2024-2025学年山东省淄博市博山一中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含答案)

2024-2025学年山东省淄博市博山一中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．（3分）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≠0 D．x＜3
3．（3分）若分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍
4．（3分）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）九年一班50人参加年级数学竞赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分、90分、80分、70分，该班竞赛成绩的统计图如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．B等级人数比A等级人数少21人
B．50人得分的众数是80分
C．50人得分的平均数是80分
D．50人得分的中位数是80分
6．（3分）若关于x的分式方程1有增根，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．2 D．
7．（3分）下列各式：①；②；③；④；⑤，最简分式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（　　）
A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定
9．（3分）已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是（　　）
A． B． C．2 D．
10．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
11．（3分）分解因式：36x2﹣4＝　 　 ．
12．（3分）关于x的方程2的解为正数，则a的取值范围为 　 　 ．
13．（3分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，其中AB＝7，BE＝3，DM＝2，则阴影部分的面积是 　 　 ．
14．（3分）若一组数据x1，x2，x3， ，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3， ，xn+3的方差是 　 　 ．
15．（3分）对于正数x规定，例如：，f（），则f（2023）+f（2022）+ +f（2）　 　 ．
三、解答题
16．因式分解：
（1）16x2﹣9；
（2）x（x+2）﹣x﹣2．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．
18．先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．某校九年级有600名学生，在体育中考前进行了一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次被抽取到的学生人数为 　 　 ，图1中m的值为 　 　 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级模拟体测中得12分的学生约有多少人？
21．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办．“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，将成为国际范围的热点关注内容．为广泛宣传生物多样性，某校组织七、八年级各200名学生对《生物多样性公约》白皮书相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级 1 5 2 a
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 72 66.6
八年级 80 80 c s八年级2
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）计算八年级同学测试成绩的方差，并估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
（3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？
（4）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由（至少写出两条理由）．
22．观察下列方程的特征及其解的特点；
①x3的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2．
②x5的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3．
③x7的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4；
解答下列问题；
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 　 　 ，其解为 　 　 ．
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 　 　 ，其解为 　 　 ．
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x2（n+2）（其中n为正整数）的解．
23．2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
2024-2025学年山东省淄博市博山一中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D D A A B A D
一、选择题
1．解：只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
故选：D．
2．解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，解得x≠3．
故选：A．
3．解：把分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，得到的新分式为，
∴分式的值扩大了4倍，
故选：C．
4．解：A．∵，
∴，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
5．解：A、B等级人数比A等级人数少50×（44%﹣4%）＝20（人），故此选项不符合题意；
B、50人得分的众数是100分，故此选项不符合题意；
C、50人得分的平均数是100×44%+90×4%+80×36%+70×16%＝87.6（分），故此选项不符合题意；
D、50人得分的中位数是80分，故此选项符合题意．
故选：D．
6．解：方程两边都乘以（x﹣2）得：6﹣（x﹣2）＝﹣ax，
解得：x，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴2，
解得：a＝﹣3．
故选：A．
7．解：①，因此①是最简分式；
②，因此②不是最简分式；
③，因此③不是最简分式；
④是整式，不是分式；
⑤是最简分式；
综上所述，①⑤是最简分式，有2个，
故选：A．
8．解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，4x2﹣（k﹣1）x+9＝（2x）2﹣（k﹣1）x+32，
∴k﹣1＝±2×2×3，
解得：k＝13或﹣11，
故选：B．
9．解：∵a+b+c＝10，，
∴a＝10﹣（b+c），b＝10﹣（a+c），c＝10﹣（a+b），
∴
＝10（）﹣3
＝103
．
故选：A．
10．解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE＝60°，
∵∠BDC＝∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE＝CD，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+4＝5+4＝9，所以③正确．
故选：D．
二、填空题
11．解：36x2﹣4
＝4（9x2﹣1）
＝4（3x+1）（3x﹣1）．
故答案为：4（3x+1）（3x﹣1）．
12．解：去分母，得2﹣（5﹣a）＝﹣2（x﹣1），
去括号，得2﹣5+a＝﹣2x+2，
整理，得2x＝5﹣a，
∴x．
若方程的解为正数，则0且1．
∴a＜5且a≠3．
13．解：如图，连接AD，由平移的性质可知，AD＝BE＝CF＝3，
S阴影部分＝S平行四边形ACFD﹣S△ADM
＝3×72×3
＝18，
故答案为：18．
14．解：∵数据x1，x2，x3， ，xn的方差是2，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3， ，xn+3的波动幅度不变，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3， ，xn+3的方差为2，
故答案为：2．
15．解：由题意可得：f（1），f（3），f（），f（5），f（），
则f（x）+f（）＝1，
原式＝[f（2023）+f（）]+[f（2022）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1+1+…+1
＝1×（2023﹣1）
＝2022，
故答案为：2022．
三、解答题
16．解：（1）原式＝（4x）2﹣32
＝（4x+3）（4x﹣3）．
（2）原式＝x（x+2）﹣（x+2）
＝（x+2）（x﹣1）．
17．解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段A2B2即为所求．
18．解：
＝﹣a﹣1，
根据分式有意义的条件知a≠﹣1且a≠2，
则a＝3，
原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
19．解：（1）原分式方程整理得，
1＝3x﹣1﹣4，
3x＝6，
x＝2，
检验，当x＝2时，2（3x﹣1）＝2（3×2﹣1）＝10≠0，
所以该分式方程的解为：x＝2；
（2）原分式方程去分母得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
x＝1，
检验，当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，
所以该分式方程无解．
20．解：（Ⅰ）本次被抽取到的学生人数为4÷8%＝50（人），m%100%＝28%，即m＝28，
故答案为：50人、28；
（Ⅱ）∵，
∴本次调查获取的样本数据的平均数是10.66．
∵在这组样本数据中，12出现了16次，出现的次数最多，
∴这组样本数据的众数是12．
∵将这组样本数据按照有小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是11，有，
∴这组样本数据的中位数是11．
（Ⅲ）∵在50名学生中，模拟体测得12分的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校九年级体测测试中得12分的学生人数比例约为32%，
∴600×32%＝192（人）
答：估计该校九年级模拟体测中得12分的学生约有192人．
21．解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有2个，
故a＝2．
中位为b（分），
将八年级的成绩出现次数最多是8（0分），共出现2次，
∴众数c＝80（分），
故答案为：2，78.5，80；
（2）（80﹣80）2+（80﹣76）2+（80﹣82）2]＝33．
∵七年级同学测试成绩的方差是66.6，八年级同学测试成绩的方差是33，
∴，
∴估计八年级学生的竞赛成绩更整齐些．
（3）由题意得（人），
∴这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共约60人．
（4）可以推断出八年级学生的数学水平较高，
理由为两班平均数相同，八年级的中位数高于七年级；八年级的众数高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
22．解：（1）x，其解为：x1＝﹣4，x2＝﹣5，
经检验：x1＝﹣4，x2＝﹣5是原方程的解，
故答案为：x9，x1＝﹣4，x2＝﹣5；
（2）x（2n+1），其解为：x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1，
故答案为：x（2n+1），x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1；
（3）x2（n+2）
x+32（n+2）+3
（x+3）（2n+1）
∴x+3＝﹣n或x+3＝﹣（n+1），
即：x1＝﹣n﹣3，x2＝﹣n﹣4．
经检验：x1＝﹣n﹣3，x2＝﹣n﹣4是原方程的解，
23．解：（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，
依题意得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×20＝30，
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元；
（2）设购买辆A型汽车m辆，则购买（150﹣m）辆B型汽车，
依题意得：30m+20（150﹣m）≤3600，
解得：m≤60，
答：最多可以购买60辆A型汽车．
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