第一章《三角形》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（ ）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
2．（2024八上·寻甸期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条高的交点处
C．三角形三条中线的交点处
D．三角形三个内角的角平分线的交点处
3．（2024八上·广州期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·高唐期末）下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·桓台期末）已知的三边，，满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6． 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于( )
A．55° B．50° C．65° D．60°
7．（2024八上·新会月考） 如图， ， 线段 的延长线过点 ， 与线段 交于点 ， ， 则 的度数为 ( )
A． B． C． D．
8．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.
9．（2024八上·湖北月考）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ．
10．（2023八上·洞口月考）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ．
11．（2024八上·顺平期末）我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．
12．（2024八上·咸安期末）如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后，与全等.
13．（2024八上·浙江期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，y-1，若这两个三角形全等，则x+y的值是 ．
14．（2016八上·禹州期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= ．
15．（2023八上·双峰期末）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ．
16．（2022八上·成都期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 .
17．（2024八上·曾都期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则 °．
18．如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根.
三、解答题：本大题10小题，共96分.
19．（2024八上·新会月考） 电信部门要修建一座电视信号发射塔 ， 按照设计要求， 发射塔 到两城镇 的距离必须相等， 到两条高速公路 和 的距离也必须相等. 请在图中作出发射塔 的位置 .(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
20．（2025八上·红花岗期末）如图，在和中，在同一条直线上，已知：，下列给出三个条件：．解答下列问题：
（1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：
我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）．
（2）在（1）的条件下，若与相交于点，求．
21．（2024八上·黔西南期末）中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ；
（3）【应用】
如图②．求的度数．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．
（1）求的度数．
（2）设，当为何值时，为等腰三角形？
23．（2025八上·余姚期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
24．（2024八上·隆安期末）综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
25．（2024八上·柯桥月考）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．
（1）如图1，点在的内部．
①当，求的度数；
②当平分，判断的形状，并说明理由；
（2）如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．
26．（2024八上·南宁月考）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之间的数量关系；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）试猜想AB、BD、AC之间的数量关系 ．
（2）根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法
（3）解决下面的问题；
如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
27．（2024八上·恩施期中）
（1）感知：如图，平分，，易知：（不需证明）
（2）探究：如图，平分，，求证：．
（3）应用：如图，四边形中，，，，，求证：．
28．（2020八上·赣榆期中）如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，从而利用SSS判断出△OCD≌△O'C'D'，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠A'O'B'.
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：当的垂直平分交于点D时，
∴，
∴的周长．
故答案为：B．
【分析】根据基本的尺规作图可得作的垂直平分交于点D时满足题意．
5．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵的三边，，，
∴，
∵，
∴，
，
a、b、c是的三边，
，
，
的形状为等腰三角形，
故选：C．
【分析】
由三角形三边关系可知，则原等式可变形为，即有，即可判断的形状．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设AD与BF交于点M
△ABC≌△ADE， ∠B=30°，∠AED=110°
AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°
ACM=180° -110°=70°
AMC=180° -ACM-DAC=180° -70°-10°=100°
FMD=AMC=100°
DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°
故答案为：B
【分析】设AD与BF交于点M，根据全等三角形的性质可得AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°，
则ACM=180° -110°=70°，根据三角形内角和定理可得AMC=180° -ACM-DAC=100°，则FMD=AMC=100°，可得DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°。
7．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，
∴∠CAB=∠EAD=180°-108°-48°=24°，
∵∠CAD=12°，
∴∠EAB=24°+12°+24°=60°，
∴∠AEB=180°-48°-60°=72°，
∴∠DEF=∠AED-∠AEB=108°-72°=36°。
故答案为：B。
【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得出∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，进而根据三角形内角和定理可求出∠CAB=∠EAD=24°，进而得出∠EAB=60°，再根据三角形内角和定理可得出∠AEB=72°，进而根据两角之差，即可求得 的度数 。
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
9．【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案为：30．
【分析】
本题主要考查平行线的性质、平角性质、三角形的外角的性质。延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，由平角性质得平行线的性质可得∴∠CAN=55°，由平行线性质得∠CFD=55°，由外角的性质可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
10．【答案】1
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
同理可证，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积.
11．【答案】2
【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条.
故答案为：2．
【分析】根据三角形具有稳定性，由题意将五边形可以分成3个三角形，根据从一个顶点发出的对角线有（n-3）条可知需要两根木条．
12．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），
则BQ＝AP＝AB BP＝12 4＝8（米），
A的运动时间是：4÷1＝4（分钟），
Q的运动时间是：8÷2＝4（分钟），
则当t＝4分钟时，两个三角形全等；
②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），
AP＝BP=AB＝6（米），
则P运动的时间是：6÷1＝6（分钟），
Q运动的时间是：4÷2＝2（分钟），
所以不能成立．
综上所述，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等.
故答案为：4.
【分析】分类讨论：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），再利用“速度、路程和时间”的关系分别列出算式求出时间即可.
13．【答案】14 或 12.5
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：两个三角形全等，
当时，解得，
，
当时，解得，
，
综上所述，.
故答案为：14 或 12.5.
【分析】由全等三角形的性质可得或，进而求得x、y的值，即可得到x+y的值.
14．【答案】4：5：6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，的周长是，
．
故答案为：．
【分析】
由线段垂直平分线的性质可得，则的周长，再代入数据进行计算即可得解．
16．【答案】7
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答.
17．【答案】24
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠COD＋∠CDO，
∴∠DEC＝2∠COD，
∴∠BDE＝∠DEC＋∠COD＝3∠COD，∠BDE＝72°，
∴∠COD＝24°，
即∠AOB＝24°，
故答案为：24．
【分析】先利用等边对等角的性质可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再利用三角形外角的性质可得∠DCE＝∠COD＋∠CDO，再将数据代入求出∠COD＝24°，即可得到∠AOB＝24°.
18．【答案】8
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
【分析】 此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质，由图可发现，图中随着钢管数量的增加，出现了好几个等腰三角形，第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°......以此类推，而由等腰三角形的性质得知，等腰三角形的底角应小于90°，所以，底角最大增加到80°，故最多添加8根钢管.
19．【答案】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，作角的平分线，两线相交于点P，则点P为所求。
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】分别根据线段垂直平分线的作法，以及角平分线的作法作图，两线相交于点P，点P为所求。
20．【答案】（1）①③；②或②③，①，
解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择条件和结论，然后证明解题；
（2）先得到，根据（1）可得，然后运用三角形的内角和定理解题．
（1）解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
21．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图②，由三角形外角的性质得，，
由三角形内角定理得，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理以及等量代化即可求解；
（3）利用三角形的外角性质以及内角和定理即可求解.
22．【答案】（1）（1）解：∵，，∴，
∵、关于所在的直线对称，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）（2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论：令与交点为，
①当时，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②当时，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
综上所述：当或时，为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）先求出，再利用轴对称性质得，即，再证明，继而得到；
（2）为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求出即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵、关于所在的直线对称，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论：
令与交点为，
，
①当时，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②当时，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
综上所述：当或时，为等腰三角形．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
24．【答案】解：（1）证明：在和中，
∵，
，
，
是的平分线；
（2）实践小组的判断对，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)证明，得，即可证得是的平分线 ；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而即可解决问题．
25．【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
为等边三角形
（2）的度数为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）①先根据等角对等边得，由三角形的内角和得，再利用周角得∠BOC的度数，再推出，根据等角对等边得；
②设，则可表示出，根据等边对等角得的度数，再推出得，可表示出、，再根据三角形内角和定理列方程计算，进而得、、，由此可判定的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算出，即可写出的度数 ，②当直线与的延长线交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算，即可写出的度数 ，综上所述即可得出的度数．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
26．【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
（2）方法一：根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
方法二：由等边对等角得∠BED＝∠BDE，再结合三角形外角的性质和角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"证明△AED≌△ACD，由全等三角形的性质得AE=AC，最后根据线段间的数量关系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，等边对等角及三角形内角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再结合三角形外角的性质得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"证明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性质可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，进而由等角对等边可得到BF＝CE，进而即可求解.
27．【答案】（1）证明：，，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）证明：作于，于，如图所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）证明：连接，作于点，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用“AAS”证出≌，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）作于，于，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出≌，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）连接，作于点，先利用“AAS”证出≌，可得，，再利用“HL”证出≌，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得．
（1），，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）作于，于，如图所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）连接，作于点，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
28．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由点P、Q运动速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，据此求解；
（3）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，据此求解.
1 / 1第一章《三角形》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（ ）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
2．（2024八上·寻甸期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条高的交点处
C．三角形三条中线的交点处
D．三角形三个内角的角平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可.
3．（2024八上·广州期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，从而利用SSS判断出△OCD≌△O'C'D'，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠A'O'B'.
4．（2024八上·高唐期末）下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：当的垂直平分交于点D时，
∴，
∴的周长．
故答案为：B．
【分析】根据基本的尺规作图可得作的垂直平分交于点D时满足题意．
5．（2025八上·桓台期末）已知的三边，，满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵的三边，，，
∴，
∵，
∴，
，
a、b、c是的三边，
，
，
的形状为等腰三角形，
故选：C．
【分析】
由三角形三边关系可知，则原等式可变形为，即有，即可判断的形状．
6． 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于( )
A．55° B．50° C．65° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设AD与BF交于点M
△ABC≌△ADE， ∠B=30°，∠AED=110°
AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°
ACM=180° -110°=70°
AMC=180° -ACM-DAC=180° -70°-10°=100°
FMD=AMC=100°
DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°
故答案为：B
【分析】设AD与BF交于点M，根据全等三角形的性质可得AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°，
则ACM=180° -110°=70°，根据三角形内角和定理可得AMC=180° -ACM-DAC=100°，则FMD=AMC=100°，可得DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°。
7．（2024八上·新会月考） 如图， ， 线段 的延长线过点 ， 与线段 交于点 ， ， 则 的度数为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，
∴∠CAB=∠EAD=180°-108°-48°=24°，
∵∠CAD=12°，
∴∠EAB=24°+12°+24°=60°，
∴∠AEB=180°-48°-60°=72°，
∴∠DEF=∠AED-∠AEB=108°-72°=36°。
故答案为：B。
【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得出∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，进而根据三角形内角和定理可求出∠CAB=∠EAD=24°，进而得出∠EAB=60°，再根据三角形内角和定理可得出∠AEB=72°，进而根据两角之差，即可求得 的度数 。
8．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.
9．（2024八上·湖北月考）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ．
【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案为：30．
【分析】
本题主要考查平行线的性质、平角性质、三角形的外角的性质。延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，由平角性质得平行线的性质可得∴∠CAN=55°，由平行线性质得∠CFD=55°，由外角的性质可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
10．（2023八上·洞口月考）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ．
【答案】1
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
同理可证，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积.
11．（2024八上·顺平期末）我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．
【答案】2
【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条.
故答案为：2．
【分析】根据三角形具有稳定性，由题意将五边形可以分成3个三角形，根据从一个顶点发出的对角线有（n-3）条可知需要两根木条．
12．（2024八上·咸安期末）如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后，与全等.
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），
则BQ＝AP＝AB BP＝12 4＝8（米），
A的运动时间是：4÷1＝4（分钟），
Q的运动时间是：8÷2＝4（分钟），
则当t＝4分钟时，两个三角形全等；
②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），
AP＝BP=AB＝6（米），
则P运动的时间是：6÷1＝6（分钟），
Q运动的时间是：4÷2＝2（分钟），
所以不能成立．
综上所述，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等.
故答案为：4.
【分析】分类讨论：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），再利用“速度、路程和时间”的关系分别列出算式求出时间即可.
13．（2024八上·浙江期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，y-1，若这两个三角形全等，则x+y的值是 ．
【答案】14 或 12.5
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：两个三角形全等，
当时，解得，
，
当时，解得，
，
综上所述，.
故答案为：14 或 12.5.
【分析】由全等三角形的性质可得或，进而求得x、y的值，即可得到x+y的值.
14．（2016八上·禹州期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= ．
【答案】4：5：6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
15．（2023八上·双峰期末）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，的周长是，
．
故答案为：．
【分析】
由线段垂直平分线的性质可得，则的周长，再代入数据进行计算即可得解．
16．（2022八上·成都期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 .
【答案】7
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答.
17．（2024八上·曾都期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则 °．
【答案】24
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠COD＋∠CDO，
∴∠DEC＝2∠COD，
∴∠BDE＝∠DEC＋∠COD＝3∠COD，∠BDE＝72°，
∴∠COD＝24°，
即∠AOB＝24°，
故答案为：24．
【分析】先利用等边对等角的性质可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再利用三角形外角的性质可得∠DCE＝∠COD＋∠CDO，再将数据代入求出∠COD＝24°，即可得到∠AOB＝24°.
18．如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根.
【答案】8
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
【分析】 此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质，由图可发现，图中随着钢管数量的增加，出现了好几个等腰三角形，第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°......以此类推，而由等腰三角形的性质得知，等腰三角形的底角应小于90°，所以，底角最大增加到80°，故最多添加8根钢管.
三、解答题：本大题10小题，共96分.
19．（2024八上·新会月考） 电信部门要修建一座电视信号发射塔 ， 按照设计要求， 发射塔 到两城镇 的距离必须相等， 到两条高速公路 和 的距离也必须相等. 请在图中作出发射塔 的位置 .(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，作角的平分线，两线相交于点P，则点P为所求。
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】分别根据线段垂直平分线的作法，以及角平分线的作法作图，两线相交于点P，点P为所求。
20．（2025八上·红花岗期末）如图，在和中，在同一条直线上，已知：，下列给出三个条件：．解答下列问题：
（1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：
我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）．
（2）在（1）的条件下，若与相交于点，求．
【答案】（1）①③；②或②③，①，
解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择条件和结论，然后证明解题；
（2）先得到，根据（1）可得，然后运用三角形的内角和定理解题．
（1）解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
21．（2024八上·黔西南期末）中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ；
（3）【应用】
如图②．求的度数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图②，由三角形外角的性质得，，
由三角形内角定理得，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理以及等量代化即可求解；
（3）利用三角形的外角性质以及内角和定理即可求解.
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．
（1）求的度数．
（2）设，当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）（1）解：∵，，∴，
∵、关于所在的直线对称，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）（2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论：令与交点为，
①当时，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②当时，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
综上所述：当或时，为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）先求出，再利用轴对称性质得，即，再证明，继而得到；
（2）为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求出即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵、关于所在的直线对称，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论：
令与交点为，
，
①当时，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②当时，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③当时，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
综上所述：当或时，为等腰三角形．
23．（2025八上·余姚期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
24．（2024八上·隆安期末）综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【答案】解：（1）证明：在和中，
∵，
，
，
是的平分线；
（2）实践小组的判断对，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)证明，得，即可证得是的平分线 ；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而即可解决问题．
25．（2024八上·柯桥月考）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．
（1）如图1，点在的内部．
①当，求的度数；
②当平分，判断的形状，并说明理由；
（2）如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．
【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
为等边三角形
（2）的度数为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）①先根据等角对等边得，由三角形的内角和得，再利用周角得∠BOC的度数，再推出，根据等角对等边得；
②设，则可表示出，根据等边对等角得的度数，再推出得，可表示出、，再根据三角形内角和定理列方程计算，进而得、、，由此可判定的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算出，即可写出的度数 ，②当直线与的延长线交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算，即可写出的度数 ，综上所述即可得出的度数．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
26．（2024八上·南宁月考）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之间的数量关系；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，得到等腰三角形，进而解决问题．
（1）试猜想AB、BD、AC之间的数量关系 ．
（2）根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法
（3）解决下面的问题；
如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
（2）方法一：根据角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"证明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再结合三角形外角的性质及等角对等边得到BD＝EC，进而即可求证；
方法二：由等边对等角得∠BED＝∠BDE，再结合三角形外角的性质和角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"证明△AED≌△ACD，由全等三角形的性质得AE=AC，最后根据线段间的数量关系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，等边对等角及三角形内角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再结合三角形外角的性质得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"证明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性质可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，进而由等角对等边可得到BF＝CE，进而即可求解.
27．（2024八上·恩施期中）
（1）感知：如图，平分，，易知：（不需证明）
（2）探究：如图，平分，，求证：．
（3）应用：如图，四边形中，，，，，求证：．
【答案】（1）证明：，，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）证明：作于，于，如图所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）证明：连接，作于点，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用“AAS”证出≌，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）作于，于，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出≌，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）连接，作于点，先利用“AAS”证出≌，可得，，再利用“HL”证出≌，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得．
（1），，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）作于，于，如图所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）连接，作于点，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
28．（2020八上·赣榆期中）如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由点P、Q运动速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，据此求解；
（3）由全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性质可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，据此求解.
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