人教A版（2019）必修第一册 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
人教A版
无理数指数幂及其运算性质
第四章 指数 4.1.2
高中数学 · 必修一
知识回顾
次方根与分数指数幂
次方根
根式
分数指数幂
有理数指数幂的运算性质
（，且）
性质
性质
意义
学习目标
类比用有理数逼近无理数体会从“数”与“形”的两个角度，了解由有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，渗透逼近思想和极限思想；
掌握实数指数幂的运算性质.
核心素养
数学抽象
无理数指数幂的意义；
逻辑推理
实数指数幂和根式之间的互化；
数学运算
利用实数指数幂的运算性质化简求值.
课程导入
前面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数. 那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
Part 01
无理数指数幂的意义
知识回顾
问题探究
实数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数
无限循环小数
无限不循环小数
问题探究
按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值.
不足近似值
按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1，这样就得到一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值.
过剩近似值
舍而不进
进一而舍
通过实例来理解
问题探究
求实际上是找出一个正数，使，但我们知道，任何有理数的平方不可能等于，所以只能求出的范围.
如果不用计算器，我们如何估算的值呢？
因为 ，所以；
你能不能得到 更精确的范围呢？
因为 ，所以.
问题探究
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
即 .
范围跨度太大，还是无法达到要求
问题探究
应该如何设计靠近 的方式呢？
设一列数都小于，的第一个值为，之后第二个值为两位小数，第三个值为三位小数，…，即每次增加一位小数，而且，总是在同位数的小数中最接近且小于的那一个.
如此设计，的第二个值应该在中产生. 那到底是哪个最接近且小于的呢？
所以最接近且小于的是，而则是最接近且大于的.
则的第二个值应该是.
问题探究
的第三个值应该在中产生. 那到底是哪个最接近且小于的呢？
则的第三个值应该是.
… …
问题探究
由此，我们就能产生一列从小于的方向逐渐逼近的数：
而且，
可见他们与的差是在逐渐缩小趋近于的.
我们将这一串数叫做的不足近似值.
问题探究
用同样的方法，我们可以制定取的过剩近似值的标准：
设一列数都小于，的第一个值为，之后第二个值为两位小数，第三个值为三位小数，…，即每次增加一位小数，而且，总是在同位数的小数中最接近且大于的那一个.
经计算，我们可以得到一列从大于的方向逐渐逼近的数：
我们将这一串数叫做的过剩近似值.
问题探究
观察下表的数据：
2
… … … …
问题探究
这个差值就是我们常说的的近似值的精确度，如果我们需要一个精确到的的近似值，就可以用.
我们可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，我们也就得到了精度越来越高的的近似值，这样一直计算下去，我们就可以得到任何精确度的的近似值.
问题探究
根据的不足近似值和过剩近似值，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
问题探究
… … … …
9.5182696935793924494807364405955 11.180339887498948482045868343656
9.6726997289298909157148018555995 9.8296353284833498685989391987417
9.735171039199290689515350220999 9.750851807780722165356472080651
9.738305174262712562680479269411 9.7398726201497020809702151415861
9.738461907499474362171954735887 9.738618643258780594831713600835
9.738508927962397219240198707003 9.738524601500489249719963117556
9.738516764728290036176669346446 9.738518332082225366994386182963
9.738517705140620963960988361860 9.738517861876018280880906834757
9.738517736487700225540259851413 9.738517752161239894168278992536
问题探究
可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时， 和都趋向于同一个数，这个数就是. 也就是说， 是一串逐渐增大的有理数指数幂，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.
问题探究
参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？
可以参考以上用有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法，得出也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应.
结论
一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数.
这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
实数指数幂是一个确定的实数.
前提条件
结论
为何在指数幂中，要限定这个条件呢？
这是为了保证后续的指数函数对于任意实数都有意义.
因为只有正数的任何实数次幂才都有意义，如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果底数是负数，指数为 ，仍然没有意义. 因此我们限定这个条件.
Part 02
实数指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，均有下面的运算性质.
（1）
（2）
（3）
跟踪训练
1、求值：
【解析】
跟踪训练
2、已知，
【解析】
（1）已知，
（1）求 的值；
（2）求 的值；
则 ，
又由 ，得，
所以 .
跟踪训练
（2）由，
可得，
所以 .
又由
即 .
补充说明
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
解决条件求值问题的一般方法
Part 03
小结及
随堂练习
课堂小结
无理数指数幂及其运算性质
用有理数指数幂逼近无理数指数幂
实数指数幂的运算性质
随堂练习
1、设，且，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】
∵ ，， ∴ ，
∴
又∵ ，∴
∴ 或（舍去）.
随堂练习
2、计算下列各式
（1）
（2）
随堂练习
【解析】
（1）
（2）