人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3 等比数列的前n项和公式 教案
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3 等比数列的前n项和公式 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1016.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 22:16:07 | ||
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文档简介
课题：等比数列的前n项和
教材：人教A版2019年选择性必修第二册第四章第三节
内容解析 内容本质：等比数列定义的代数变形
内容解析：既是特殊函数，又是后续研究微积分问题能力的有力工具，起到承上启下的作用。
蕴含的思想方法：归纳推理，分类讨论。
育人价值：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算。
学情分析 认知基础：1.经历了探索等差数列通项公式，求和公式以及等比数列通项公式的过程，积累了特殊数列求和的研究经验。2.初步具备了从函数与方程的角度看待数列问题的思维习惯。认知困难：1.等比数列的前n项和公式导出。2.“倒序相加法”和“错位相减法”思维方法不同，容易产生知识的负迁移。
重点难点 教学重点：等比数列前n项和公式的导出及其应用。重点突出策略：“趣”设情境，激发兴趣；“巧”搭阶梯，逐步递进；“重”在思考，深入理解；“用”于生活，形成结构。
教学难点：用错位相减法推导等比数列前n项和公式。难点突破策略：1.“归纳猜想→推理论证→行程结构→应用迁移”等活动过程。 2.通过问题串层层深入。
目标达成 目标设置：1.能够导出等比数列前n项和模型。2.能够推导等比数列前n项和公式。3.能够应用公式解决简单问题。
目标达成：1.能够从情境中抽象并建立等比数列前n项的数学模型； 2.能够理解错位和相减的意义，并能够推导公式； 3.能够运用公式解决具体的，简单的问题。
教学资源 数学史短剧，中国古代诗词：激发学生学习兴趣和探究欲望。PPT教学课件。手机拍摄，实物投影：及时传输学生书写内容，丰富互动方式，激发学生的成就感。
教学组织 认知过程：猜想公式→推导公式→分析公式→应用公式——突出教学重点，突破教学难点。
学生活动：归纳猜想→推理论证→内化认知→应用迁移——认知暗线
教师活动：引导归纳→点拨释疑→补充完善→总结提升——活动明线
以本节课为载体，提炼公式课教学的一般路径，站在上号一节课的角度去体会如何上好一类课，进而上号一门课。
教学方法 问题探索法及启发式讲授法
教学过程：
一、复习回顾
回顾等比数列定义，通项公式。
（1）等比数列定义：（，
（2）等比数列通项公式：
（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。
根据等差数列的定义
（1）
（2）
（1）+（2）得：
二、情境引入
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”：国王舍罕王，宰相达依尔（国际象棋发明者）。
问题1:如何计算（观察法，图形法）
引出课题:等比数列的前n项和。
三、问题探讨
问题2：一般化：
n 1 2 3 4 5 …… n
1 3 7 15 31 ？
问题3：首相是1，公比是q等比数列的前n项和
=？（数学猜想，特殊值检验）
特殊值特征研究：
n 1 2 3 4 5 …… n
1 11 111 1111 11111 ？
公式猜想：=
等比数列前n项公式：
一般地，首相为，公比为q的等比数列前n项和
=
如何推导证明？
学生活动：理解公式推导的过程
建议同学们阅读教材P34-P35，如何求一个等比数列前n项和的相关内容。
学生活动讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：
由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。
所以将这一特点应用在前n项和上。
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
（1）
（2）
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
当q=1时，
当时，
问题4：等比数列前n项和公式的推导步骤是什么？
第一步:两边同乘以q，书写要错开；
第二步：两式相减，提取公因式；
第三步：化简，注意两边能否同时除以。
问题5：是不是两边只能同时乘以q，能不能乘以其他数？
方式1：两边同乘以，过程如下：
（1）
（2）
（1）-（2）可得：
方式2：两边同乘以，过程如下：
（1）
（2）
（1）-（2）可得：
选择乘以哪个数的标准：运算简洁明了。
回归情境：
以1000粒40g为标准，超过7000亿吨。
①以2023年世界粮食年产量26.28亿吨为标准，需要连续种植270年。
②全世界人口80亿计算，每人每天吃1kg为标准，可以连续吃240年。
③堆到一起，可以堆成长10米，宽8米，高从地球到太阳的距离的举行长方形柱体。
总结：指数爆炸式增长的威力。
四.对比教学
1.等差数列求和公式 倒序相加法
本质利用等差数列定义
2.等比数列求和公式 错位相减法
本质利用等比数列定义
五、例题精讲
例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.
例2.我国明代数学家程大位所著《算术统宗》记载：
远望魏巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
翻译：已知等比数列中，
.例3（教材P35例7）.已知数列是等比数列.
总结：等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，，五个量中“知三求二”（方程思想）。
例4．已知等比数列的首项为，前n项和为，若
总结：等比数列前n项和公式中，q的分类讨论。
六、课堂小结
1、等比数列的前n项和公式：
当q=1时， （特殊情况）
当时，
2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。
3、数学思想：从特殊到一，分类讨论，归纳猜想。
七、课后作业
基础题：课本P37 练习1,3,4,5
提高题：1.课本P37 练习2 2.求和
探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？
八、板书设计
高斯用首尾相加法来消项
高斯
欧拉用错位相减法来消项
欧拉
4.3.2等比数列的前n项和
公式： 例1 例2
特征 例3 例4
教材：人教A版2019年选择性必修第二册第四章第三节
内容解析 内容本质：等比数列定义的代数变形
内容解析：既是特殊函数，又是后续研究微积分问题能力的有力工具，起到承上启下的作用。
蕴含的思想方法：归纳推理，分类讨论。
育人价值：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算。
学情分析 认知基础：1.经历了探索等差数列通项公式，求和公式以及等比数列通项公式的过程，积累了特殊数列求和的研究经验。2.初步具备了从函数与方程的角度看待数列问题的思维习惯。认知困难：1.等比数列的前n项和公式导出。2.“倒序相加法”和“错位相减法”思维方法不同，容易产生知识的负迁移。
重点难点 教学重点：等比数列前n项和公式的导出及其应用。重点突出策略：“趣”设情境，激发兴趣；“巧”搭阶梯，逐步递进；“重”在思考，深入理解；“用”于生活，形成结构。
教学难点：用错位相减法推导等比数列前n项和公式。难点突破策略：1.“归纳猜想→推理论证→行程结构→应用迁移”等活动过程。 2.通过问题串层层深入。
目标达成 目标设置：1.能够导出等比数列前n项和模型。2.能够推导等比数列前n项和公式。3.能够应用公式解决简单问题。
目标达成：1.能够从情境中抽象并建立等比数列前n项的数学模型； 2.能够理解错位和相减的意义，并能够推导公式； 3.能够运用公式解决具体的，简单的问题。
教学资源 数学史短剧，中国古代诗词：激发学生学习兴趣和探究欲望。PPT教学课件。手机拍摄，实物投影：及时传输学生书写内容，丰富互动方式，激发学生的成就感。
教学组织 认知过程：猜想公式→推导公式→分析公式→应用公式——突出教学重点，突破教学难点。
学生活动：归纳猜想→推理论证→内化认知→应用迁移——认知暗线
教师活动：引导归纳→点拨释疑→补充完善→总结提升——活动明线
以本节课为载体，提炼公式课教学的一般路径，站在上号一节课的角度去体会如何上好一类课，进而上号一门课。
教学方法 问题探索法及启发式讲授法
教学过程：
一、复习回顾
回顾等比数列定义，通项公式。
（1）等比数列定义：（，
（2）等比数列通项公式：
（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。
根据等差数列的定义
（1）
（2）
（1）+（2）得：
二、情境引入
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”：国王舍罕王，宰相达依尔（国际象棋发明者）。
问题1:如何计算（观察法，图形法）
引出课题:等比数列的前n项和。
三、问题探讨
问题2：一般化：
n 1 2 3 4 5 …… n
1 3 7 15 31 ？
问题3：首相是1，公比是q等比数列的前n项和
=？（数学猜想，特殊值检验）
特殊值特征研究：
n 1 2 3 4 5 …… n
1 11 111 1111 11111 ？
公式猜想：=
等比数列前n项公式：
一般地，首相为，公比为q的等比数列前n项和
=
如何推导证明？
学生活动：理解公式推导的过程
建议同学们阅读教材P34-P35，如何求一个等比数列前n项和的相关内容。
学生活动讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：
由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。
所以将这一特点应用在前n项和上。
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
（1）
（2）
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
当q=1时，
当时，
问题4：等比数列前n项和公式的推导步骤是什么？
第一步:两边同乘以q，书写要错开；
第二步：两式相减，提取公因式；
第三步：化简，注意两边能否同时除以。
问题5：是不是两边只能同时乘以q，能不能乘以其他数？
方式1：两边同乘以，过程如下：
（1）
（2）
（1）-（2）可得：
方式2：两边同乘以，过程如下：
（1）
（2）
（1）-（2）可得：
选择乘以哪个数的标准：运算简洁明了。
回归情境：
以1000粒40g为标准，超过7000亿吨。
①以2023年世界粮食年产量26.28亿吨为标准，需要连续种植270年。
②全世界人口80亿计算，每人每天吃1kg为标准，可以连续吃240年。
③堆到一起，可以堆成长10米，宽8米，高从地球到太阳的距离的举行长方形柱体。
总结：指数爆炸式增长的威力。
四.对比教学
1.等差数列求和公式 倒序相加法
本质利用等差数列定义
2.等比数列求和公式 错位相减法
本质利用等比数列定义
五、例题精讲
例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.
例2.我国明代数学家程大位所著《算术统宗》记载：
远望魏巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
翻译：已知等比数列中，
.例3（教材P35例7）.已知数列是等比数列.
总结：等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，，五个量中“知三求二”（方程思想）。
例4．已知等比数列的首项为，前n项和为，若
总结：等比数列前n项和公式中，q的分类讨论。
六、课堂小结
1、等比数列的前n项和公式：
当q=1时， （特殊情况）
当时，
2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。
3、数学思想：从特殊到一，分类讨论，归纳猜想。
七、课后作业
基础题：课本P37 练习1,3,4,5
提高题：1.课本P37 练习2 2.求和
探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？
八、板书设计
高斯用首尾相加法来消项
高斯
欧拉用错位相减法来消项
欧拉
4.3.2等比数列的前n项和
公式： 例1 例2
特征 例3 例4