人教A版高中数学必修第二册基础练习作业-第八章8.6.1 直线与直线垂直（含解析）

8.6.1 直线与直线垂直
一、单选题
1.若直线 与直线 异面，且 与 的方向向量分别为 和 ，且 ，则（ ）
A. 与 平行
B. 与 异面但不垂直
C. 与 垂直
D. 无法判断
2.在正方体 中，下列直线对中垂直的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
3.在三棱锥 中，若 平面 ，，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
4.直线 与直线 垂直，求 的值（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
5.在正方体 中，下列直线对中垂直的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
6.已知直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则（ ）
A. 与 平行
B. 与 异面
C. 与 垂直
D. 无法判断
二、多选题
7.下列条件中，能判定两条异面直线垂直的是（ ）
A. 两条直线的方向向量的数量积为0
B. 两条直线都垂直于同一个平面
C. 一条直线垂直于另一条直线所在的平面
D. 两条直线的夹角为90°
8.在三棱柱 中，下列直线对中垂直的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
9若直线 垂直于平面 ，则（ ）
A. 垂直于平面 内的所有直线
B. 平面 内存在直线与 平行
C. 平面 内存在直线与 异面
D. 垂直于平面 内的任意一条直线
三、填空题
10.在正方体 中，直线 与直线 的夹角为 。
11.在三棱锥 中，若 平面 ，则 与平面 内的直线 的位置关系为 。
12.在正方体 中，棱长为 ， 的位置关系是 。
四、解答题
13.在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，点 在 上，且 。
求证： 平面 。
14.在直三棱柱 中，，且 平面 。
求证：。
15.如图，已知在圆柱 中，， 分别是圆 ， 的直径，且 。点 在圆 上，。若圆柱 的体积 ，，，回答下列问题：
（1）求三棱锥 的体积；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使异面直线 与 所成的角的余弦值为 ？若存在，请指出点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由。
一、单选题
1.答案：C
解析：方向向量数量积为0，说明两直线垂直，与是否异面无关。
2.答案：A
解析：正方体底面菱形对角线 ，故A正确；其他选项中直线异面但不垂直。
3.答案：A
解析： 且 ，由线面垂直判定定理知 平面 。
4.答案：A
解析：两直线斜率分别为 和 ，乘积为 时垂直，故 取任意值不影响垂直关系，选项中只有A符合常规题型设计。
5.答案：C
解析：正方体体对角线 与面对角线 垂直（底面菱形性质），故选C。
6.答案：C
解析：
因此 ，即 与 垂直。
二、多选题
7.答案：ACD
解析：
A正确：向量数量积为0即垂直；
B错误：两直线垂直同一平面则平行，非异面；
C正确：线面垂直则线与面内所有直线垂直；
D正确：夹角90°即垂直。
8.答案：ABC
解析：
A正确：侧棱 底面，故 ；
B正确：若三棱柱为直棱柱，；
C正确：同理侧棱 ；
D错误：一般情况下 与 不垂直。
9.答案：AD
解析：
A、D正确：线面垂直则线与面内所有直线垂直；
B错误：平面内无直线与 平行（ 垂直平面，平行则需 平面）；
C错误：平面内直线与 要么相交（共面），要么异面，但选项表述正确？需注意：若直线在平面内，与 异面需 不在平面内且不相交，而 垂直平面必与平面相交，故平面内不存在与 异面的直线，C错误。
三、填空题
10.答案：90°
解析：正方体底面菱形对角线互相垂直，夹角为90°。
11.答案：垂直
解析： 平面 ，则 垂直平面内任意直线，包括 。
12.答案：垂直
解析：∵ 正方体 中，底面 为正方形，
∴ （正方形对角线互相垂直）。
四、解答题
13.证明：
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ （线面垂直性质）
∵ ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 （线面垂直判定定理）
14.证明：
∵ 直三棱柱 中， 底面 ，
∴ （侧棱垂直底面）
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ （线面垂直性质：直线垂直平面，则垂直平面内任意直线）。
即
15.解：（1）圆柱体积 ；
，在 中，，得 ，，
；
，
。
（2）证明：建立空间直角坐标系：
为原点， 为 轴，垂直 向上为 轴，圆柱高方向为 轴；
各点坐标：，，，；
中点 的坐标为 。
计算向量与夹角：
，；
向量点积：
向量模长：
余弦值：