手指，由此即可得 ；
（3）小郭同学在研究的过程中发现，若是一个特殊两位数时，如等，当这样的两位数与9相乘时，也能够通过指算法求解．如图2是的指算法过程，假设是这个两位数的个位数字，请用含有的等式表示上述规律，并说明它的正确性．
【答案】（1）6；5；4
（2）；；
（3）解：由题意得：这个两位数的十位数字为，
则这个两位数为，
计算（，且为整数）的问题，从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有根手指，右边有根手指，由此即可得，
说明它的正确性的过程如下：
，，
.
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） 在计算时，从左手开始数，数到第6根手指向下弯下，这时，该手指左边有5根手指，右边有4根手指，即6×9=54.
故答案为：6，5，4.
（2） 将问题一般化，我们可以解决（，且为整数）的问题．从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有（n-1）根手指，右边有(10-n)根手指，由此即可得；
故答案为：（n-1），(10-n)，.
【分析】（1）根据题干中操作求解即可；
（2）根据题干中操作求解即可；
（3）先求出这个两位数的十位数字为，则这个两位数为，再参照（2）可得，再利用整式的加减进行验证即可.
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