2024-2025学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＝2 C．x≠2 D．x＜2
3．（4分）将多项式x2+6x﹣16因式分解，正确的是（　　）
A．（x﹣2）（x+8） B．（x+2）（x﹣8）
C．（x+4）（x﹣4） D．（x﹣4）2
4．（4分）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
5．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（4，3）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，3） C．（6，5） D．（6，1）
6．（4分）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表：
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（　　）
A．中位数是40 B．众数是4
C．平均数是20.5 D．极差是3
7．（4分）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2
8．（4分）某市工程队要修路1000米，因天气原因，实施施工时“…”，设原计划平均每天修x米，则可得方程5，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（　　）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期5天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成了
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前5天完成了
9．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC
10．（4分）如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③如果∠BPC＝150°，那么PA2＝PB2+PC2．以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11．（4分）如果分式的值为零，那么x的值为　 　 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是 　 　 ．
13．（4分）已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为　 　 ．
14．（4分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为　 　 度．
15．（4分）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），，，…，，则a2025的值为 　 　 ．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．分解因式：
（1）2x2﹣8
（2）（x+2）（x+4）+1
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）
19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC．
（1）画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
20．为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下；
a．甲种水稻稻穗谷粒数：
170，172，176，177，178，182，184，193，196，202，
206，206，206，206，208，208，214，215，216，219
b．乙种水稻稻穗谷粒数的折线图：
c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表：
数据品种 平均数 中位数 众数
甲 196.7 m 206
乙 196.8 195 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是　 　 （填“甲”或“乙”）；
（3）单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请估计优良水稻的株数．
21．已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．
（1）利用图1证明：EF＝2BC；
（2）如图2，在三角尺平移过程中，设AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H，猜想线段AH与BE存在怎样的数量关系？并证明你的结论．
22．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 　 　 ；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
A 6a / /
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 　 　 （用含a的式子表示）．
23．如图，点D为等腰直角三角形ABC斜边AC上一动点（点D不与线段AC两端点重合），将BD绕点B顺时针方向旋转90°到BE，连接AE、EC、ED．
（1）求证：AD＝EC；
（2）若AD＝1，CD＝7，求BD的长；
（3）若AC2＝40，请直接写出AE+BE的最小值．
2024-2025学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D D A B B D D
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分）
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．解：由题意，得
x﹣2≠0，解得x≠2，
故选：C．
3．解：原式＝（x﹣2）（x+8），
故选：A．
4．解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴原式＝a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝1×32
＝9，
故选：D．
5．解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为（4+2，3﹣2），即（6，1），
故选：D．
6．解：把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）÷2＝40，则中位数是40，故A选项正确；
40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故B选项错误；
这组数据的平均数（25+30×2+40×4+50×2+60）÷10＝40.5，故C选项错误；
这组数据的极差是：60﹣25＝35，故D选项错误；
故选A．
7．解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，
解得：x＝m+3，
由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1，
则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2．
故选：B．
8．解：设设原计划平均每天修x米，实际每天铺设管道（x﹣10）米，
方程5，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间＝5天，
那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成．
故选：B．
9．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC，∠CBE，
∴∠A＝∠EBC，故D正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误
故选：D．
10．解：由题知，
BD由BP绕点B逆时针旋转60°得到，
∴BP＝BD，∠PBD＝60°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠ABD+∠ABP＝∠CBP+∠ABP，
∴∠ABD＝∠CBP．
在△BDA和△BPC中，
，
∴△BDA≌△BPC（SAS）．
故①正确．
∵BP＝BD，
∴△BDP是等腰三角形，
又∵∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形．
故②正确．
∵△BDP是等边三角形，
∴∠BDP＝60°，PD＝PB．
∵∠BPC＝150°，
∴∠ADP＝150°﹣60°＝90°．
在Rt△ADP中，
PA2＝PD2+AD2．
∵△BDA≌△BPC，
∴AD＝PC，
∴PA2＝PB2+PC2．
故③正确．
故选：D．
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11．解：依题意，得
x﹣2＝0，且x≠0，
解得，x＝2．
故答案为：2．
12．解：点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
13．解：平均数为＝（1+2+3+4+5）÷5＝3，
S2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
故答案为：2．
14．解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD，
∴∠DOB＝70°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°，
故答案为：30．
15．解：先分别表示出a2，a3，a4，a5，……，
∵a1＝x+1，
∴；
；
；
；
……，
2025÷3＝675，
∴．
故答案为：．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．解：（1）原式＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝x2+2x+4x+8+1
＝x2+6x+9
＝（x+3）2．
17．解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．解：（1）去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），
去括号得：3x﹣6+x2﹣4＝x2+2x，
移项得：3x+x2﹣x2﹣2x＝4+6，
合并同类项得：x＝10，
检验，当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝10是原方程的解；
（2）去分母得：2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
去括号得：2+x2+x＝x2﹣1，
移项得：x2+x﹣x2＝﹣1﹣2，
合并同类项得：x＝﹣3，
检验，当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
20．解：（1）将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据为206，所以这组数据的中位数为，
∴m＝204；
根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195，
∴n＝195．
故答案为：204，195；
（2）根据整理出的数据可得，乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定，
故答案为：乙；
（3）甲的水稻优良率为：，
乙的水稻优良率为：，
若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株，
则甲的优良水稻有4000×55%＝2200（株），
乙的优良水稻有4000×40%＝1600（株），
∴共有（株）．
答：优良水稻株数为3800株．
21．（1）证明：由题意得，∠F＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CAF＝∠F＝30°，
∴CA＝CF，
∴BC＝CF，
∴EF＝2BC；
（2）解：AH＝BE，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠CHF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CHF＝∠F，
∴CF＝CH，
∵EF＝2BC，
∴BE+CF＝BC，
又∵AC＝AH+CH，AC＝BC，
∴AH＝BE．
22．解：（1）水中的杂质含量为，
∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ，
故答案为：．
（2）①方案C水中杂质含量：，第二次过滤后水中杂质含量：；
②，
∵a＞0，
∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0
∴，
同理可得：，
∴，
∴方案C的最终过滤效果最好；
（3）将第一次净水材料用量定为3a时，第二次过滤后水中杂质含量为；
将第一次净水材料用量定为2a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为4a时相同；
将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为5a时相同；
∵在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，
同理，可得0，
∴将第一次净水材料用量定为3a时，其最终过滤效果最好，
∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a．
故答案为：3a．
23．（1）证明：∵将BD绕点B顺时针方向旋转90°到BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB+BCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE2＝72+12＝50，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝2BD2＝50
∴BD＝5；
（3）解：由（2）知，∠BCE＝45°，
则点E在直线CE上运动，
作点B关于CE的对称点B'，连接AB'，交GC于E，此时AE+BE最小，
∵AC2＝40，
∴AB2＝BG2＝GB'2＝20，
∴AG2＝（2AB）2＝80，
在Rt△AGB'中，由勾股定理得，AB'2＝AG2+B'G2＝80+20＝100，
∴AB'＝10，
∴AE+BE的最小值为10．
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