第二章《实数的初步认识》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2025七下·雨花期末）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·舒城月考）如果，，则（ ）
A．2.872 B．28.72 C．287.2 D．2872
3．（2024七下·高要期末）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（ ）
A．64 B．49 C．14 D．7
4．（2025七下·封开期末） 下列各数中没有平方根的是（ ）
A． B． C．0 D．0.03
5．（2025七下·雨花期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
6．（2025七下·安州期末）某电影院1号厅正在放映电影《哪吒之魔童闹海》，甲、乙两名工作人员根据1号厅的观影人数，说法如下：
甲：“观影人数不超过90人．”
乙：“观影人数不足100人．”
已知甲的说法错误，乙的说法正确，则在1号厅的观影人数可能为（ ）
A．90 B．96 C．100 D．101
7．（2025七下·广安期中）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，4个；④近似数5.60所表达的准确数x的范围是5.595≤x<5.605。其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.
9．（2025七下·北流月考）在下列实数：，，，，，（1和2之间0的个数逐次增加一个）中，无理数共有 个．
10．（2025七上·金华月考）的平方根是 ；5的算术平方根是 ；的绝对值是 ．
11．（2024八上·清镇市月考）立方根等于本身的数是 ．
12．（2024七上·乐清月考）有理数3.14159精确到千分位的近似数为 ．
13． 若则x-y的值为 .
14．（2025七下·浏阳期末） 若关于x，y的方程组有无数组解，则＝ ．
15．（2025七下·富顺期末）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为 ．
16．（2025七下·竞赛）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是 。
17．（2025七下·湛江期中）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是 ．（写出一个答案即可）
18．（2025七下·柯桥月考）设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，则＝
三、解答题：本大题10小题，共96分.
19．（2025七下·郴州期中）计算：
（1）
（2）
20．（2025七下·长沙月考）求下列等式中的x值：
（1）
（2）
21．（2025七下·义乌开学考）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根．
22．如果一个实际数的真实值为a，近似值为b，那么|a-b|称为绝对误差，称为相对误差．已知一根木条的实际长度为20.45cm，第一次测量精确到厘米，第二次测量精确到毫米，求两次测量所产生的绝对误差和相对误差．(相对误差精确到0.0001)
23．（2025七下·潮南月考）阅读下面材料：形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，例如：．
利用上面法则，解答下列问题：
（1）计算：．
（2）若关于x的不等式的负整数解为，，，求k的取值范围．
24．（2024七下·潮安期末）阅读材料1．
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为．
（1）直接写出的小数部分是 ；的小数部分是 ；
（2）已知，其中是整数，且，求的值；
（3）阅读材料2．
小明在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以．
利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01）
25．对于实数，我们规定：用符号| 表示不大于 的最大整数，并称 为x的根整数，例如：[
（1）仿照以上方法计算： ， .
（2）若 写出满足题意的x的整数值.
（3）我们对x连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次 1，这时候结果为1.
①对100连续求根整数， 次之后结果为1.
②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 .
26．（2024七下·夏邑月考）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）
27．（2024七下·洪山月考）下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：____．
（1）探究性质：
①1的四次方根是 ；
②16的四次方根是 ；
③0的四次方根是 ；
④ （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；
（2）＝ ，＝ ．
28．（2024七上·长兴期中）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________．
（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由．
（3）若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确.
故答案为：D.
【分析】表示求a的算术平方根，表示求b的立方根。
2．【答案】B
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
而
∴．
故答案为：B．
【分析】立方根的规律：根号内的小数点每向左或向右移动3位，其立方根的小数点向相同的方向移动一位，据此求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
则这个正数是，
故答案为：A．
【分析】利用平方根的定义及计算方法可得，求出a的值，再求出这个正数即可.
4．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）3是负数，没有平方根，
故答案为：B
【分析】根据有理数的乘方结合平方根的定义（被开方数不能是负数）即可求解。
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1<3<4
∴1<<2
∴-2<<-1
所以这四点中所表示的数最接近的是点P.
故答案为：C.
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.
6．【答案】B
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解： ∵已知甲的说法错误，乙的说法正确，
∴ 观影人数不足100人 （大于90小于100）
∴ 在1号厅的观影人数可能为 96人，
故答案为：B.
【分析】根据估算可知，不足100人，表示是大于90小于100之间的数值.
7．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵面积为2的正方形，
∴，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出的长，由作图可得AE=AD，然后根据数轴上点所表示的数的特征可求解．
8．【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；近似数与准确数
【解析】【解答】解：①有理数不一定是有限小数，整数也是有理数，①错误，
②实数与数轴上的点一 一对应，有理数是实数的一部分，②正确，
③在1和3之间的无理数有无数个，例如，等，③错误，
④近似数7.30所表示的准确数x的范围是5.595 ≤a< 5.605，⑤正确
综上所述，正确的说法有②和⑤，共2个。
故答案为：B.
【分析】根据有理数、实数、无理数、近似数的有关概念进行判断即可.
9．【答案】3
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：属于无理数；
属于有理数；
，因此属于有理数；
属于无理数；
属于有理数；
（1和2之间0的个数逐次增加一个）为无限不循环小数，属于无理数；
综上可知，无理数有、、，一共3个。
故答案为：3．
【分析】本题考查无理数的识别。无理数，也称为无限不循环小数，因此无理数不能写作两整数之比，如果将无理数写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。而分数、整数和有限小数已经循环小数都是有理数。据此进行分析即可。
10．【答案】；；
【知识点】求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：的平方根是，5的算术平方根是；
故答案为：；；．
【分析】正数的两个平方根互为相反数，其中算术平方根为正，求绝对值时，负数的绝对值为其相反数，根据定义依次解答即可．
11．【答案】，0，1
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，．
故答案为：，0，1．
【分析】
本题考查有理数的乘方，立方根的定义，熟知立方根的定义是解题关键．
立方根的定义为：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作
根据立方根的定义，代入数据即可得出答案．
12．【答案】3.142
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】3.14159中从左至右第二个1在千分位，后面的5可以进位，
所以有理数3.14159精确到千分位的近似数为3.142．
【分析】找到千分位所在的数，将它的下一位数进行“四舍五入”，即可得到答案．
13．【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解.
14．【答案】2
【知识点】求算术平方根；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程组有无数组解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案为：2．
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
15．【答案】8
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：8．
【分析】根据新运算列出算式，再根据算术平方根和立方根的运算计算即可.
16．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴b=5，
∴.
故答案为：3.
【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算.
17．【答案】2
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的边长为，正方形的边长为1，
的边长，
正方形的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出A、C的边长，再求解即可.
18．【答案】1
【知识点】立方根的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
，
∴，
解得＝ 1
故答案为：1 .
【分析】本题主要考查等式的变形，需要利用立方根的计算。
从问题出发，因此让原式中尽量出现 ，这时可以在的根号里面的式子每个因式变形为，最后变形为；然后再将变形，并结合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，从而求出 的值。
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算术平方根和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先求立方根、算术平方根，乘方运算，再计算乘法，最后进行加减计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：
或
（2）解：
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）利用平方根的性质，可得到x-2的值，然后解方程即可.
（2）先将（x-1）3的系数化为1，然后利用立方根的性质解方程即可.
（1）解：
或；
（2）解：
．
21．【答案】
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根与立方根的定义，列出方程组求出、的值，进而求出2a-3b的平方根．
22．【答案】解：第一次测量精确到厘米，
因为a=20.45cm，所以b=20cm，所以
第二次测量精确到毫米，
因为a=20.45cm，所以b=20.5cm，所以
【知识点】精准度与有效数字
【解析】【分析】 根据原数得到近似数，然后绝对误差，相对误差的定义解答即可．
23．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵ ，
∴，
解得，
∵负整数解为，，，
∴，
解得，
∴k的取值范围为．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据 运算法则，代入数据即可求解
（2）根据 运算法则，将不等式的左边进行求解，然后再结合不等式的右边，最后再进行解不等式，即可求解
（1）原式
；
（2）∵，
∴，
解得，
∵负整数解为，，，
∴，
解得，
∴k的取值范围为．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，；
（3）解：∵，
∴
设，其中，则，
∵，
∴，
∴，
解得，所以．
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的小数部分是，
∵，
∴，
∴的小数部分是，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意估算无理数的大小，进而即可求解；
（2）先根据题意估算的大小，进而即可得到，从而即可得到x和y，再代入即可求解；
（3）先根据题意估算的大小，进而设，其中，则，再根据材料结合题意即可求解.
25．【答案】（1）2；5
（2）解：且
故答案为： 1， 2， 3；
（3）解：3；255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
故答案为： 2， 5；
(3) ① 第一次：
第二次：
第三次：
故答案为：3；
② 最大的正整数是255.
理由是： ∴对255只需进行3次操作后变为1.
，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.
故答案为： 255.
【分析】(1)先估算 和 的大小，再由新定义可得结果；
(2)根据定义可知x<4，可得满足题意的x的整数值；
(3) ① 根据定义对100进行连续求根整数，求得结果为1时的次数即可；
② 最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案.
26．【答案】（1）解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，
根据题意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴绣布的长为24，宽为16．
周长为
（2）解：不能够裁出来．理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r，
由题意，得，
∵π取3，
∴，
解得（负值已舍去），
∵，
∴．
∴不能够裁出来
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，利用长方形的面积公式可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，然后求出绣布的周长.
（2）设完整的圆形绣布的半径为r，利用圆的面积可求出圆的半径，进行估算比较大小，即可求解.
27．【答案】（1）；；0；没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（2）；
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）1的四次方根是±1；16的四次方根是±2；0的四次方根是0；-625没有四次方根，
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： 一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根.
（2） =±5； =.
故答案为：（1）±1；±2；0；没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（2）±5；.
【分析】类比平方根与立方根，可得四次方根的定义： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x4＝a，那么这个数x就叫做a的四次方根（也叫做四次方根).
（1）根据定义进行计算，根据结果归纳出性质，即可求得；
（2）根据定义，求四次方根即可.
28．【答案】（1），
（2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：，∴小正方形面积为：．
故长方形对角线长度为：
（3）解：∵，，∴，．
∵，
∴，
∴．
故
【知识点】实数在数轴上表示；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵小正方形边长为1，
∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为．
∴．
∴A表示的数为，B表示的数为．
故答案为：，．
【分析】（1）利用拼图可知小正方形的对角线长就是半圆的半径长，由此可得到OA、OB的长，根据点A、B的位置可得到点A、B表示的数.
（2）先求出大正方形的面积和两个小长方形的面积，再用大正方形的面积减去两个长方形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解；
（3）先利用平方根和立方根的性质及无理数的估算分别求出a，b，c的值，再代入求解即可．
（1）解：∵小正方形边长为1，
∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为．
∴．
∴A表示的数为，B表示的数为．
故答案为：，．
（2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：，
∴小正方形面积为：．
故长方形对角线长度为：．
（3）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故．
1 / 1第二章《实数的初步认识》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2025七下·雨花期末）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确.
故答案为：D.
【分析】表示求a的算术平方根，表示求b的立方根。
2．（2024七下·舒城月考）如果，，则（ ）
A．2.872 B．28.72 C．287.2 D．2872
【答案】B
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
而
∴．
故答案为：B．
【分析】立方根的规律：根号内的小数点每向左或向右移动3位，其立方根的小数点向相同的方向移动一位，据此求解即可.
3．（2024七下·高要期末）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（ ）
A．64 B．49 C．14 D．7
【答案】A
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
则这个正数是，
故答案为：A．
【分析】利用平方根的定义及计算方法可得，求出a的值，再求出这个正数即可.
4．（2025七下·封开期末） 下列各数中没有平方根的是（ ）
A． B． C．0 D．0.03
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）3是负数，没有平方根，
故答案为：B
【分析】根据有理数的乘方结合平方根的定义（被开方数不能是负数）即可求解。
5．（2025七下·雨花期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1<3<4
∴1<<2
∴-2<<-1
所以这四点中所表示的数最接近的是点P.
故答案为：C.
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.
6．（2025七下·安州期末）某电影院1号厅正在放映电影《哪吒之魔童闹海》，甲、乙两名工作人员根据1号厅的观影人数，说法如下：
甲：“观影人数不超过90人．”
乙：“观影人数不足100人．”
已知甲的说法错误，乙的说法正确，则在1号厅的观影人数可能为（ ）
A．90 B．96 C．100 D．101
【答案】B
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解： ∵已知甲的说法错误，乙的说法正确，
∴ 观影人数不足100人 （大于90小于100）
∴ 在1号厅的观影人数可能为 96人，
故答案为：B.
【分析】根据估算可知，不足100人，表示是大于90小于100之间的数值.
7．（2025七下·广安期中）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵面积为2的正方形，
∴，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出的长，由作图可得AE=AD，然后根据数轴上点所表示的数的特征可求解．
8．有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，4个；④近似数5.60所表达的准确数x的范围是5.595≤x<5.605。其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；近似数与准确数
【解析】【解答】解：①有理数不一定是有限小数，整数也是有理数，①错误，
②实数与数轴上的点一 一对应，有理数是实数的一部分，②正确，
③在1和3之间的无理数有无数个，例如，等，③错误，
④近似数7.30所表示的准确数x的范围是5.595 ≤a< 5.605，⑤正确
综上所述，正确的说法有②和⑤，共2个。
故答案为：B.
【分析】根据有理数、实数、无理数、近似数的有关概念进行判断即可.
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.
9．（2025七下·北流月考）在下列实数：，，，，，（1和2之间0的个数逐次增加一个）中，无理数共有 个．
【答案】3
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：属于无理数；
属于有理数；
，因此属于有理数；
属于无理数；
属于有理数；
（1和2之间0的个数逐次增加一个）为无限不循环小数，属于无理数；
综上可知，无理数有、、，一共3个。
故答案为：3．
【分析】本题考查无理数的识别。无理数，也称为无限不循环小数，因此无理数不能写作两整数之比，如果将无理数写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。而分数、整数和有限小数已经循环小数都是有理数。据此进行分析即可。
10．（2025七上·金华月考）的平方根是 ；5的算术平方根是 ；的绝对值是 ．
【答案】；；
【知识点】求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：的平方根是，5的算术平方根是；
故答案为：；；．
【分析】正数的两个平方根互为相反数，其中算术平方根为正，求绝对值时，负数的绝对值为其相反数，根据定义依次解答即可．
11．（2024八上·清镇市月考）立方根等于本身的数是 ．
【答案】，0，1
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，．
故答案为：，0，1．
【分析】
本题考查有理数的乘方，立方根的定义，熟知立方根的定义是解题关键．
立方根的定义为：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作
根据立方根的定义，代入数据即可得出答案．
12．（2024七上·乐清月考）有理数3.14159精确到千分位的近似数为 ．
【答案】3.142
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】3.14159中从左至右第二个1在千分位，后面的5可以进位，
所以有理数3.14159精确到千分位的近似数为3.142．
【分析】找到千分位所在的数，将它的下一位数进行“四舍五入”，即可得到答案．
13． 若则x-y的值为 .
【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解.
14．（2025七下·浏阳期末） 若关于x，y的方程组有无数组解，则＝ ．
【答案】2
【知识点】求算术平方根；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程组有无数组解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案为：2．
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
15．（2025七下·富顺期末）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：8．
【分析】根据新运算列出算式，再根据算术平方根和立方根的运算计算即可.
16．（2025七下·竞赛）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是 。
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴b=5，
∴.
故答案为：3.
【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算.
17．（2025七下·湛江期中）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是 ．（写出一个答案即可）
【答案】2
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的边长为，正方形的边长为1，
的边长，
正方形的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出A、C的边长，再求解即可.
18．（2025七下·柯桥月考）设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，则＝
【答案】1
【知识点】立方根的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
，
∴，
解得＝ 1
故答案为：1 .
【分析】本题主要考查等式的变形，需要利用立方根的计算。
从问题出发，因此让原式中尽量出现 ，这时可以在的根号里面的式子每个因式变形为，最后变形为；然后再将变形，并结合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，从而求出 的值。
三、解答题：本大题10小题，共96分.
19．（2025七下·郴州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算术平方根和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先求立方根、算术平方根，乘方运算，再计算乘法，最后进行加减计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025七下·长沙月考）求下列等式中的x值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或
（2）解：
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）利用平方根的性质，可得到x-2的值，然后解方程即可.
（2）先将（x-1）3的系数化为1，然后利用立方根的性质解方程即可.
（1）解：
或；
（2）解：
．
21．（2025七下·义乌开学考）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根．
【答案】
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根与立方根的定义，列出方程组求出、的值，进而求出2a-3b的平方根．
22．如果一个实际数的真实值为a，近似值为b，那么|a-b|称为绝对误差，称为相对误差．已知一根木条的实际长度为20.45cm，第一次测量精确到厘米，第二次测量精确到毫米，求两次测量所产生的绝对误差和相对误差．(相对误差精确到0.0001)
【答案】解：第一次测量精确到厘米，
因为a=20.45cm，所以b=20cm，所以
第二次测量精确到毫米，
因为a=20.45cm，所以b=20.5cm，所以
【知识点】精准度与有效数字
【解析】【分析】 根据原数得到近似数，然后绝对误差，相对误差的定义解答即可．
23．（2025七下·潮南月考）阅读下面材料：形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，例如：．
利用上面法则，解答下列问题：
（1）计算：．
（2）若关于x的不等式的负整数解为，，，求k的取值范围．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵ ，
∴，
解得，
∵负整数解为，，，
∴，
解得，
∴k的取值范围为．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据 运算法则，代入数据即可求解
（2）根据 运算法则，将不等式的左边进行求解，然后再结合不等式的右边，最后再进行解不等式，即可求解
（1）原式
；
（2）∵，
∴，
解得，
∵负整数解为，，，
∴，
解得，
∴k的取值范围为．
24．（2024七下·潮安期末）阅读材料1．
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为．
（1）直接写出的小数部分是 ；的小数部分是 ；
（2）已知，其中是整数，且，求的值；
（3）阅读材料2．
小明在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以．
利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01）
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，；
（3）解：∵，
∴
设，其中，则，
∵，
∴，
∴，
解得，所以．
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的小数部分是，
∵，
∴，
∴的小数部分是，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意估算无理数的大小，进而即可求解；
（2）先根据题意估算的大小，进而即可得到，从而即可得到x和y，再代入即可求解；
（3）先根据题意估算的大小，进而设，其中，则，再根据材料结合题意即可求解.
25．对于实数，我们规定：用符号| 表示不大于 的最大整数，并称 为x的根整数，例如：[
（1）仿照以上方法计算： ， .
（2）若 写出满足题意的x的整数值.
（3）我们对x连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次 1，这时候结果为1.
①对100连续求根整数， 次之后结果为1.
②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】（1）2；5
（2）解：且
故答案为： 1， 2， 3；
（3）解：3；255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
故答案为： 2， 5；
(3) ① 第一次：
第二次：
第三次：
故答案为：3；
② 最大的正整数是255.
理由是： ∴对255只需进行3次操作后变为1.
，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.
故答案为： 255.
【分析】(1)先估算 和 的大小，再由新定义可得结果；
(2)根据定义可知x<4，可得满足题意的x的整数值；
(3) ① 根据定义对100进行连续求根整数，求得结果为1时的次数即可；
② 最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案.
26．（2024七下·夏邑月考）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）
【答案】（1）解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，
根据题意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴绣布的长为24，宽为16．
周长为
（2）解：不能够裁出来．理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r，
由题意，得，
∵π取3，
∴，
解得（负值已舍去），
∵，
∴．
∴不能够裁出来
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，利用长方形的面积公式可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，然后求出绣布的周长.
（2）设完整的圆形绣布的半径为r，利用圆的面积可求出圆的半径，进行估算比较大小，即可求解.
27．（2024七下·洪山月考）下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：____．
（1）探究性质：
①1的四次方根是 ；
②16的四次方根是 ；
③0的四次方根是 ；
④ （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；
（2）＝ ，＝ ．
【答案】（1）；；0；没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（2）；
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）1的四次方根是±1；16的四次方根是±2；0的四次方根是0；-625没有四次方根，
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： 一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根.
（2） =±5； =.
故答案为：（1）±1；±2；0；没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（2）±5；.
【分析】类比平方根与立方根，可得四次方根的定义： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x4＝a，那么这个数x就叫做a的四次方根（也叫做四次方根).
（1）根据定义进行计算，根据结果归纳出性质，即可求得；
（2）根据定义，求四次方根即可.
28．（2024七上·长兴期中）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________．
（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由．
（3）若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根．
【答案】（1），
（2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：，∴小正方形面积为：．
故长方形对角线长度为：
（3）解：∵，，∴，．
∵，
∴，
∴．
故
【知识点】实数在数轴上表示；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵小正方形边长为1，
∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为．
∴．
∴A表示的数为，B表示的数为．
故答案为：，．
【分析】（1）利用拼图可知小正方形的对角线长就是半圆的半径长，由此可得到OA、OB的长，根据点A、B的位置可得到点A、B表示的数.
（2）先求出大正方形的面积和两个小长方形的面积，再用大正方形的面积减去两个长方形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解；
（3）先利用平方根和立方根的性质及无理数的估算分别求出a，b，c的值，再代入求解即可．
（1）解：∵小正方形边长为1，
∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为．
∴．
∴A表示的数为，B表示的数为．
故答案为：，．
（2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：，
∴小正方形面积为：．
故长方形对角线长度为：．
（3）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故．
1 / 1
