浙江省“新阵地教育联盟”2025届高三上学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高三上·浙江期末）集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】得，需先明确集合的元素范围，解不等式 .解出集合后，依据交集的定义，找出既属于集合又属于集合的元素，从而确定.
2．（2025高三上·浙江期末）已知复数是虚数单位则（ ）
A．复平面内z对应的点在第二象限 B．
C．z的虚部是2 D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对应的点为，在第四象限，故A错误；
，故B正确；
z的虚部是，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】判断关于复数 的各个选项是否正确，依据复数的以下知识来分析：1. 复数与复平面内点的对应关系：复数 （ 为实部， 为虚部 ）在复平面内对应的点为 ，根据横、纵坐标的正负可确定点所在象限.共轭复数的定义：对于复数 ，其共轭复数 ，用此定义可求给定复数的共轭复数.复数虚部的概念：复数 的虚部是 （注意不是 ），据此确定虚部的值.复数模长的计算公式：复数 的模长 ，代入实部和虚部的值可计算模长，依次对每个选项进行判断.
3．（2025高三上·浙江期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解；充分性：因为，所以，所以所以“”不是“”的充分条件；
必要性：因为，所以又所以所以“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】判断“”是“”的什么条件，依据充分条件和必要条件的定义，分析由“”能否推出“”（充分性），及由“”能否推出“”（必要性）.
4．（2025高三上·浙江期末）等差数列的前n项和为满足若成等比，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，由得，
解得，所以成等比，∴，∴，，显然，否则这与成等比数列矛盾，故解得
故答案为：B.
【分析】用等差数列的前项和公式以及已知条件，求出首项和公差的关系；根据等比数列的性质（若成等比数列，则 ），结合等差数列的通项公式，求出的值.
5．（2025高三上·浙江期末）年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数.
第x天 1 2 3 4 5
新增y人 2 3 5 8 12
已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题中的数据可知所以
所以所以y关于x的线性回归方程为
故答案为：D.
【分析】得线性回归方程，根据最小二乘法公式，先算出（的平均值 ）和（的平均值 ），代入的公式求出斜率，用算出截距，最终确定线性回归方程.
6．（2025高三上·浙江期末）下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（ ）
A．底面半径母线的圆锥
B．底面半径母线的圆柱
C．半径的球
D．上、下底面半径分别为母线的圆台
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：A：
B：
C：
D：由上易知，选项C的表面积与其他三个不同.
故答案为：C.
【分析】找出表面积与其他三个不同的几何体，分别根据圆锥、圆柱、球、圆台的表面积公式，计算出每个几何体的表面积，然后进行对比.
7．（2025高三上·浙江期末）正整数数列满足，使得的不同个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意知，，则或，
当时，，则或，
若，则；若，则；若，则或；若，则或；
当时，，得，则或；
若，得；若，得.
综上，的值共有6个.
故答案为：C.
【分析】关于正整数数列的递推问题，已知，从后往前，根据数列的递推公式是偶数是奇数，逐步推导、、、、的可能取值，从而确定满足条件的的个数.对每一步递推时，根据前一项的可能情况（是由偶数除以得到还是由奇数通过得到 ）进行分类讨论.
8．（2025高三上·浙江期末）函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令得
则的零点即为与交点的横坐标，
令得则的零点即为与交点的横坐标，
画出的图象，
由图可知：从上到下的三条直线分别说明，，成立，可得选项D、B、C可能成立，
故答案为：A.
【分析】探究函数和零点的关系，将零点问题转化为函数图象交点问题，用数形结合思想分析.把、的零点转化为对应函数与直线交点的横坐标，画出相关函数图象，根据图象判断零点的位置关系.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高三上·浙江期末）甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（ ）
A．从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种
B．某选手得分是，则该选手得分的第70百分位数是
C．从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是
D．5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则
【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用；条件概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A：易知12人中共有男7女，分别从5个男生和7个女生中各选一人，可得共种，即A正确；
B：显然8个数据已经按照从小到大的顺序排列好，，所以第70百分位数是第6个数是，可得B错误；
对于C，记“选到女生”为事件A，“来自甲班”为事件 B，则，所以C错误；
D：服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2；
易知；
所以期望值，可得D正确.
故答案为：AD.
【分析】围绕两个班级候选人的不同概率、统计问题展开，分别对每个选项，依据组合数、百分位数、条件概率、超几何分布的相关知识进行分析判断.针对每个选项，明确对应的知识点，按相应公式或定义计算验证.
10．（2025高三上·浙江期末）如图，已知四边形中，，与垂直并相交于点，且满足，，以为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥，且满足二面角大小为.则下列对于三棱锥的说法正确的有（ ）
A．对任意，三棱锥的体积为定值
B．平面
C．当且仅当时，三棱锥的表面积为
D．外接球半径的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：，，为二面角的平面角，，而，所以点到平面的距离，是定值，故A正确；
B：，，平面，所以平面，
又平面，，因为，
所以，所以，又，平面，
平面，故B正确；
C：由B可知，当时，，，
又，，
所以，，
所以考虑对称性，当时三棱锥的表面积也是该值，故C错误；
D：由B可知平面，三棱锥改为C为顶点画法，如下图所示：
设是的外心，是三棱锥外接球球心，
所以三棱锥外接球的半径，
又，，，当且仅当，
即是直角三角形时，外接球半径最小值为，此时，
即，解得或，
所以当时三棱锥外接球的半径取得最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】围绕三棱锥的性质展开，涉及体积、线面垂直、表面积、外接球半径等问题.用翻折前后的垂直关系，结合二面角、线面垂直判定、表面积计算、外接球相关知识，对每个选项逐一分析.抓住翻折过程中与的垂直关系不变，以及二面角的平面角为这一条件.
11．（2025高三上·浙江期末）数学里常研究一些形状特殊的曲线，过程中总要用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线在第一象限内的图象如图所示，则下列关于曲线C的说法正确的有（ ）
A．共有4条对称轴
B．围成的封闭图形内最大能放入半径为1的圆
C．周长大于25
D．围成的封闭图形的面积小于14
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；平面直角坐标系与曲线方程
【解析】【解答】解：A：因为代入方程，方程不变，可知曲线的对称轴为轴、轴、直线与直线，先根据对称性可以得到完整曲线，如图
所以根据图形可知曲线共有4条对称轴，故A正确；
B：结合图2，
根据对称性，研究第一象限则，则，所以内部圆半径最大，故B错误；
C：如图2，根据对称性，只需证：当时，恒成立，
即证：当时恒成立，显然成立，结合对称性，曲线长度大于“四角星”形状图形的周长，故C正确；
D：如图3，以为圆心，4为半径作圆弧，到距离为，
根据对称性，研究第一象限，只需证：时，，
可得，则
，所以第一象限内圆弧在曲线上方，
面积，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕特殊曲线的性质展开，包括对称性、封闭图形内可容纳圆的情况、周长和面积.用曲线方程的对称性判断对称轴，通过不等式推导、图形特征分析周长和面积，结合距离公式等判断封闭图形内圆的情况.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高三上·浙江期末）已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：设则满足方程的点均可.
故答案为：.
【分析】考查向量投影向量模长的计算，设出向量的坐标，依据向量投影向量模长的公式列出等式，通过化简等式得到坐标满足的条件，进而找出符合条件的坐标.
13．（2025高三上·浙江期末）如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：令，直线：，在椭圆中，令，得，点，在抛物线中，令，得，由，得，即，而，解得，所以的离心率
故答案为：.
【分析】结合椭圆与抛物线的性质，通过坐标求解、比例关系建立等式来计算椭圆离心率.根据椭圆和抛物线的焦点、交点性质，确定相关点的坐标，用平行关系得到比例式，结合椭圆中、、的关系列方程求解.
14．（2025高三上·浙江期末）函数上存在互异两点A，B，若曲线在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与无公共点，则l的斜率为 .
【答案】2
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：设切点为
切线方程为：，
设切点，切点，切线的斜率为k，则有即将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为，
将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为，
则有
①当时，由得：
；
所以，即，所以；当时，满足与l在A，B之间无公共点.
②当 时，由得：
即③，结合③式可知，是与l的公共点，且在A，B之间，该情况无解.综上所述，切线l的斜率为
故答案为：2.
【分析】聚焦函数的切线性质，结合导数求切线斜率，用切线方程及截距关系，分类讨论切点横坐标的联系，进而确定切线斜率.通过导数得出切线斜率表达式，依据斜率相等得到，结合截距相等分情况探究切点横坐标关系，从而求出斜率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高三上·浙江期末）已知
（1）求的最小正周期；
（2）若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围.
【答案】（1）解：，.
（2）解：，即所以或得舍
由边AC上的高，
根据正弦定理得：
是锐角三角形，，
，
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）需用三角恒等变换将函数化简为标准正弦型函数，再用周期公式求最小正周期.
（2）由（1）的结果结合已知求出角，用正弦定理、三角函数性质及三角形面积公式确定面积取值范围 .
（1），
；
（2），即
所以或得舍
由边AC上的高，
根据正弦定理得：
是锐角三角形，
，，
16．（2025高三上·浙江期末）如图，在三棱柱中四边形是正方形，且是锐角，已知点A到平面的距离为
（1）求证：平面
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：以B为原点，方向为轴，垂直于平面向上方向为z轴，建系.
设，面
则
设平面的法向量为则即，
令，可得，
平面的法向量为
点A到平面的距离为
面
（2）解：
设平面的法向量则所以
令则所以平面的法向量
设平面的法向量则所以
令则所以平面的法向量
所以平面与平面夹角的余弦值
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过建立空间直角坐标系，计算向量关系，利用线面垂直的向量判定条件（直线方向向量与平面内两不共线向量垂直 ）来证明.
（2）求出两个平面的法向量，再用向量夹角公式计算二面角的余弦值.解题关键是合理建系，准确计算向量坐标及数量积.
（1）以B为原点，方向为轴，垂直于平面向上方向为z轴，建系.
设
面
则
设平面的法向量为
则即，
令，可得，
平面的法向量为
点A到平面的距离为
面
（2）设平面的法向量
则所以
令则所以平面的法向量
设平面的法向量
则所以
令则
所以平面的法向量
所以平面与平面夹角的余弦值
17．（2025高三上·浙江期末）已知函数
（1）若求的单调区间；
（2）若在上不单调，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为的定义域为，
则，
令或；
或，
在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：因为，
设，
注意到，
要使在上不单调，只需满足，
解得，即实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再求导，令，从而得出函数的单调区间.
（2）求导可得，设，再利用函数在上不单调，则，解不等式组得出实数a的取值范围.
（1）的定义域为，
，
令或，或，
在上单调递增，在上单调递减.
（2），
设，
注意到，要使在上不单调，
只需满足，解得，
即实数的取值范围为.
18．（2025高三上·浙江期末）等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A
（1）求的方程；
（2）若且求的值；
（3）过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得解得.
（2）解： 设代入双曲线方程，得：
由韦达定理可得：
令，则，所以解得
A，B三点共线，.
（3）解： 设代入双曲线方程得：由韦达定理，得，即
同理可得：，
C两点关于原点对称，
设
由韦达定理得：
解得：
所以
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）用等轴双曲线性质与点到直线距离公式求方程.
（2）联立直线与双曲线方程，结合向量关系及韦达定理求解.
（3）通过设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理、对称关系及面积比条件确定斜率范围.
（1）由题意得解得
.
（2）设
代入双曲线方程，得：
由韦达定理可得：
令，则，
所以解得
A，B三点共线，
.
（3）设
代入双曲线方程得：
由韦达定理，得，即
同理可得：
C两点关于原点对称，
设
由韦达定理得：
解得：所以
19．（2025高三上·浙江期末）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”.
（1）如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线；
（2）如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利” 若能，请画出路线；若不能，请说明理由初始方格任意选择
（3）在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择
【答案】（1）解：
（2）解：参考走法不唯一
对于第二个方格，则不能达成“胜利”，理由如下：设表示中的值，例如：
则在方格中，共有25个将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格，易知，偶数格有13个，奇数格有12个，
按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格，
若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，
此时剩下12个偶数格，10个奇数格，无论如何移动都不能达成“胜利”.
（3）解：首先判断然后证明：时不成立.证明如下：将挖去的6格记为
其中与均为的一种排列，
为偶数，
由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”，必须挖去3个奇数格，3格偶数格.
而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾.不可能挖去6格.最后证明：时，能成立，
如图：
挖法和走法均不唯一.综上所述， n最大值为5.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）依据移动规则，从指定位置出发，尝试所有可能的移动路径，找出能遍历所有格子的路线.
（2）通过分析涂黑格对路径连通性的影响，判断是否存在完整遍历路径.
（3）用方格行列特性，结合“胜利”需遍历所有格子的要求，分析最大涂黑格数.
（1）
（2）参考走法不唯一
对于第二个方格，则不能达成“胜利”，
理由如下：
设表示中的值，例如：
则在方格中，共有25个
将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格，
易知，偶数格有13个，奇数格有12个，
按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格，
若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格
而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格，
无论如何移动都不能达成“胜利”.
（3）首先判断
然后证明：时不成立.证明如下：
将挖去的6格记为
其中与均为的一种排列，
为偶数，
由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”，
必须挖去3个奇数格，3格偶数格.
而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾.
不可能挖去6格.
最后证明：时，能成立，如图：
挖法和走法均不唯一.
综上所述， n最大值为
1 / 1浙江省“新阵地教育联盟”2025届高三上学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高三上·浙江期末）集合则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·浙江期末）已知复数是虚数单位则（ ）
A．复平面内z对应的点在第二象限 B．
C．z的虚部是2 D．
3．（2025高三上·浙江期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高三上·浙江期末）等差数列的前n项和为满足若成等比，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2025高三上·浙江期末）年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数.
第x天 1 2 3 4 5
新增y人 2 3 5 8 12
已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高三上·浙江期末）下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（ ）
A．底面半径母线的圆锥
B．底面半径母线的圆柱
C．半径的球
D．上、下底面半径分别为母线的圆台
7．（2025高三上·浙江期末）正整数数列满足，使得的不同个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2025高三上·浙江期末）函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高三上·浙江期末）甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（ ）
A．从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种
B．某选手得分是，则该选手得分的第70百分位数是
C．从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是
D．5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则
10．（2025高三上·浙江期末）如图，已知四边形中，，与垂直并相交于点，且满足，，以为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥，且满足二面角大小为.则下列对于三棱锥的说法正确的有（ ）
A．对任意，三棱锥的体积为定值
B．平面
C．当且仅当时，三棱锥的表面积为
D．外接球半径的最小值为
11．（2025高三上·浙江期末）数学里常研究一些形状特殊的曲线，过程中总要用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线在第一象限内的图象如图所示，则下列关于曲线C的说法正确的有（ ）
A．共有4条对称轴
B．围成的封闭图形内最大能放入半径为1的圆
C．周长大于25
D．围成的封闭图形的面积小于14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高三上·浙江期末）已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可
13．（2025高三上·浙江期末）如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率 .
14．（2025高三上·浙江期末）函数上存在互异两点A，B，若曲线在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与无公共点，则l的斜率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高三上·浙江期末）已知
（1）求的最小正周期；
（2）若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围.
16．（2025高三上·浙江期末）如图，在三棱柱中四边形是正方形，且是锐角，已知点A到平面的距离为
（1）求证：平面
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2025高三上·浙江期末）已知函数
（1）若求的单调区间；
（2）若在上不单调，求的取值范围.
18．（2025高三上·浙江期末）等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A
（1）求的方程；
（2）若且求的值；
（3）过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围.
19．（2025高三上·浙江期末）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”.
（1）如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线；
（2）如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利” 若能，请画出路线；若不能，请说明理由初始方格任意选择
（3）在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】得，需先明确集合的元素范围，解不等式 .解出集合后，依据交集的定义，找出既属于集合又属于集合的元素，从而确定.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对应的点为，在第四象限，故A错误；
，故B正确；
z的虚部是，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】判断关于复数 的各个选项是否正确，依据复数的以下知识来分析：1. 复数与复平面内点的对应关系：复数 （ 为实部， 为虚部 ）在复平面内对应的点为 ，根据横、纵坐标的正负可确定点所在象限.共轭复数的定义：对于复数 ，其共轭复数 ，用此定义可求给定复数的共轭复数.复数虚部的概念：复数 的虚部是 （注意不是 ），据此确定虚部的值.复数模长的计算公式：复数 的模长 ，代入实部和虚部的值可计算模长，依次对每个选项进行判断.
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解；充分性：因为，所以，所以所以“”不是“”的充分条件；
必要性：因为，所以又所以所以“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】判断“”是“”的什么条件，依据充分条件和必要条件的定义，分析由“”能否推出“”（充分性），及由“”能否推出“”（必要性）.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，由得，
解得，所以成等比，∴，∴，，显然，否则这与成等比数列矛盾，故解得
故答案为：B.
【分析】用等差数列的前项和公式以及已知条件，求出首项和公差的关系；根据等比数列的性质（若成等比数列，则 ），结合等差数列的通项公式，求出的值.
5．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题中的数据可知所以
所以所以y关于x的线性回归方程为
故答案为：D.
【分析】得线性回归方程，根据最小二乘法公式，先算出（的平均值 ）和（的平均值 ），代入的公式求出斜率，用算出截距，最终确定线性回归方程.
6．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：A：
B：
C：
D：由上易知，选项C的表面积与其他三个不同.
故答案为：C.
【分析】找出表面积与其他三个不同的几何体，分别根据圆锥、圆柱、球、圆台的表面积公式，计算出每个几何体的表面积，然后进行对比.
7．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意知，，则或，
当时，，则或，
若，则；若，则；若，则或；若，则或；
当时，，得，则或；
若，得；若，得.
综上，的值共有6个.
故答案为：C.
【分析】关于正整数数列的递推问题，已知，从后往前，根据数列的递推公式是偶数是奇数，逐步推导、、、、的可能取值，从而确定满足条件的的个数.对每一步递推时，根据前一项的可能情况（是由偶数除以得到还是由奇数通过得到 ）进行分类讨论.
8．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令得
则的零点即为与交点的横坐标，
令得则的零点即为与交点的横坐标，
画出的图象，
由图可知：从上到下的三条直线分别说明，，成立，可得选项D、B、C可能成立，
故答案为：A.
【分析】探究函数和零点的关系，将零点问题转化为函数图象交点问题，用数形结合思想分析.把、的零点转化为对应函数与直线交点的横坐标，画出相关函数图象，根据图象判断零点的位置关系.
9．【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用；条件概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A：易知12人中共有男7女，分别从5个男生和7个女生中各选一人，可得共种，即A正确；
B：显然8个数据已经按照从小到大的顺序排列好，，所以第70百分位数是第6个数是，可得B错误；
对于C，记“选到女生”为事件A，“来自甲班”为事件 B，则，所以C错误；
D：服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2；
易知；
所以期望值，可得D正确.
故答案为：AD.
【分析】围绕两个班级候选人的不同概率、统计问题展开，分别对每个选项，依据组合数、百分位数、条件概率、超几何分布的相关知识进行分析判断.针对每个选项，明确对应的知识点，按相应公式或定义计算验证.
10．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：，，为二面角的平面角，，而，所以点到平面的距离，是定值，故A正确；
B：，，平面，所以平面，
又平面，，因为，
所以，所以，又，平面，
平面，故B正确；
C：由B可知，当时，，，
又，，
所以，，
所以考虑对称性，当时三棱锥的表面积也是该值，故C错误；
D：由B可知平面，三棱锥改为C为顶点画法，如下图所示：
设是的外心，是三棱锥外接球球心，
所以三棱锥外接球的半径，
又，，，当且仅当，
即是直角三角形时，外接球半径最小值为，此时，
即，解得或，
所以当时三棱锥外接球的半径取得最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】围绕三棱锥的性质展开，涉及体积、线面垂直、表面积、外接球半径等问题.用翻折前后的垂直关系，结合二面角、线面垂直判定、表面积计算、外接球相关知识，对每个选项逐一分析.抓住翻折过程中与的垂直关系不变，以及二面角的平面角为这一条件.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；平面直角坐标系与曲线方程
【解析】【解答】解：A：因为代入方程，方程不变，可知曲线的对称轴为轴、轴、直线与直线，先根据对称性可以得到完整曲线，如图
所以根据图形可知曲线共有4条对称轴，故A正确；
B：结合图2，
根据对称性，研究第一象限则，则，所以内部圆半径最大，故B错误；
C：如图2，根据对称性，只需证：当时，恒成立，
即证：当时恒成立，显然成立，结合对称性，曲线长度大于“四角星”形状图形的周长，故C正确；
D：如图3，以为圆心，4为半径作圆弧，到距离为，
根据对称性，研究第一象限，只需证：时，，
可得，则
，所以第一象限内圆弧在曲线上方，
面积，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕特殊曲线的性质展开，包括对称性、封闭图形内可容纳圆的情况、周长和面积.用曲线方程的对称性判断对称轴，通过不等式推导、图形特征分析周长和面积，结合距离公式等判断封闭图形内圆的情况.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：设则满足方程的点均可.
故答案为：.
【分析】考查向量投影向量模长的计算，设出向量的坐标，依据向量投影向量模长的公式列出等式，通过化简等式得到坐标满足的条件，进而找出符合条件的坐标.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：令，直线：，在椭圆中，令，得，点，在抛物线中，令，得，由，得，即，而，解得，所以的离心率
故答案为：.
【分析】结合椭圆与抛物线的性质，通过坐标求解、比例关系建立等式来计算椭圆离心率.根据椭圆和抛物线的焦点、交点性质，确定相关点的坐标，用平行关系得到比例式，结合椭圆中、、的关系列方程求解.
14．【答案】2
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：设切点为
切线方程为：，
设切点，切点，切线的斜率为k，则有即将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为，
将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为，
则有
①当时，由得：
；
所以，即，所以；当时，满足与l在A，B之间无公共点.
②当 时，由得：
即③，结合③式可知，是与l的公共点，且在A，B之间，该情况无解.综上所述，切线l的斜率为
故答案为：2.
【分析】聚焦函数的切线性质，结合导数求切线斜率，用切线方程及截距关系，分类讨论切点横坐标的联系，进而确定切线斜率.通过导数得出切线斜率表达式，依据斜率相等得到，结合截距相等分情况探究切点横坐标关系，从而求出斜率.
15．【答案】（1）解：，.
（2）解：，即所以或得舍
由边AC上的高，
根据正弦定理得：
是锐角三角形，，
，
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）需用三角恒等变换将函数化简为标准正弦型函数，再用周期公式求最小正周期.
（2）由（1）的结果结合已知求出角，用正弦定理、三角函数性质及三角形面积公式确定面积取值范围 .
（1），
；
（2），即
所以或得舍
由边AC上的高，
根据正弦定理得：
是锐角三角形，
，，
16．【答案】（1）证明：以B为原点，方向为轴，垂直于平面向上方向为z轴，建系.
设，面
则
设平面的法向量为则即，
令，可得，
平面的法向量为
点A到平面的距离为
面
（2）解：
设平面的法向量则所以
令则所以平面的法向量
设平面的法向量则所以
令则所以平面的法向量
所以平面与平面夹角的余弦值
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过建立空间直角坐标系，计算向量关系，利用线面垂直的向量判定条件（直线方向向量与平面内两不共线向量垂直 ）来证明.
（2）求出两个平面的法向量，再用向量夹角公式计算二面角的余弦值.解题关键是合理建系，准确计算向量坐标及数量积.
（1）以B为原点，方向为轴，垂直于平面向上方向为z轴，建系.
设
面
则
设平面的法向量为
则即，
令，可得，
平面的法向量为
点A到平面的距离为
面
（2）设平面的法向量
则所以
令则所以平面的法向量
设平面的法向量
则所以
令则
所以平面的法向量
所以平面与平面夹角的余弦值
17．【答案】（1）解：因为的定义域为，
则，
令或；
或，
在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：因为，
设，
注意到，
要使在上不单调，只需满足，
解得，即实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再求导，令，从而得出函数的单调区间.
（2）求导可得，设，再利用函数在上不单调，则，解不等式组得出实数a的取值范围.
（1）的定义域为，
，
令或，或，
在上单调递增，在上单调递减.
（2），
设，
注意到，要使在上不单调，
只需满足，解得，
即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题意得解得.
（2）解： 设代入双曲线方程，得：
由韦达定理可得：
令，则，所以解得
A，B三点共线，.
（3）解： 设代入双曲线方程得：由韦达定理，得，即
同理可得：，
C两点关于原点对称，
设
由韦达定理得：
解得：
所以
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）用等轴双曲线性质与点到直线距离公式求方程.
（2）联立直线与双曲线方程，结合向量关系及韦达定理求解.
（3）通过设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理、对称关系及面积比条件确定斜率范围.
（1）由题意得解得
.
（2）设
代入双曲线方程，得：
由韦达定理可得：
令，则，
所以解得
A，B三点共线，
.
（3）设
代入双曲线方程得：
由韦达定理，得，即
同理可得：
C两点关于原点对称，
设
由韦达定理得：
解得：所以
19．【答案】（1）解：
（2）解：参考走法不唯一
对于第二个方格，则不能达成“胜利”，理由如下：设表示中的值，例如：
则在方格中，共有25个将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格，易知，偶数格有13个，奇数格有12个，
按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格，
若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，
此时剩下12个偶数格，10个奇数格，无论如何移动都不能达成“胜利”.
（3）解：首先判断然后证明：时不成立.证明如下：将挖去的6格记为
其中与均为的一种排列，
为偶数，
由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”，必须挖去3个奇数格，3格偶数格.
而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾.不可能挖去6格.最后证明：时，能成立，
如图：
挖法和走法均不唯一.综上所述， n最大值为5.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）依据移动规则，从指定位置出发，尝试所有可能的移动路径，找出能遍历所有格子的路线.
（2）通过分析涂黑格对路径连通性的影响，判断是否存在完整遍历路径.
（3）用方格行列特性，结合“胜利”需遍历所有格子的要求，分析最大涂黑格数.
（1）
（2）参考走法不唯一
对于第二个方格，则不能达成“胜利”，
理由如下：
设表示中的值，例如：
则在方格中，共有25个
将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格，
易知，偶数格有13个，奇数格有12个，
按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格，
若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格
而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格，
无论如何移动都不能达成“胜利”.
（3）首先判断
然后证明：时不成立.证明如下：
将挖去的6格记为
其中与均为的一种排列，
为偶数，
由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”，
必须挖去3个奇数格，3格偶数格.
而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾.
不可能挖去6格.
最后证明：时，能成立，如图：
挖法和走法均不唯一.
综上所述， n最大值为
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