人教A版（2019）必修第一册 4.2.1 指数函数的概念 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
人教A版
高中数学 · 必修一
指数函数的概念
第四章 指数 4.2.1
知识回顾
无理数指数幂及其运算性质
用有理数指数幂逼近无理数指数幂
实数指数幂的运算性质
学习目标
通过具体实例，了解指数函数的实际意义；
理解指数函数的概念.
01
02
核心素养
【数学抽象】
指数函数的概念；
【逻辑推理】
用待定系数法求函数解析式及解析值；
【数学运算】
利用指数函数的概念求参数；
【数学建模】
能建立指数型函数模型解决简单的实际问题，体会指数函数在解决实际问题中的作用.
课程导入
对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数.
上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.
下面继续研究其他类型的基本初等函数.
01
指数函数的概念
问题探究
问题1
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票. 下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
问题探究
时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1244 126
问题探究
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
能否作出A，B两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？
追问
01
观察表格，可以发现，A地景区的游客人次的年增加量大致相等(约为10万次)，而B地景区的游客人次的年增加量则越来越大，但从年增加量难以看出变化规律.
问题探究
A地景区
B地景区
观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），而B地景区的游客人次则是非线性增长，但从图象仍难以看出变化规律.
问题探究
我们发现，用“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律，能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？
追问
02
，
，
.
B地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数.
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. 因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.
问题探究
能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况？
追问
03
1年后，游客人次是2001年的倍；
2年后，游客人次是2001年的倍；
3年后，游客人次是2001年的倍；
年后，游客人次是2001年的倍.
如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么
①
这是一个函数，其中指数是自变量.
问题探究
问题2
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
问题探究
能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？
追问
01
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为；
死亡2年后，生物体内碳14含量为；
死亡3年后，生物体内碳14含量为；
死亡5730年后，生物体内碳14含量为.
问题探究
根据已知条件， ，从而，所以.
设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即
②
这也是一个函数，指数是自变量.
问题探究
生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是多少？
追问
02
死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减.
像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减. 因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
常数
问题探究
比较问题1，2中的两个实例：B地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征？
它们的变化率(增长率、衰减率)是常数.
从游客人次增长和碳14衰减的数据看，它们的变化有什么共同特征？
追问
01
B地景区的游客人次的年增长率都约为，
死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减.
问题探究
如果用字母代替底数和，那么上述两个函数解析式都可以表示为的形式.
从函数解析式来看，它们有什么共同特征？
追问
02
① ，
②
其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数.
其中指数是自变量，定义域是.
指数函数的概念
为什么规定底数？
若，则当时，；当时， 无意义.
若，则对于的某些数值，可使无意义. 如，对于…，函数值不存在.
若，则对任意的，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况的发生，规定，且. 有此规定后，对任意的， 都有意义，且.
1
2
3
指数函数的概念
指数函数的结构特征：
指数为自变量
底数为常数
系数为1
指数函数的概念
指数函数与幂函数的区别：
幂函数：
指数函数：
两者的解析式虽然都是幂的形式，但不同之处在于：
指数函数的自变量是幂指数，幂底数为常数；
幂函数的自变量是幂底数，幂指数为常数.
例题解析
例1
已知指数函数，且，求，， 的值.
分析：
要求，， 的值，应先求出的解析式，即先求的值. 而已知，可由此求出的值.
解：
因为，且，则 ，解得 . 于是
所以， ， .
例题解析
例2
（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
例题解析
解：
（1）设经过年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则
利用计算工具可得，
当时，.
当时，.
结合右图可知：
当时，，
当时，.
当时，.
例题解析
这说明，在2001年，游客给A地带来的收人比B地多412000万元；
随后10年，虽然，但的增长速度大于.
根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；
此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；
由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.
当时，.
当时，.
当时，.
例题解析
（2）设生物死亡年后，它体内碳14含量为.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
当时，利用计算工具求得
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约.
例题解析
在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则
形如的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
02
小结及随堂练习
课堂小结
一般地，函数叫做指数函数.
其中指数是自变量，定义域是.
指数函数的概念
课堂小结
指数函数的结构特征：
指数为自变量
底数为常数
系数为1
随堂练习
1、（多选）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
由指数函数定义知形如叫作指数函数，是幂函数，故A不是；是与的乘积也不是指数函数，故B不是；和是指数函数.
CD
随堂练习
2、随着我国经济的不断发展，2019年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为（ ）
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
【解析】
B
设经过年，该地区的农民人均年收入为元，根据题意可得
从2019到2025年共经过了6年，故答案为元.
随堂练习
3、若函数是指数函数，则实数
【解析】
由是指数函数，
2
可得 ，解得 .
随堂练习
4、有关部门计划于2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？
随堂练习
【解析】
设 年后，该市投入了 辆电力型公交车，则
该市在2025年投入的电力型公交车数量为
即 （辆）
故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车.