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第七章 复数（10题型清单）
知识点1：复数的概念
（1）复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（2）复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
知识点2：复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
知识点3：复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
知识点4：复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
知识点5：共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
知识点8：()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
知识点9：复数代数形式的乘、除法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
知识点10：共轭复数的性质
设，（）
①；②为实数；③且为纯虚数
④；⑤，，
题型一 复数的有关概念
例题1：（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A． B． C．2 D．3
例题2：（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（ ）
A．若C，则的充要条件是
B．(R)是纯虚数
C．没有平方根
D．当时，复数是纯虚数
例题3：（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？
巩固训练
1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．或6
2．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数是实数，则实数a的值为 .
题型二 复数的相等
例题1：（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题2：（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ .
例题3：（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是 ．
巩固训练
1．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， .
3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值.
题型三 复数比较大小
例题1：（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 .
例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围.
巩固训练
1．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
2．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ．
3．（23-24高二上·贵州黔东南·期中）已知，，且，则实数 ．
题型四 复数分类
例题1：（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题3：（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数，
(1)当 z是虚数，求的取值范围；
(2)当z是纯虚数，求的取值．
例题4：（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，复数，当为何值时；
(1)是纯虚数；
(2)？
巩固训练
1．（24-25高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．
3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数是纯虚数，则复数的虚部是 .
4．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时，
(1)是实数；
(2)是虚数；
(3)是纯虚数．
题型五 复数的模
例题1：（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
例题2：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则 .
例题3：（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 .
巩固训练
1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 .
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 .
3．（23-24高一下·海南海口·期末）复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 .
题型六 复数模的最值问题
例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题2：（24-25高三上·上海闵行·期中）若复数满足（为虚数单位），则的取值范围是 ．
例题3：（2024·江西景德镇·三模）设为复数，若，则的最大值为 .
巩固训练
1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
2．（23-24高一下·山东·期中）已知复数是虚数单位，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ．
题型七 复数的四则运算
例题1：（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
例题2：（24-25高三上·云南·阶段练习）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
例题3：（2024·河南·模拟预测）若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
例题4：（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数 的共轭复数为 ，则 .
巩固训练
1．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习），则（ ）
A． B． C． D．
题型八 共轭复数
例题1：（24-25高三上·黑龙江·期末）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例题2：（2024·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （ ）
A． B． C． D．
例题3：（多选）（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C． D．可能为纯虚数
例题4：（成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题），若与关于复平面虚轴对称，则 ．
巩固训练
1．（23-24高二上·山东·开学考试）设，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）设为虚数单位，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型九 待定系数法求复数
例题1：（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
例题2：（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）复数方程解的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例题3：（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 .
巩固训练
1．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知复数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·上海浦东新·期中）复数满足，则的实部为 ．
3．（2024·江西新余·模拟预测）请写出一个非0复数满足： .
试卷第42页，共43页
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第七章 复数（10题型清单）
知识点1：复数的概念
（1）复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（2）复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
知识点2：复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
知识点3：复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
知识点4：复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
知识点5：共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
知识点8：()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
知识点9：复数代数形式的乘、除法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
知识点10：共轭复数的性质
设，（）
①；②为实数；③且为纯虚数
④；⑤，，
题型一 复数的有关概念
例题1：（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】复数的基本概念、根据相等条件求参数
【分析】由题意得，解方程即可
【详解】因为的实部与虚部相等，
所以，解得，
故选：C.
例题2：（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（ ）
A．若C，则的充要条件是
B．(R)是纯虚数
C．没有平方根
D．当时，复数是纯虚数
【答案】BD
【知识点】判断命题的必要不充分条件、对数的运算、虚数单位i及其性质、复数的基本概念
【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C.
【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误；
对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确；
对于C，的平方根为，C错误；
对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确.
故选：BD
例题3：（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？
【答案】不存在
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念
【分析】根据纯虚数定义列出关系式求解.
【详解】由是纯虚数，
得，解得.
即不存在实数，使是纯虚数．
巩固训练
1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．或6
【答案】B
【知识点】复数的相等
【分析】根据复数相等联立方程求得的值.
【详解】由得，即，
根据复数相等的充要条件可得，解得.
故选：B.
2．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的基本概念
【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可.
【详解】复数为纯虚数，则，
解得，或，
所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数，
故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件，
故选：B
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数是实数，则实数a的值为 .
【答案】-1
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据复数的类型求参即可.
【详解】因为是实数，
所以且式子有意义，
所以.
故答案为：.
题型二 复数的相等
例题1：（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的相等
【分析】利用复数相等求解即可.
【详解】
又，根据复数的相等，
故则
故选：B.
例题2：（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ .
【答案】
【知识点】复数的相等、求复数的模
【分析】由得，然后按复数模计算即可.
【详解】由题意，，
所以.
所以.
故答案为：.
例题3：（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】复数的相等、求含sinx（型）的二次式的最值
【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得.
【详解】由，得，
消去并整理得，
显然，当时，，当时，，
所以λ的取值范围是.
故答案为：
巩固训练
1．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】A
【知识点】复数的相等
【分析】根据复数相等求解即可.
【详解】依题意，得，解得，
所以.
故选：A
2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， .
【答案】 1
【知识点】复数的相等
【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案.
【详解】由题意，得，解得，
故答案为：1；-1
3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值.
【答案】
【知识点】复数的相等
【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可.
【详解】由，
得，
所以解得
题型三 复数比较大小
例题1：（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】由题意，
故为实数
或
故选：A
例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 .
【答案】0
【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算
【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可.
【详解】由z1>z2，得，
即，解得.
故答案为：0
例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围.
【答案】.
【知识点】根据相等条件求参数
【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可.
【详解】因为为实数，所以，
所以，，所以，
因为，所以.
因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以，可解得.
即z的实部的取值范围为.
巩固训练
1．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【知识点】复数的分类及辨析
【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或．
故选：C
2．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ．
【答案】6
【知识点】复数的基本概念
【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解.
【详解】由题意，即，解得.
故答案为：6
3．（23-24高二上·贵州黔东南·期中）已知，，且，则实数 ．
【答案】－2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据可以判断，均为实数得出，再根据不等式限制取值范围即可
【详解】由题意知，均为实数，则，即或．又，则，则，故．
故答案为：－2
题型四 复数分类
例题1：（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】探求命题为真的充要条件、复数的分类及辨析
【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断．
【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立，
当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立，
“”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件．
故选：C．
例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、判断命题的必要不充分条件
【分析】根据纯虚数的概念及充分条件、必要条件的判断方法求解判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若复数为纯虚数，则，解得，
所以“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
例题3：（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数，
(1)当 z是虚数，求的取值范围；
(2)当z是纯虚数，求的取值．
【答案】(1)且，且
(2)
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】这两问都是根据复数的特征，列出关于实部和虚部的方程或不等式，即可求解.
【详解】（1）若是虚数，则且，
所以且且；
（2）若是纯虚数，则，
解得：.
例题4：（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，复数，当为何值时；
(1)是纯虚数；
(2)？
【答案】(1)或
(2)
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等
【分析】（1）根据实部为0，虚部不为零可求参数的值；
（2）利用复数相等的条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得参数的值.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴,解得或，
∴当或时，是纯虚数.
（2）∵，∴，解得，
∴故时，.
巩固训练
1．（24-25高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解.
【详解】由题意可知，，，
得，根据选项可知，只有满足条件.
故选：C
2．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可.
【详解】因为是纯虚数，所以，解得：，
故选：C
3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数是纯虚数，则复数的虚部是 .
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据纯虚数的定义即可求出．
【详解】若是纯虚数，则且，解得．
故答案为： 2．
4．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时，
(1)是实数；
(2)是虚数；
(3)是纯虚数．
【答案】(1)或
(2)且且
(3)
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解；
（2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案；
（3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或，
所以或时，复数为实数.
（2）因为为虚数，则，解得且且，
所以且且时，复数为纯虚数.
（3）因为为纯虚数，则，解得，
所以时，复数为纯虚数.
题型五 复数的模
例题1：（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求复数的模
【分析】由复数的模长公式及即可求解；
【详解】由可得，所以.
故选：B
例题2：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则 .
【答案】1
【知识点】求复数的模
【分析】求出复数，即可得出.
【详解】由题意，
在中，，
，
故答案为：1.
例题3：（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 .
【答案】
【知识点】由复数模求参数
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得.
【详解】设，则，即有，
解得，所以.
故答案为：
巩固训练
1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 .
【答案】8
【知识点】求复数的模
【分析】根据复数的几何意义再由向量的三角不等式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以的最大值为8.
故答案为：8
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由复数模求参数
【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式.
【详解】则解得
故答案为：
3．（23-24高一下·海南海口·期末）复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 .
【答案】
【知识点】由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】根据复数的几何意义得到，再根据复数的模计算可得.
【详解】复数（）在复平面上对应的点在第四象限，
所以，又，解得（舍去）或.
故答案为：
题型六 复数模的最值问题
例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】辅助角公式、求复数的模、利用平方关系求参数
【分析】由复数的模长，同角的三角函数，辅助角公式计算即可；
【详解】由题意可得，①
，
由，
所以①的最大值为，
故选：D.
例题2：（24-25高三上·上海闵行·期中）若复数满足（为虚数单位），则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求复数的模
【分析】设，由已知等式模长关系得到，再结合二次函数的性质计算即可；
【详解】设，则，
所以，解得，
所以，
所以的取值范围是为.
故答案为：.
例题3：（2024·江西景德镇·三模）设为复数，若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值.
【详解】设，
则，又，
所以，
所以，即
所以，
所以.
故答案为：.
巩固训练
1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】求复数的模
【分析】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值.
【详解】设，则，得
，
所以，化简得，
所以，
所以
，当时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
2．（23-24高一下·山东·期中）已知复数是虚数单位，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】辅助角公式、求复数的模、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】由复数的模长计算结合同角的三角函数和辅助角公式计算可得.
【详解】由已知可得，
所以，
当时，上式模长取得最小值，
最小值为，
故选：B.
3．（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】求复数的模
【分析】由复数的模长公式结合二次函数的最值求出结果即可.
【详解】，
当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型七 复数的四则运算
例题1：（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先根据条件，结合复数的除法运算求出复数，再求模长即可.
【详解】由，得，
所以．
故选：C．
例题2：（24-25高三上·云南·阶段练习）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算
【分析】设出复数，利用复数的乘方运算求出复数，再求出共轭复数，再计算除法即可.
【详解】设，则
又，得到，
所以，所以或，得到，
所以.
故选：B.
例题3：（2024·河南·模拟预测）若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】将原式变形，由复数的除法运算可得，再由复数的模的运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：.
例题4：（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数 的共轭复数为 ，则 .
【答案】
【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的性质及模的定义与性质运算得解.
【详解】，
故答案为：
巩固训练
1．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数运算法则求，再根据共轭复数的定义求，再根据复数的几何意义求结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以复数在复平面上对应的点的坐标为，
复数在复平面上对应的点位于第四象限.
故选：D.
2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】首先将已知等式进行化简求出，再求出的共轭复数即可.
【详解】已知，等式两边同时乘以得到.
将右边展开，移项可得，即.
且.所以.则
故选：C.
3．（24-25高二上·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据虚部的概念求解即可.
【详解】由题意得，，
∴的虚部为.
故选：C.
4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由比例性质得出，再由复数除法得结论．
【详解】由得，，
所以，
故选：A．
题型八 共轭复数
例题1：（24-25高三上·黑龙江·期末）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先设复数，再根据模长公式或到两个点距离相等得出，再应用除法计算即可得出复数即可得点.
【详解】解法一：设，则，
解得，则，
则在复平面内所对应的点为，位于第三象限.
解法二：设，由题意可知其在复平面内对应的点到，的距离相等，
故点位于直线上，则，
则在复平面内所对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
例题2：（2024·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求共轭复数的复数特征、求复数的模、复数的除法运算
【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解.
【详解】由，
得，
所以，即的虚部为
故选：D．
例题3：（多选）（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C． D．可能为纯虚数
【答案】AC
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的概念，建立方程方程，可得答案.
【详解】设，由，可得，
所以，解得，则，
所以的实部为的虚部为不可能为纯虚数.
故选：AC.
例题4：（成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题），若与关于复平面虚轴对称，则 ．
【答案】或或.
【知识点】共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】设，根据复数间关系即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，①
因为与关于复平面虚轴对称，
所以，②
由①②解得或，
所以当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
故答案为：或或.
巩固训练
1．（23-24高二上·山东·开学考试）设，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、求共轭复数的复数特征
【分析】
首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部.
【详解】，
则，所以的虚部为.
故选：B
2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部、求共轭复数的复数特征
【分析】利用复数除法运算法则求，然后得到，最后根据虚部的定义判断即可.
【详解】因为，所以，虚部为.
故选：D.
3．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）设为虚数单位，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【详解】，故，
故选：D
4．（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模
【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误.
【详解】设复数，且，
，A正确；
，B正确；
，
，
所以与不一定相等，C错误；
令，则，D错误．
故选：AB
题型九 待定系数法求复数
例题1：（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的相等、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设，由复数相等性质化简方程，求出，再由复数除法求结论.
【详解】设，则，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
例题2：（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）复数方程解的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设，由复数的乘方与共轭复数的概念及复数相等得到方程组，解得即可.
【详解】设，则，，
因为，即，
所以，解得或或，共4组解，
即复数方程解的个数为个.
故选：A
例题3：（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 .
【答案】1
【知识点】复数的相等、复数的乘方、求复数的模
【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得
【详解】设，由可得，
由可得，即，
则解得或，
显然不满足，应舍去，故
故答案为：1.
巩固训练
1．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知复数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算
【分析】设，根据共轭复数的概念求，结合条件关系列方程，解方程可得，由此可得结论.
【详解】设，则，
因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
2．（24-25高三上·上海浦东新·期中）复数满足，则的实部为 ．
【答案】/0.5
【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算
【分析】设，根据复数相等可得，故可求的实部.
【详解】设，∴，，
∴，则的实部为.
故答案为：.
3．（2024·江西新余·模拟预测）请写出一个非0复数满足： .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】先设复数，再根据共轭复数及复数的乘法运算得出，即可得出复数.
【详解】设，则，，
由于，所以，满足此等式即可.
故答案为：.(答案不唯一)
试卷第42页，共43页
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