广东省部分学校2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高三上·广东期末）已知集合，则（ ）
A．{1} B． C． D．
2．（2025高三上·广东期末）已知复数为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C．0 D．
3．（2025高三上·广东期末）制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标，高于表示经济活动扩张，低于表示经济活动收缩．已知2024年1月－10月中国制造业采购经理指数依次为：，，则这10个数据的分位数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·广东期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·广东期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·广东期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2025高三上·广东期末）已知是边长为的正三角形，点满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．（2025高三上·广东期末）已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球的表面上，点满足，过点作与直线垂直的平面，则截球所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高三上·广东期末）已知某市18岁男性市民的身高（单位：cm）近似服从正态分布，且，则（ ）
A．该市18岁男性市民的平均身高为172cm
B．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过172cm的概率为0.5
C．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为0.7
D．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等
10．（2025高三上·广东期末）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线与只有1个交点，过点作与平行的直线与交于两点，则（ ）
A．的斜率为 B．
C． D．的面积为2
11．（2025高三上·广东期末）已知函数的定义域为，对任意，恒有，且，则（ ）
A． B．
C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高三上·广东期末）已知数列是公比为的等比数列，且，则 .
13．（2025高三上·广东期末）函数在区间上的值域为 ．
14．（2025高三上·广东期末）已知连接正四面体各面的重心，可以得到一个小的正四面体，且小正四面体的每一个面都与原正四面体的一个面平行．据此推断，若四面体的体积为4，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面围成一个新的四面体，则新四面体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三上·广东期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且
（1）求；
（2）求的面积.
16．（2025高三上·广东期末）如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2025高三上·广东期末）已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一的零点，求的取值范围．
18．（2025高三上·广东期末）已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.
19．（2025高三上·广东期末）已知开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为中的一个随机整数）计算得到的动态校验码，是的个位数字．
（1）若，且依次为公差为1的无穷等差数列的前4项，求的前项和；
（2）若，从中随机取1个数作为，求动态校验码的分布列；
（3）若的取值分别为，其中等可能地取，求的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D.
【分析】先求得集合AB，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，则复数，虚部为．
故答案为：B．
【分析】根据复数代数形式加减化简复数，再根据复数为纯虚数求得参数，结合复数的概念判断即可.
3．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据按照从小到大排列为：，
，则分位数是第8个数据．
故答案为：D．
【分析】先将10个数据从小到大排列，再根据百分位数的定义计算即可.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：指数函数单调递减，则，
对数函数单调递减，则，
故．
故答案为：A．
【分析】利用指数函数和对数函数单调性判断即可.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数在区间上单调递增，
则，即在上恒成立，
令且，，易知，
即在上单调递增，，则，即a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】原问题化为在恒成立，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得a的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得，，
由双曲线定义知：，则，即的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，根据双曲线定义列关于a，c的方程，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知：点，，在以为圆心、为半径的圆上，取的中点，
以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示：
则，，，设，由，故，
，，
则，当且仅当时等号成立，即的最大值为.
故答案为 ：A.
【分析】取的中点，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，利用向量数量积的坐标表示结合余弦函数的性质求解即可.
8．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以直线平面，
则为过点且与平面平行的平面，点在平面内，
点到平面的距离就是平面与平面的距离，
又因为，所以，
球的半径，则截球所得截面圆的半径，
该圆面积为．
故答案为：C．
【分析】连接，利用线面垂直的判定定理证明直线平面，再根据点到平面距离及得出，结合球的性质求截面面积即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、 身高（单位：cm）近似服从正态分布 ，则平均身高的平均数，故A正确；
B、由正态分布的对称性可知： 身高不超过172cm的概率为0.5 ，故B正确；
C、因为，，所以，
即从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为，故C错误；
D、，则其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据正态分布定义即可判断A；利用正态分布的对称性即可判断BD；由对称性求得指定区间上的概率即可判断C.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，
A、设的斜率为，直线，
联立，消元整理可得，
因为直线与只有1个交点，所以，解得，故A正确；
B、由对称性不妨假设的斜率为，则的方程为，
联立，消元整理得，
则，
故B错误；
C、由A可得，解得，则，故C正确；
D、由B知，由题意得，，
则之间的距离，的面积为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】易知抛物线的焦点，设的斜率为，直线，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于0求解即可判断A；由对称性不妨假设的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可判断B；求出点横坐标，利用抛物线定义即可判断C；分析得直线之间的距离为的高，结合，求得面积即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 函数 ， 对任意，恒有 ，
A、取，得，所以，故A正确；
B、取，得，所以，故B正确；
C、取，得，取，得是偶函数，故C错误；
D、取，得，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，利用赋值法计算求值判断ABD；根据偶函数定义即可判断C.
12．【答案】或1
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解： 数列是公比为的等比数列 ，
由，可得，
因为，所以，解得或1，
故答案为：或1.
【分析】由题意，根据等比数列性质可得，求解即可.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
当时，，
则的值域为．
故答案为：.
【分析】定义域分为，，利用正弦函数的性质分别求值域，结果并集即可得函数 在区间上的值域 .
14．【答案】108
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的，如图所示：
当分别为四面体各个面对应三角形的重心时，
连接并延长交于点，连接并延长交于点，
则，且为的中位线，即，且，
同理可得且且；
且且．
即当分别为四面体各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件，
所以四面体的棱长是四面体对应棱长的3倍，
所以四面体的体积为．
故答案为：108.
【分析】根据题意可作出新的四面体并根据重心性质求得小四面体与新的四面体的边长比例，再由体积比与棱长比的关系计算即可.
15．【答案】（1）解：在中，由余弦定理 ，
可得
整理得，解得；
（2）解：在中，由余弦定理得，
则
故的面积为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理列式直接求解即可；
（2）在中，由余弦定理求得，再由同角三角函数基本关系求得，结合三角形面积公式计算即可．
（1）在中，由余弦定理得. ，
即
整理得，
所以（负值舍去）.
（2）在中，由余弦定理得，
所以
所以的面积为
16．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，
又因为，所以，，
满足，即，
又因为面，所以面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：连接，则是平行四边形对角线的中点，
又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
在中，由余弦定理得，
，，
，由，得，
则，由，得，
又因为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；余弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（2）连接，则是平行四边形对角线的中点，由（1）的结论，利用等体积法求得点到平面的距离，再求出，即可求出线面角的正弦.
（1）三棱柱中，取中点，连接，
由是边长为的正三角形，得，
由，得，而，
则，即，而面，
因此面，又平面，所以平面平面.
（2）连接，则是平行四边形对角线的中点，
又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
在中，由余弦定理得，
，，
，由，得，
则，由，得，
又，于是，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：当时，函数，易知，
则函数在处的切线方程为，即；
（2）解：函数，，
设，则在上单调递增，，
当时，在区间上单调递增，
因为，所以在区间上没有零点，
当，即时，在区间上单调递减，
所以在区间上没有零点，
当时，，
存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，所以要使有零点，需满足，
即，综上得的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（2）求，讨论的取值，确定函数的单调性，结合条件可求的取值范围.
（1）当时，，
所以，
所以在处的切线方程为，即．
（2）由得，
设，则在上单调递增，，
当时，在区间上单调递增，
因为，所以在区间上没有零点.
当，即时，在区间上单调递减，
所以在区间上没有零点.
当时，，
存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，所以要使有零点，需满足，
即，综上得的取值范围是．
18．【答案】（1）解：圆，令，解得或，
则，，
故椭圆的方程为；
（2）解：易知点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，
联立，消去整理得：，
设，则，，
联立得，即，
当直线与轴重合时，点满足方程，
则线段的中点的轨迹方程是；
（3）证明：由，得，
不妨令，
直线斜率，则，
，
因此，∽，则，
所以点共圆.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由圆的方程，令，求出点的坐标，即可得，再根据椭圆中的关系求，从而可得椭圆的方程；
（2）易知点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点即可求出轨迹方程；当直线与轴重合时，点满足方程，即可求出点即可求出轨迹方程；
（3）利用弦长公式求出，再借助相似三角形及圆内四边形的判定推理得证.
（1）在圆中，令，解得或，则，
因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长，
所以椭圆的方程为.
（2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，
由消去得：，
设，则，，
联立得，即，
当直线与轴重合时，点满足方程，
所以线段的中点的轨迹方程是.
（3）由，得，不妨令，
直线斜率，则，
，
因此，∽，则，
所以点共圆.
19．【答案】（1）解：因为是公差为1的等差数列中的第4项，所以，
因为，所以，的个位数字为，
因为，所以是一位数，且能被10整除，所以，
则；
（2）解：因为，所以，
则为的个位数字，
当或5时，，当或8时，，
当或6时，，当或9时，，
当或7时，，
的分布列为
0 2 4 6 8
（3）解：因为，所以，
因为的取值分别为，
所以，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为0，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
则的概率为．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题意，再根据推导出是一位数，且能被10整除，求得，利用等差数列的通项公式和求和公式求解即可；
（2）根据题意可得为的个位数字，再得出分布列即可；
（3）根据题意解得，进而可得且的概率.
（1）因为是公差为1的等差数列中的第4项，
所以，
因为，所以，
的个位数字为，
因为，
所以是一位数，且能被10整除，
所以，
．
（2）因为，
所以，
所以为的个位数字，
当或5时，，当或8时，，
当或6时，，当或9时，，
当或7时，，
所以的分布列为
0 2 4 6 8
（3）因为，
所以，
因为的取值分别为，
所以，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为0，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
所以的概率为．
1 / 1广东省部分学校2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高三上·广东期末）已知集合，则（ ）
A．{1} B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D.
【分析】先求得集合AB，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2025高三上·广东期末）已知复数为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，则复数，虚部为．
故答案为：B．
【分析】根据复数代数形式加减化简复数，再根据复数为纯虚数求得参数，结合复数的概念判断即可.
3．（2025高三上·广东期末）制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标，高于表示经济活动扩张，低于表示经济活动收缩．已知2024年1月－10月中国制造业采购经理指数依次为：，，则这10个数据的分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据按照从小到大排列为：，
，则分位数是第8个数据．
故答案为：D．
【分析】先将10个数据从小到大排列，再根据百分位数的定义计算即可.
4．（2025高三上·广东期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：指数函数单调递减，则，
对数函数单调递减，则，
故．
故答案为：A．
【分析】利用指数函数和对数函数单调性判断即可.
5．（2025高三上·广东期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数在区间上单调递增，
则，即在上恒成立，
令且，，易知，
即在上单调递增，，则，即a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】原问题化为在恒成立，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得a的取值范围.
6．（2025高三上·广东期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得，，
由双曲线定义知：，则，即的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，根据双曲线定义列关于a，c的方程，求解即可.
7．（2025高三上·广东期末）已知是边长为的正三角形，点满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知：点，，在以为圆心、为半径的圆上，取的中点，
以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示：
则，，，设，由，故，
，，
则，当且仅当时等号成立，即的最大值为.
故答案为 ：A.
【分析】取的中点，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，利用向量数量积的坐标表示结合余弦函数的性质求解即可.
8．（2025高三上·广东期末）已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球的表面上，点满足，过点作与直线垂直的平面，则截球所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以直线平面，
则为过点且与平面平行的平面，点在平面内，
点到平面的距离就是平面与平面的距离，
又因为，所以，
球的半径，则截球所得截面圆的半径，
该圆面积为．
故答案为：C．
【分析】连接，利用线面垂直的判定定理证明直线平面，再根据点到平面距离及得出，结合球的性质求截面面积即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高三上·广东期末）已知某市18岁男性市民的身高（单位：cm）近似服从正态分布，且，则（ ）
A．该市18岁男性市民的平均身高为172cm
B．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过172cm的概率为0.5
C．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为0.7
D．从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、 身高（单位：cm）近似服从正态分布 ，则平均身高的平均数，故A正确；
B、由正态分布的对称性可知： 身高不超过172cm的概率为0.5 ，故B正确；
C、因为，，所以，
即从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在之间的概率为，故C错误；
D、，则其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据正态分布定义即可判断A；利用正态分布的对称性即可判断BD；由对称性求得指定区间上的概率即可判断C.
10．（2025高三上·广东期末）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线与只有1个交点，过点作与平行的直线与交于两点，则（ ）
A．的斜率为 B．
C． D．的面积为2
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，
A、设的斜率为，直线，
联立，消元整理可得，
因为直线与只有1个交点，所以，解得，故A正确；
B、由对称性不妨假设的斜率为，则的方程为，
联立，消元整理得，
则，
故B错误；
C、由A可得，解得，则，故C正确；
D、由B知，由题意得，，
则之间的距离，的面积为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】易知抛物线的焦点，设的斜率为，直线，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于0求解即可判断A；由对称性不妨假设的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可判断B；求出点横坐标，利用抛物线定义即可判断C；分析得直线之间的距离为的高，结合，求得面积即可判断D.
11．（2025高三上·广东期末）已知函数的定义域为，对任意，恒有，且，则（ ）
A． B．
C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： 函数 ， 对任意，恒有 ，
A、取，得，所以，故A正确；
B、取，得，所以，故B正确；
C、取，得，取，得是偶函数，故C错误；
D、取，得，所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，利用赋值法计算求值判断ABD；根据偶函数定义即可判断C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高三上·广东期末）已知数列是公比为的等比数列，且，则 .
【答案】或1
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解： 数列是公比为的等比数列 ，
由，可得，
因为，所以，解得或1，
故答案为：或1.
【分析】由题意，根据等比数列性质可得，求解即可.
13．（2025高三上·广东期末）函数在区间上的值域为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
当时，，
则的值域为．
故答案为：.
【分析】定义域分为，，利用正弦函数的性质分别求值域，结果并集即可得函数 在区间上的值域 .
14．（2025高三上·广东期末）已知连接正四面体各面的重心，可以得到一个小的正四面体，且小正四面体的每一个面都与原正四面体的一个面平行．据此推断，若四面体的体积为4，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面围成一个新的四面体，则新四面体的体积为 ．
【答案】108
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的，如图所示：
当分别为四面体各个面对应三角形的重心时，
连接并延长交于点，连接并延长交于点，
则，且为的中位线，即，且，
同理可得且且；
且且．
即当分别为四面体各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件，
所以四面体的棱长是四面体对应棱长的3倍，
所以四面体的体积为．
故答案为：108.
【分析】根据题意可作出新的四面体并根据重心性质求得小四面体与新的四面体的边长比例，再由体积比与棱长比的关系计算即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三上·广东期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且
（1）求；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：在中，由余弦定理 ，
可得
整理得，解得；
（2）解：在中，由余弦定理得，
则
故的面积为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理列式直接求解即可；
（2）在中，由余弦定理求得，再由同角三角函数基本关系求得，结合三角形面积公式计算即可．
（1）在中，由余弦定理得. ，
即
整理得，
所以（负值舍去）.
（2）在中，由余弦定理得，
所以
所以的面积为
16．（2025高三上·广东期末）如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，
又因为，所以，，
满足，即，
又因为面，所以面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：连接，则是平行四边形对角线的中点，
又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
在中，由余弦定理得，
，，
，由，得，
则，由，得，
又因为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；余弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（2）连接，则是平行四边形对角线的中点，由（1）的结论，利用等体积法求得点到平面的距离，再求出，即可求出线面角的正弦.
（1）三棱柱中，取中点，连接，
由是边长为的正三角形，得，
由，得，而，
则，即，而面，
因此面，又平面，所以平面平面.
（2）连接，则是平行四边形对角线的中点，
又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
在中，由余弦定理得，
，，
，由，得，
则，由，得，
又，于是，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．（2025高三上·广东期末）已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一的零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数，易知，
则函数在处的切线方程为，即；
（2）解：函数，，
设，则在上单调递增，，
当时，在区间上单调递增，
因为，所以在区间上没有零点，
当，即时，在区间上单调递减，
所以在区间上没有零点，
当时，，
存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，所以要使有零点，需满足，
即，综上得的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（2）求，讨论的取值，确定函数的单调性，结合条件可求的取值范围.
（1）当时，，
所以，
所以在处的切线方程为，即．
（2）由得，
设，则在上单调递增，，
当时，在区间上单调递增，
因为，所以在区间上没有零点.
当，即时，在区间上单调递减，
所以在区间上没有零点.
当时，，
存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，所以要使有零点，需满足，
即，综上得的取值范围是．
18．（2025高三上·广东期末）已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.
【答案】（1）解：圆，令，解得或，
则，，
故椭圆的方程为；
（2）解：易知点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，
联立，消去整理得：，
设，则，，
联立得，即，
当直线与轴重合时，点满足方程，
则线段的中点的轨迹方程是；
（3）证明：由，得，
不妨令，
直线斜率，则，
，
因此，∽，则，
所以点共圆.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由圆的方程，令，求出点的坐标，即可得，再根据椭圆中的关系求，从而可得椭圆的方程；
（2）易知点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点即可求出轨迹方程；当直线与轴重合时，点满足方程，即可求出点即可求出轨迹方程；
（3）利用弦长公式求出，再借助相似三角形及圆内四边形的判定推理得证.
（1）在圆中，令，解得或，则，
因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长，
所以椭圆的方程为.
（2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，
由消去得：，
设，则，，
联立得，即，
当直线与轴重合时，点满足方程，
所以线段的中点的轨迹方程是.
（3）由，得，不妨令，
直线斜率，则，
，
因此，∽，则，
所以点共圆.
19．（2025高三上·广东期末）已知开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为中的一个随机整数）计算得到的动态校验码，是的个位数字．
（1）若，且依次为公差为1的无穷等差数列的前4项，求的前项和；
（2）若，从中随机取1个数作为，求动态校验码的分布列；
（3）若的取值分别为，其中等可能地取，求的概率．
【答案】（1）解：因为是公差为1的等差数列中的第4项，所以，
因为，所以，的个位数字为，
因为，所以是一位数，且能被10整除，所以，
则；
（2）解：因为，所以，
则为的个位数字，
当或5时，，当或8时，，
当或6时，，当或9时，，
当或7时，，
的分布列为
0 2 4 6 8
（3）解：因为，所以，
因为的取值分别为，
所以，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为0，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
则的概率为．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题意，再根据推导出是一位数，且能被10整除，求得，利用等差数列的通项公式和求和公式求解即可；
（2）根据题意可得为的个位数字，再得出分布列即可；
（3）根据题意解得，进而可得且的概率.
（1）因为是公差为1的等差数列中的第4项，
所以，
因为，所以，
的个位数字为，
因为，
所以是一位数，且能被10整除，
所以，
．
（2）因为，
所以，
所以为的个位数字，
当或5时，，当或8时，，
当或6时，，当或9时，，
当或7时，，
所以的分布列为
0 2 4 6 8
（3）因为，
所以，
因为的取值分别为，
所以，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为0，
若，则取时，的个位数分别为，
所以且的概率为，
所以的概率为．
1 / 1
