2024-2025学年山东省淄博市沂源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市沂源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）已知反比例函数y的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　）
A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
2．（4分）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论不正确的是（　　）
A．c sinA＝a B．c cosB＝b C．b tanA＝a D．a tanB＝b
4．（4分）如图，sinα，则cosβ等于（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）二次函数y＝﹣x2+ax﹣b的图象如图所示，点（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）若点P1（﹣1，y1）和P2（﹣2，y2）是反比例函数（k为常数）图象上的两点，则y1和y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．不能确定
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB，则锐角A满足（　　）
A．0°＜A＜30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A＜90°
8．（4分）如图，等边△ABO的顶点O与原点重合，点A的坐标是（﹣4，0），点B在第二象限，反比例函数y的图象经过点B，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OBCA是平行四边形，sin∠AOB，反比例函数y（m＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，若点F为BC的中点，且△AOF的面积为12，则m的值为（　　）
A．16 B．24 C．36 D．48
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
11．（4分）函数的值总为正，则x的取值范围是　 　 ．
12．（4分）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 　 　 ．
13．（4分）如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为 　 　 km．
14．（4分）如图，抛物线y＝ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B、C，则线段BC的长为　 　 ．
15．（4分）如图，点A（﹣2，4），B都是反比例函数在第二象限的图象上的点，且∠BOA＝45°，则点B的坐标为　 　 ．
三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（10分）如图，在△ABC中，sinB，tanC，BC＝3．求AC的长．
18．（10分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
19．（10分）在某联合舰队反潜演习中，军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方900m的反滑直升机B测得潜艇C的俯角为60°，试求出潜艇C离开海面的下沉深度．
20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数y的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
22．（13分）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）请直接写出此抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠CAP＝∠ACB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2024-2025学年山东省淄博市沂源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A A B C D C A
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．解：∵反比例函数y的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6，
A、∵（﹣6）×1＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
B、∵1×6＝6，∴此点在反比例函数图象上；
C、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
D、∵3×（﹣2）＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．
故选：B．
2．解：当x＞0时，y随x的增大而减小的是，
故选：B．
3．解：由a2+b2＝c2，得∠C＝90°，
A、sin A，故A正确；
B、cos，故B错误；
C、tanA，故C正确；
D、tanB，故D正确；
故选：B．
4．解：∵sinα，α+β＝90°，
∴cosβ＝cos（90°﹣α）＝sinα．
故选：A．
5．解：∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴0，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣b）点，
由图知该点在x轴下方，
∴﹣b＜0，
∴b＞0，
∴（a，b）在第一象限．
故选：A．
6．解：∵﹣k2＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，
∵P1（﹣1，y1）和P2（﹣2，y2）在第二象限，﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2，
故选：B．
7．解：∵tan30°0.58，
tan45°＝1，
tanB，
∴30°＜B＜45°，
∴45°＜A＜60°．
故选：C．
8．解：∵△ABO为等边三角形，且点A的坐标是（﹣4，0），
∴点B的坐标为（﹣2，2），
∵反比例函数y的图象经过点B，
∴k＝﹣2×24．
故选：D．
9．解：①根据对称轴为x＝1，即1，2a+b＝0，①正确；
②x＝﹣2时，y＜0，4a﹣2b+c＜0，②正确；
③把（﹣1，0）代入函数表达式得：a﹣b+c＝0，而2a+b＝0，
故3a+c＝0，故③错误；
④根据函数的对称性，当x1+x2＝2，则y1＝y2，
故当x1+x2＞2时，则y1＞y2，正确；
故选：C．
10．解：作AM⊥OB于M，FN⊥OB于N．设OA＝5a．
∵sin∠AOM，
∴AM＝4k，OM＝3k，m＝12k2，
∵四边形OACB是平行四边形，F是BC的中点，
∴FN＝2k，ON＝6k，
∵S△AOM＝S△OFN，S四边形OAFN＝S梯形AMNF+S△AOM＝S△AOF+S△OFN，
∴S梯形AMNF＝S△AOF＝12，
∴（4k+2k） 3k＝12，
∴k2，
∴m＝12k2＝16，
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
11．解：∵函数的值总为正，
∴x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
12．解：由题意可得：sh＝3×2×1，
则s．
故答案为：s．
13．解：如图，过点A作AD⊥OB于点D，
则∠ADB＝∠ADO＝90°，
由题意可知，∠AOB＝90°﹣45°＝45°，AB＝15km，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AD，
∴OAAD，
在Rt△AOD中，∠B＝180°﹣45°﹣90°﹣15°＝30°，
∴ADABkm，
∴OAkm，
即观测站O距港口A的距离为km，
故答案为：．
14．解：∵抛物线y＝ax2+1与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，1）．
当y＝1时，4x2＝1，
解得x＝±，
∴B点坐标为（，1），C点坐标为（，1），
∴BC（）＝1，
故答案为：1．
15．解：如下图所示，作AE⊥BO于点E，过E作ED⊥x轴，过A作AC⊥CD于点C，
∵∠BOA＝45°，从而可得∠EAO＝ 45°，
∴AE＝OE，
∵∠CAE+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEO＝90°，
∴∠CAE ＝∠DEO，
在Rt△ACE和Rt△EDO中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△EDO（AAS）
∴AC＝ED，CE＝DO，
因为A（﹣2，4），则反比例函数中比例系数k＝﹣2×4＝﹣8，
设点E坐标为（a，b），
则，解得：，
故E（﹣3，1），
则直线OE解析式为y，
联立，可得x（正值舍去），
故x，从而可得y，
即点B坐标为（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（1）
；
（2）
．
17．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设AD为x，
在Rt△ABD中，sinB，
∴AB＝3AD＝3x，
∴BDx，
在Rt△ACD中，tanC，
∴CDAD，
∵BD+CD＝BC，
∴x3，
解得：x＝1，
∴AD＝1，CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC．
18．解：（1）由题意可得：100＝vt，
则v（t＞0）；
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则v20，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
19．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，
根据题意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝60°，
设AD＝x，则BD＝BA+AD＝1000+x，
在Rt△ACD中，CDx，
在Rt△BCD中，BD＝CD tan60°，
∴900+xx tan60°
解得：x＝450．
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为450米．
20．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），
∴AB＝1+2＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴Bc＝3，
∴C（3，﹣2），
把C（3，﹣2）代入y得k＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y，
把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）解方程组得或，
∴M点的坐标为（﹣2，3）；
（3）∵一次函数的值与反比例函数的图象的两个交点是M（﹣2，3），C（3，﹣2），
∴由图象可知，x的取值范围是x＜﹣2或0＜＜3．
21．解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x）＝a（x2x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（，﹣2）；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
设P（x，x22），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA4×（x﹣2﹣x2x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．
22．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2；
（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴PP′＝1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积＝1×2＝2，
∴阴影部分的面积＝2．
23．解：（1）y＝﹣x2+3x+4；理由如下：
由A（4，0），可知OA＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，OB＝1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；
（2）在抛物线上存在点P，使得∠CAP＝∠ACB；理由如下：
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠ACB＞45°，
若点P在AC上方的抛物线上，∠CAP＝∠ACB＞45°，∠OAP＞0°，
此时AP与AC上方的抛物线没有交点，
故点P在AC上方的抛物线上时不满足题意．
当点P在AC下方的抛物线上时，如图1，AP与y轴交于点E，
∵∠CAP＝∠ACB，
∴∠OAE+∠OAC＝∠BCO+∠OCA，即∠OAE＝∠BCO，
在△BOC与△EOA中，
，
∴△BOC≌△EOA（ASA），
∴OE＝OB＝1，
∴E（0，﹣1），A（4，0），
∴过A、E两点的一次函数为，点P为过A、E两点的一次函数与抛物线的交点，
∴，即4x2﹣11x﹣20＝0，
解得，
当时，，
∴；
（3）存在点P，使得△ACP是直角三角形；P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）或或；理由如下：
分三种情况讨论：
①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M．如图2，
∵∠ACP1＝90°，
∴∠MCP1+∠ACO＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP1＝∠OAC．
∵OA＝OC，
∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，
∴∠MCP1＝∠MP1C，
∴MC＝MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），则m＝﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1＝0（舍去），m2＝2．
∴﹣m2+3m+4＝6，即P（2，6）；
②当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图1，
∴P2N∥x轴，
∵∠CAO＝45°，
∴∠OAP＝45°，
∴∠FP2N＝45°，AO＝OF，
∴P2N＝NF．
设P2（n，﹣n2+3n+4），
∴n＝（﹣n2+3n+4）+4，
解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去），
∴﹣n2+3n+4＝﹣6，
∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）；
③当点P为直角顶点时：
当点P在AP上方的抛物线上时，如图3，过点P作y轴的垂线，垂足为点M，过点A作x轴的垂线，交MP的延长线于点N，
∵∠MPC＝∠NAP，∠CMP＝∠PNA＝90°，
∴△CMP∽△PNA，
设P（m，﹣m2+3m+4），CM＝﹣m2+3m，PM＝m，PN＝4﹣m，AN＝﹣m2+3m+4，，即，
∴，
∴，
∴（m+1）（3﹣m）＝1，m2﹣2m﹣2＝0，
解得x1，x2＝1（舍去），
将代入y＝﹣x2+3x+4得；
当点P在AP下方的抛物线上时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点N，过点C作NP的垂线，交NP的延长线于点M，
∵∠MPC＝∠NAP，∠CMP＝∠PNA＝90°，
∴△CMP∽△PNA，
设P（m，﹣m2+3m+4），CM＝﹣m，PM＝m2﹣3m，PN＝﹣m2+3m+4，AN＝4﹣m，，即，
∴，
∴，
∴（m+1）（m﹣3）＝﹣1，m2﹣2m﹣2＝0，
解得x1（舍去），
x2＝1，将x＝1代入y＝﹣x2+3x+4得：
y＝3，P（1，3．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）或（1，3）或（1，3）．
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