必修一第五章三角函数单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第五章三角函数单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．若函数的图象（部分）如图所示，则的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数 在区间 为单调递减函数，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．下列结论正确的是（　　）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．
D．若角的终边过点，则
10．函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则对函数的描述正确的是（　　）
A．为函数的一个递增区间
B．为函数的一条对称轴
C．为函数的一个对称点
D．函数的最小正周期为
11．已知，，且，下面选项正确的是（　　）
A． B．或
C． D．
三、填空题(共3题；共15分)
12．若，则　 　．
13．如图 ，终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合为　 　．
14． 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为　 　
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
16．函数 的部分图象如图所示：
（1）求图中a，b的值及函数 的递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
17．已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
18．广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.
（1）求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值.
19．已知函数 （ ， ）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .
（1）当 时，求 的单调递减区间；
（2）将函数 的图象沿 轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象.当 时，求函数 的值域.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为是与关于y轴对称的一个角，所以与的终边相同，
即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定角与角的关系．
2．【答案】D
【解析】【解答】函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得图象的解析式为，
把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是，.
故答案为：D
【分析】利用三角函数图象变换依次列式求解作答.
3．【答案】D
【解析】【解答】
原式
故答案为：D
【分析】根据三角函数的诱导公式与三角函数中两角差的余弦公式即可得到答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，
则，可得，
所以．
故答案为：B.
【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式运算求解．
5．【答案】C
【解析】【解答】∵，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值 。
6．【答案】A
【解析】【解答】设函数的最小正周期为，因为，所以由图象可知：，即，
又因为函数过，所以有，
因为，所以令，得，即，
故答案为：A
【分析】根据正弦型函数最小正周期公式，结合代入法进行求解即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合特殊值对应的角的正切值，再利用两角差的正切公式，进而得出 的值 。
8．【答案】C
【解析】【解答】f（x）=cos（2ωx+ ），
由2kπ≤2ωx+ ≤2kπ+π，k∈Z，
得 ﹣ ≤x≤ + ，即函数的单调递减区间为[ ﹣ ， + ]，k∈Z，
若f（x）在区间[ ]内单调递减，
则满足 得 ，
同时 ≥ ﹣ = ，则 ≥ ，则ω≤3
当k=0时，0＜ω≤ ，
当k=1时，不等式无解，
故ω的最大值为 ，
故答案为：C．
【分析】根据函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
9．【答案】B,D
【解析】【解答】A选项，是第二象限角，A不符合题意；
B选项，扇形的半径为，面积为，B符合题意；
C选项，，，C不符合题意．
D选项，，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、扇形的弧长公式和扇形的面积公式、诱导公式、余弦函数的定义，进而找出正确的结论。
10．【答案】A,B,C,D
【解析】【解答】由图可得函数的最大值为1，即；
，所以，即；
又因为，，所以，所以
将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得，
把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得，
令，解得，
易知时，为函数的一个递增区间，A符合题意；
由于，所以为函数的一条对称轴，B符合题意；
由于，所以为函数的一个对称点，C符合题意；
由于，即函数的最小正周期为，D符合题意；
故答案为：ABCD.
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由，，可得，
，
，
解得或.
，，经检验，当时，，不合题意，
，
此时，，.
A项正确，B项错误，CD项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据，列出方程求得的值，得到，，结合选项，即可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以原式，
故答案为： 4.
【分析】用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.
13．【答案】 .
【解析】【解答】∵由图象可知：
以OM为终边的角为 ，
以ON终边的角为 ，
∴阴影部分（含边界）时所有角的集合为 .
【分析】依图象可分别求得以OM和ON为终边的所有角，进而求得阴影部分（含边界）时所有角的集合．
14．【答案】
【解析】【解答】 设扇形的圆心角为，圆的半径为，则，，
，解得.
故答案为：
【分析】根据扇形面积公式，直接代入计算.
15．【答案】（1）解：由，两边平方得：
，即，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以，
所以，
；
（3）解：
【解析】【分析】(1)根据题意由同角三角函数的基本关系式以及二倍角的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(3)根据题意 由二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
16．【答案】（1）解：由图可得 ， ，则 ， ，
，
，则 ，
则 ， ， ，
，
， ，
令 ，解得 ，
的递增区间为
（2）解： ，即 ，
， ，
或 ，则 或
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件就可求出函数的周期，结合函数的周期公式即可计算出的值，再由点的坐标代入到函数的解析式即可求出由此求出函数的解析式；然后由特殊值法代入计算出a与b的值，结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调递增区间。
(2)首先已知条件把数值代入计算出，再由角的取值范围利用整体思想即可得出的取值范围，由此即可求出 或 ，进而得到答案。
17．【答案】（1）解：由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点列出不等式求解即可；
（2）根据（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解单调区间即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系，
由题意可设
因为摩天轮的最高点距地面 ，最低点距地面 ，
所以 解得 ，
又函数周期为t，可得 ，所以 .
又 时， ，所以 ，即 可取 ，
所以 （ ，t为参数）
（2）解：依题意，可知 ，即 ，
不妨取第一圈，可得 ，
所以持续时间为 ，即 ，所以t的最小值为15
【解析】【分析】（1） 以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系， 再利用已知条件结合余弦型函数的实际应用，进而求出小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式。
（2）利用（1）求出求出的小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式结合余弦型函数的图象，进而解绝对值不等式求出满足要求的实数t的取值范围，从而求出t的最小值。
19．【答案】（1）解：由题意可得： ，
因为相邻量对称轴间的距离为 ，所以 ， ，
因为函数为奇函数，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，函数
∵∴
要使 单调减，需满足 ，
所以函数的减区间为
（2）解：由题意可得：
∵ ，∴
∴ ，∴
即函数 的值域为 .
【解析】【分析】（1）先由题意可得 ， ， ，得到函数 ，再利用正弦函数的单调性，即可得结果；
（2） 先由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到 ，再利用正弦函数的性质，即可求出值域.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (31.6%)
2 容易 (47.4%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角函数诱导公式二~六 5.0(3.3%) 3
2 终边相同的角 10.0(6.7%) 1,13
3 正弦函数的性质 34.0(22.7%) 10,16,19
4 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 53.0(35.3%) 2,10,16,17,19
5 任意角三角函数的定义 6.0(4.0%) 9
6 同角三角函数间的基本关系 26.0(17.3%) 4,15
7 三角函数模型的简单应用 14.0(9.3%) 18
8 两角和与差的余弦公式 5.0(3.3%) 3
9 正切函数的图象与性质 14.0(9.3%) 17
10 余弦函数的性质 5.0(3.3%) 8
11 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 58.0(38.7%) 2,6,10,16,17,19
12 正弦函数的图象 6.0(4.0%) 10
13 两角和与差的正切公式 5.0(3.3%) 7
14 同角三角函数基本关系的运用 11.0(7.3%) 4,11
15 象限角、轴线角 11.0(7.3%) 1,9
16 运用诱导公式化简求值 16.0(10.7%) 5,9,12
17 扇形的弧长与面积 11.0(7.3%) 9,14
18 二倍角的正弦公式 21.0(14.0%) 15
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