2024-2025学年山东省淄博市高青县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市高青县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（4分）若反比例函数y在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1
2．（4分）如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）如图，在正方形网格纸中有格点A，B，C，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
5．（4分）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　　）
A．3 B．﹣6 C．6 D．﹣3
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
8．（4分）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
9．（4分）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　）
（参考数据：，，
A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
10．（4分）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，n），则n的值为 　 　 ．
12．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 　 　 ．
13．（4分）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是 　 　 米．
14．（4分）如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 　 　 ．
15．（4分）如图，反比例函数y的图象与△ABC的两边AB、BC分别交于点E（3，m）、F（n，2），已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为BC的中点，则m+n＝ 　 　 ．
三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。）
16．计算：
（1）sin60°+cos245°﹣sin30° tan60°；
（2）2tan45°．
17．反比例函数y与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（m，2）．
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式．
18．已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）．
（1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
（2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值．
19．如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
20．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示．
（1）将水从20℃加热到100℃需要 　 　 min．
（2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式．
（3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
21．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？
22．如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．
2024-2025学年山东省淄博市高青县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C B D A A A C
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．解：∵反比例函数y在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故选：C．
2．解：从左边看去，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：C．
3．解：如图，连接CD，
则∠ADC＝45°+45°＝90°，
∵CD，AD2，
∴tan∠BAC，
故选：D．
4．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
5．解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝3，
而S△OAB|k|，
∴3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：B．
6．解：∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠ACB＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴，
∵AN＝3，AM＝4，
∴，
设AC＝3k，AB＝4k，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∴．
故选：D．
7．解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
8．解：根据电压＝电流×电阻，设，
将点（4，9）代入得，解得U＝36，
∴；
若该电路的最小电阻值为1Ω，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
9．解：由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，
设BD＝CN＝x m，
∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m，
在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，
∴AM＝EM tan45°＝（x+5）m，
在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，
∴AN＝CN tan53°x（m），
∵AM+BM＝AN+BN＝AB，
∴x+5+1.8x+1.5，
解得：x＝15.9，
∴ANx＝21.2（m），
∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m），
∴电子厂AB的高度约为22.7m，
故选：A．
10．解：∵由图象可知二次函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∴二次函数的对称轴为，
∴，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵由图象可知二次函数y＝|ax2+bx+c|与y轴的交点为（0，3），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，﹣3），
∴c＝﹣3，故②错误；
∵由图象可知二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a＞0，b＜0，
又∵c＝﹣3，
∴abc＞0，故③正确；
∵将点（﹣1，0）和（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∵当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∴图象上当﹣1＜x＜3时，函数顶点的坐标为（1，4），
∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为（1，5），如图所示：
∴此时，直线y＝5与函数图象有3个交点，故④正确，
综上：正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．解：将点A（1，2）代入，得：k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B（﹣1，n）代入，得：﹣1×n＝2，
解得：n＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴当x＜﹣2或x＞4时，y＞0．
故答案为：x＜﹣2或x＞4．
13．解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝20（米），
又∵∠ABD＝90°，
∴ABAD＝10（米），
∴树的高度为10米．
故答案为：10．
14．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．
设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0），
把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：yx2，
则C（0，）．
∴这个门洞内部顶端离地面的距离为m，
故答案为：m．
15．解：过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H，
∵点F的坐标为（n，2），
∴FG＝2，
∵FG⊥x轴，BH⊥x轴，
∴FG∥BH，
又∵点F为BC的中点，
∴FG为△CBH的中位线，
∴BH＝2FG＝4，
∵AB∥x轴，
∴点E的纵坐标为4，
即：点E的坐标为（3，4），
∴m＝4，
将点E（3，4）代入，得：k＝12，
∴反比例函数的解析式为：，
将点F（n，2）代入，得：n＝6，
∴m+n＝10．
三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。）
16解：（1）原式（）2
；
（2）原式＝2×12×（）2
＝2﹣2﹣2
＝2﹣2
＝0．
17．解：（1）将点A（m，2）代入y＝2x﹣4得：
2m﹣4＝2，
解得：m＝3，
∴点A的坐标为（3，2）；
（2）将点A（3，2）代入y得：k＝6，
∴反比例函数解析式为y．
18．解：（1）△＝a2﹣8（a﹣3）＝a2﹣8a+24＝a2﹣8a+16+8＝（a﹣4）2+8＞0，
则不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
（2）把（3，0）代入抛物线得9﹣3a+2（a﹣3）＝0，
解得：a＝3．
19．解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，
设BM＝5a（米），AM＝12a（米），
∴（5a）2+（12a）2＝132，
∴a＝1，
∴BM＝DF＝5米，
则坡顶B的高度是5米；
（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°，
解得x＝22，
∴CF＝（6+2）米，
∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，
答：DC的长度为（11+2）米．
20．解：（1）∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为4（min），
故答案为：4；
（2）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y，
由题意得，点（4，100）在反比例函数y的图象上，
∴100，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y；
（3）在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，40，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．
21．解：（1）由题意得：y＝xx2+20x，
自变量x的取值范围是0＜x≤25；
（2）yx2+20x
（x﹣20）2+200，
∵20＜25，
∴当x＝20时，y有最大值200平方米
即当x＝20时，满足条件的绿化带面积最大．
22．（1）把点A（，4）代入y中，得：n4＝6，
∴反比例函数的解析式为y，
将点B（3，m）代入y得m2；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（，4），B（3，2）代入得，
解得
∴直线AB的表达式为yx+6，
∴D点的坐标为（0，6），
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD6×36，
设E点的坐标为（0，a），
∵S△AOB＝S△EOB，
∴|a|×3，
解得：|a|＝3，
∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
（3）不等式kx+b的解集是x＜0或x＜3．
23．解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴B（3，0）；
（2）设BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t）2，
t时，PM最大，
此时点M坐标（，）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（，0），
∴CN，CQ，
NQ，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2＝NQ2
即（）2+（m2﹣6m+10），解得：m，
此时点Q坐标为（1，），
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2＝CN2，
即（m2﹣6m+10）（）2，解得：m1，m2，
此时点Q坐标为（1，）或（1，），
③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2＝CQ2，
即（）2（m2﹣6m+10），解得：m，
此时点Q坐标为（1，），
综上所述，点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
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