2024-2025学年山东省淄博市临淄区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含答案)

2024-2025学年山东省淄博市临淄区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．）
1．（4分）下列选项中，y不是x函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）反比例函数的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（4分）对于二次函数y＝﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象与y轴交点坐标是（0，6）
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是直线x＝1
5．（4分）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
，显示屏显示的结果为88.44300900将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（　　），
A．36.79°的正切函数值约为88.4
B．正切函数值为36.79的角约是88°4′
C．36°79′的正切函数值约为88.4
D．正切函数值为36.79的角约是88.4°
6．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，向上平移4个单位，再关于y轴对称后，得到的抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）
8．（4分）已知函数y，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax2+3x﹣b＝0的根的情况是（　　）
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，则△ADO的面积为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为　 　 ．
12．（4分）若函数y是反比例函数，则k＝　 　 ．
13．（4分）如图，直线与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，﹣2），两点，如果，那么x的取值范围是　 　 ．
14．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝　 　 ．
15．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　 ．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（10分）计算．
（1）tan45°﹣（1﹣π）0+4cos30°；
（2）|1|sin60°﹣tan30°．
17．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画一个以AB为直角边的直角△ABC，且△ABC为轴对称图形；
（2）画一个面积为8的△ABD，且；
（3）请直接写出∠CAD的正弦值．
18．（10分）已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为常数）．
（1）若k＝1，当0≤x≤1时，求二次函数的最小值；
（2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出k的值：如果不存在，请说明理由．
19．（10分）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
20．（12分）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）函数y的自变量x的取值范围是　 　 ；
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …
y … m 0 ﹣1 3 2 …
则m的值为　 　 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质　 　 ；
（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　 ；
21．（12分）第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+900．
（1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．
（2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
（3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．
22．（13分）如图，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与反比例函数的图象交于点B，C（﹣6，c）．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
2024-2025学年山东省淄博市临淄区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B D C A B C A
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．）
1．解：A、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
B、自变量x每取一个值，y有两个值和它对应，
∴y不是x函数，该选项符合题意；
C、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
D、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
故选：B．
2．解：对于，
∵k＝﹣3＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，
故选：B．
3．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，
∴设BC＝1，则AC＝2，故AB，
则sinB．
故选：C．
4．解：A、y＝﹣2（x﹣1）（x+3），
∵a＝﹣2＜0，
∴图象的开口向下，故本选项错误；
B、y＝﹣2（x﹣1）（x+3）
＝﹣2x2﹣4x+6，
当x＝0时，y＝6，
即图象与y轴的交点坐标是（0，6），故本选项正确；
C、y＝﹣2（x﹣1）（x+3）＝﹣2（x+1）2+8，
即当x＞﹣1，y随x的增大而减少，故本选项错误；
D、y＝﹣2（x﹣1）（x+3）＝﹣2（x+1）2+8，
即图象的对称轴是直线x＝﹣1，故本选项错误．
故选：B．
5．解：显示屏显示的结果为88.44300900将这个数据精确到0.1后，
该计算结果为正切函数值为36.79的角约是88.4°，
故选：D．
6．解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；
当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D错误；
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝x2向右平移3个单位，向上平移4个单位后顶点坐标为（3，4），
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴关于y轴对称后的抛物线的顶点坐标是（﹣3，4），
故选：A．
8．解：∵函数y，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴ab＞0，
对于方程ax2+3x﹣b＝0，
∵a≠0，
∴方程ax2+3x﹣b＝0是一元二次方程，
∴Δ＝32﹣4 a （﹣b）＝9+4ab＞0，
∴方程ax2+3x﹣b＝0有两个不相等的实数根，设它两实数根分别为x1，x2，
∴x1 x20，
∴方程ax2+3x﹣b＝0有两个异号的实数根．
故选：B．
9．解：∵对称轴x，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x，
∴ab，
∴b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
10．解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点A、B是反比例函数图象上的两点，且AC⊥x轴于C，BE⊥x轴于点E，
∴S△AOC＝S△BOE4＝2，
∵D为OB的中点，
∴OD＝BDOB，
又∵AC∥BE，
∴△OCD∽△OEB，
∴（）2，
即，
∴S△OCD，
∴S△AOD＝S△AOC﹣S△OCD
＝2
＝1.5，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．解：∵Rt△ABC中，BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，
∴BC：AC＝1：，
∴AC BC＝6（米），
∴AB12（米）
故答案为12米．
12．解：若函数y是反比例函数，
则，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．解：由题意可得：，
∴，
∴直线的解析式为．
∵过直线，
∴，
∴n＝4，
∴，
当x＜﹣1或x＞4时，．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
14．解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°，
同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60° aa，
∴ADa，
∴sin（α+β）．
故答案为：．
15．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为b＜﹣1．
故答案为：b＜﹣1．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（1）tan45°﹣（1﹣π）0+4cos30°
1﹣1+43
1+23
＝﹣1；
（2）|1|sin60°﹣tan30°
1
．
17．解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△ABD即为所求．
（3）连接CD，
由勾股定理得，AC，
∴sin∠CAD．
∴∠CAD的正弦值为．
18．解：（1）将k＝1代入二次函数表达式：，
∴当时，y取最小值．
（2）令y＝0，得3x2﹣（3+k）x+k＝0，
则，，
∴，
∵两个交点之间的距离为3，点A在点B的左侧，
∴x2﹣x1＝3，
∴，
解得k＝12或k＝﹣6，
∴存在，k的值为12或﹣6．
19．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC，cos∠DAC，
∴CD＝AC sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC cos37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD，
∴BD30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B两点之间的距离约为94米．
20．解：（1）∵x﹣3≠0，
∴x≠3；
（2）当x＝﹣1时，y；
（3）如图所示：
（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当3＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．
∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．
故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．
21．解：（1）由题意每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：y＝﹣10x+900，
根据利润＝每件的利润×销售数量得：
W＝（﹣10x+900）（x﹣50）＝﹣10（x﹣90）（x﹣50），
∵W＝﹣10（x﹣90）（x﹣50）；
（2）由（1）得W＝﹣10（x﹣90）（x﹣50）＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴销售单价定为每件70元时，所得月利润最大，最大月利润为4000元；
（3）由（1）得W＝﹣10（x﹣90）（x﹣50），
当W＝3000时，即﹣10（x﹣90）（x﹣50）＝3000，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得：x1＝60，x2＝80，
∵a＝﹣10，
∴抛物线开口向下，
∵获得的月利润不低于3000元，
∴60≤x≤80，
∵销售单价不得超过75元，
∴60≤x≤75．
22．解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝kx＝2，解得：，
则一次函数的表达式为：yx+2①，
把x＝﹣6代入一次函数表达式得：c（﹣6）+2＝﹣1，
则点C（﹣6，﹣1）代入反比例函数表达式得：m＝（﹣1）×（﹣6）＝6，
则反比例函数的表达式为：y②，
联立①②得：x+2，
解得：x＝2或﹣6，
即点B（2，3）；
（2）从图象看，当时，直接写出x的取值范围为：x≥2或﹣6≤x＜0；
（3）存在，理由：
过点A作AP⊥AB交y轴于点N，如图，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO，则tan∠OAN＝2，
故直线AP的表达式为：y＝﹣2（x+4）③，
联立②③得：2（x+4），
解得：x＝﹣1或﹣3，
则点P的坐标为：（﹣1，﹣6）或（﹣3，﹣2）．
23．解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），
则Q点坐标为（x，﹣x+3），
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）
＝﹣x2+2x+3+x﹣3
＝﹣x2+3x
＝﹣（x）2，
∴PQ的最大值是；
（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，
∴OF：DF＝3：2，
过点D作DG∥y轴交BC于点G，
∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，
∴△COF∽△GDF，
∴，
∵OC＝3，
∴DG＝2，
设点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点G坐标为（m，﹣m+3），
∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）．
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