人教A版（2019）必修第一册4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
人教A版
n次方根与
分数指数幂
第四章 指数 4.1.1
高中数学 · 必修一
学习目标
理解次方根、根式与分数指数幂的概念；
通过对有理数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程；
掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；
掌握有理数指数幂的运算性质.
核心素养
数学抽象
n次方根、根式与分数指数幂的概念；
逻辑推理
分数指数幂的运算性质；
数学运算
分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值.
课程导入
初中已经学过整数指数幂. 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长关于面积的函数记作. 像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？
下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.
Part 01
n次方根的 概念及其性质
问题探究
如果 ，那么 叫做 的平方根.
如果 ，那么 叫做 的立方根.
举例
，则就是的平方根.
，则就是的立方根.
，则就是的4次方根.
，则就是的5次方根.
次方根的概念与性质
如何理解次方根的概念？
定义
（1）的次方根满足 ，因此求的次方根就是求一个数，使得它的次方等于.
（2）次方根，实际上就是平方根与立方根的推广.
（3）次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算.
一般地，如果，那么叫做的次方根.
（其中，且）.
次方根的概念与性质
一个正数有个平方根，分别为，它们互为相反数，其中，为的算术平方根；
零的平方根只有个，为；
负数没有平方根.
任意实数均有唯一立方根，为.
知识回顾
次方根的概念与性质
， ，
当是奇数时，
正数的次方根是一个正数，
负数的次方根是一个负数.
1
的 次方根用符号 表示.
，，
举例
性质
次方根的概念与性质
， ，
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.
2
正的 次方根用符号 表示，
负的 次方根用符号 表示.
，，
举例
两者合并写成 .
次方根的概念与性质
负数没有偶次方根.
3
的任何次方根都是，记作.
4
为什么负数没有偶次方根？
因为任何实数的偶次方根是非负数.
即负数的偶次方根无意义.
根式的概念与性质
式子 叫做根式.
叫做根指数， 叫做被开方数.
定义
根据次方根的意义，可得
，.
举例
根式的概念与性质
表示的次方根， 一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
，
，
举例说明
由此可见，不一定成立.
根式的概念与性质
性质
当为奇数时， ；
1
当为偶数时，
2
辨析比较
与区别
是实数的次方根，是一个恒有意义的式子，不受的奇偶限制，但这个式子的值受的奇偶限制.
1
2
其算法是对先乘方，再开方（都是次），结果不一定等于.
是实数的次方根的次幂，其中实数的取值由的奇偶决定.
其算法是对先开方，再乘方（都是次），结果恒等于.
例题解析
例1
求下列各式的值：
（1）； （2） ； （3）； （4） .
解：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）
跟踪训练
1、已知，下列各式总能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
A显然是错的；
B中，∵ ，∴ B一定成立；
C和D中， ∵ ， ∴ ，故C和D错误.
跟踪训练
2、求下列各式的值：
（1）； （2）
【解析】
（1） ∵ ，∴
当为偶数时， ，
当为奇数时， ，
综上可知，
（2） ∵，∴
∴
Part 02
分数指数幂
问题探究
整数指数幂的意义
知识回顾
（2）
（3）
（1）
个
0的正整数次幂等于0，0的0次幂和负整数次幂没有意义.
正整数指数幂
负整数指数幂
问题探究
根据次方根的定义和数的运算，我们知道
当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
问题探究
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
为了使整数指数幂的运算性质，如仍然成立，根式可以表示为分数指数幂的形式，
例如，把 等写成下列形式：
分数指数幂的意义
正数的正分数指数幂的意义是
规定
正数的负分数指数幂的意义是
例如，
0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.
类比负整数指数幂
类比0的整数指数幂
有理数指数幂
规定了分数指数幂的概念之后，指数幂的概念实现了由整数向有理数扩充.
整数指数幂 分数指数幂 正整数 指数幂 正数的正分数指数幂
负整数 指数幂 正数的负分数指数幂
零数幂 零的分数指数幂
个
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
整数
扩充
有理数
问题探究
分数指数能约分吗？
分数指数幂是根式的一种表示形式，即，分数指数不能随意约分，约分后可能改变根式有意义的条件.
如 约分后为，而在实数范围内是无意义的.
Part 03
有理数指数幂的运算性质
问题探究
整数指数幂的运算性质
知识回顾
有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质.
（1）
（2）
（3）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方，底数不变，指数相乘
积的乘方，等于因数乘方的积
补充说明
（1）有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质：
①
②
（2）有理数指数幂的几个常见结论：
① 当 时，；
④ 乘法公式仍适用于分数指数幂.
② 当 时，，而当时， 无意义；
③ 若 (，且)，则；
例题解析
例2
求值：
（1） ； （2） .
解：
（1）
（2）
例题解析
例3
用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中):
（1） ； （2） .
解：
（1）
（2）
当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由内向外用分数指数幂依次写出.
例题解析
例4
计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）； （2）；
（3） .
解：
（1）
例题解析
（3）
（2）
补充说明
先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数（较大的整数分解质因数）化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行运算，达到化简和求值的目的.
对于幂和根式化简的一般原则
补充说明
① 如果要化简的式子全是根式形式，那么结果用根式表示；否则，结果用分数指数幂表示；
② 结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂；
③ 结果为最简形式.
对于幂和根式化简结果的要求
跟踪训练
1、下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是 （填序号）
②
【解析】
① 当时， ，，故①错误；
① ； ② ；
③
② ，故②正确；
③ ，故③错误；
跟踪训练
2、若化简： .
【解析】
由，得
跟踪训练
3、化简：
【解析】
Part 04
小结及
随堂练习
课堂小结
次方根与分数指数幂
次方根
根式
分数指数幂
有理数指数幂的运算性质
（，且）
性质
性质
意义
随堂练习
1、已知 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】
∵ ，∴ 是的次方根.
又∵ 是偶数，∴ 的次方根有两个，且互为相反数.
∴
随堂练习
2、下列各式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
随堂练习
3、设，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
因为，所以 ，
所以
随堂练习
4、计算下列各式
（1）
（2）
随堂练习
【解析】
（1）
（2）