人教A版（2019）必修第一册 4.2.2 指数函数的图象和性质 课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
人教A版
高中数学 · 必修一
指数函数的图象与性质
第四章 指数 4.2.2
知识回顾
一般地，函数叫做指数函数.
其中指数是自变量，定义域是.
指数函数的概念
知识回顾
指数函数的结构特征：
指数为自变量
底数为常数
系数为1
学习目标
能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
通过指数函数的研究，进一步体会函数研究的基本方法；
01
02
运用指数函数模型，解决简单的实际问题.
03
核心素养
【数学抽象】
指数函数的图像与性质；
【逻辑推理】
类比法学习指数函数性质；
【数学运算】
运用指数函数性质解决问题；
【数学建模】
在实际问题中建立指数函数模型.
课程导入
前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质. 回顾以往的研究经验，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法是什么？
先画出具体函数的图象，然后通过观察、比较不同函数的图象，最后归纳它们共同的特征.
研究函数的一般方法：
概念一图象一性质
01
指数函数的图象和性质
问题探究
先从简单的函数开始.
请同学们完成的对应值表，并用描点法画出函数的图象.
描点法取值应注意什么呢？
利用描点法画图象，取值时要注意代表性，即根据定义域的分布确定，如，可兼顾正负与对称原则.
描点法的步骤：列表→描点→连线.
问题探究
x y
-2
-1.5 0.35
-1
-0.5 0.71
0
0.5 1.41
1
1.5 2.83
2
0.25
0.5
1
2
4
描点
连线
问题探究
观察函数的图象有什么特点？你认为可以从哪些方面进行观察？你能发现函数的哪些性质？
观察函数的图象位置、变化趋势，你能概括出的定义域、值域、奇偶性和单调性吗？
追问
01
问题探究
不具有
增函数
定义域
值域
奇偶性
单调性
问题探究
画出函数的图象，观察该图象有什么特点？
不具有
减函数
定义域
值域
奇偶性
单调性
问题探究
将函数的图象，与函数的图象进行比较，它们有什么关系？ 能否利用函数的图象，画出函数的图象？
追问
01
因为 ，
点与点关于轴对称，
所以函数图象上任意一点关于轴的对称点都在函数的图象上. 反之亦然.
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
问题探究
根据函数和得出的结论，可将指数函数的图象按底数的取值，分为和两种类型进行研究.
请画出函数、的图象，与函数的图象进行比较，观察图象位置、公共点、变化趋势、定义域、值域和单调性，它们有哪些共性？
当时
1
问题探究
增函数
增函数
定义域
值域
单调性
公共点
问题探究
定义域
值域
单调性
增函数
公共点
增函数
增函数
问题探究
请画出函数、的图象，与函数的图象进行比较，概括它们的性质.
当时
2
问题探究
减函数
减函数
定义域
值域
单调性
公共点
问题探究
定义域
值域
单调性
减函数
公共点
减函数
减函数
问题探究
比较指数函数的图象和性质，看它们有什么区别与联系？
问题探究
(0，1)
当时，为增函数；
定义域
值域
公共点
单调性
当时，为减函数.
问题探究
下面借助信息技术来画图，观察和时指数函数的图象和性质是否和上述结论一致呢？
指数函数的图象和性质
图象
定义域 值域 性质
减函数
增函数
过定点，即时，
指数函数的图象和性质
当时，；
当时，；
当时，.
当时，；
当时，；
当时，.
函数值的变化情况
对称性
函数与的图象关于轴对称.
奇偶性
非奇非偶函数.
拓展提升
画出下列函数的图象，并说明它们是由函数图象经过怎样的变换得到的.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：
（1）函数的图象是由图象向右平移1个单位长度得到的.
（2）函数的图象是由图象向上平移1个单位长度得到的.
拓展提升
（3）函数的图象是由位于轴上及轴右边的图象和其关于轴对称的图象组成.
（4）函数的图象是由图象先向下平移1个单位长度，然后将其轴下方的图象翻折到轴上方得到的.
拓展提升
，平移变换的动态演示
拓展提升
指数函数图像的基本变换
平移变换
图象
向左平移个单位长度
的图象
向右平移个单位长度
向上平移个单位长度
向下平移个单位长度
的图象
的图象
的图象
拓展提升
对称变换的动态演示
拓展提升
指数函数图像的基本变换
对称变换
图象
关于x轴对称
的图象
关于y轴对称
关于原点对称
的图象
的图象
拓展提升
翻折变换的动态演示
拓展提升
指数函数图像的基本变换
翻折变换
图象
保留y轴右侧的图象，并作其关于y轴的对称图形
的图象
图象
保留x轴上方的图象，并x轴下方图象翻折到x轴上方
的图象
02
指数函数单调性的应用
例题解析
例3
比较下列各题中两个值的大小：
分析：
（1）（2）底数相同，指数不同，所以可将要比较的两个值看作一个指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性进行比较.
（1），；
（2），；
（3），；
解：
（1）和可看作函数当分别取和时所对应的两个函数值.
因为底数，所以指数函数是增函数.
因为，所以 .
（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.
因为，所以 .
例题解析
分析：
对于（3），两个值的底数不同，指数也不同，所以不能采用刚才的方法进行比较.
可以利用函数和的单调性，以及“时，” 这条性质把它们联系起来.
（3）由指数函数的性质知
所以 .
解题方法
指数幂的大小比较问题的三种类型及解法
底数相同，指数不同：
利用指数函数的单调性判断大小.
底数不同，指数相同：
利用幂函数的单调性判断大小.
（也可借助指数函数的图象判断大小）
底数不同，指数不同：
一般借助中间值（0，1等）判断大小.
跟踪训练
比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
解：
（1）因为，所以指数函数 是减函数.
又 ，所以.
（2）方法一：
在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象.
当时，由图象观察可得.
跟踪训练
方法二：
构造幂函数 ，则该函数是减函数.
又 ，所以
（3）因为，所以指数函数 与是减函数，
且在区间上函数的图象在函数的图象的下方，
所以.
又因为指数函数 是减函数，可得 ，
所以 .
03
指数函数的应用
例题解析
例4
如图，某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
翻一番是什么意思？
翻一番
翻两番
翻三番
翻n番
例题解析
分析：
（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
解：
（1）观察右图，
发现该城市人口经过20年约为10万人，
经过40年约为20万人，
即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，
所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
例题解析
分析：
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
（2）因为倍增期为20年，
所以每经过20年，人口将翻一番.
因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
04
小结及随堂练习
课堂小结
图象
定义域 值域 性质
减函数
增函数
过定点，即时，
指数函数的图象和性质
课堂小结
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
函数值的变化情况
对称性
函数与的图象关于轴对称.
奇偶性
非奇非偶函数
课堂小结
指数函数图像的基本变换
平移变换
图象
向左平移个单位长度
的图象
向右平移个单位长度
向上平移个单位长度
向下平移个单位长度
的图象
的图象
的图象
课堂小结
对称变换
图象
关于x轴对称
的图象
关于y轴对称
关于原点对称
的图象
的图象
翻折变换
图象
保留y轴右侧的图象，并作其关于y轴的对称图形
的图象
图象
保留x轴上方的图象，并x轴下方图象翻折到x轴上方
的图象
随堂练习
1、已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
∵ 增函数， ， ，
C
∴ ，即
随堂练习
2、函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
D
从曲线的变化趋势，可知函数为减函数，则
从曲线的位置看，的图象是由函数图象向左平移长度得到的，所以即.
随堂练习
3、 若，则的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
【解析】
∵ ，且 增函数，
D
∴ ， ∴ .
随堂练习
4、 已知函数
（1）求此函数的定义域，值域.
（2）确定函数的单调区间.
【解析】
（1）定义域为R，
∵ ，
∴ ，
∴ 函数的值域为.
随堂练习
（2）令 ，
则 .
∵ ，∴ 为减函数，
又∵ 在上单调递减，在上单调递增.
∴ 函数的单调递增区间为，单调递减区间为.