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第七章 复数（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·甘肃张掖·一模）已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】由题意，根据共轭复数的定义和复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，所以，
所以复数对应的点的坐标为，位于复平面的第三象限，
故选：C.
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由，得，
所以，
所以.
故选：B.
3．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知复数为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部
【分析】利用复数的除法化简复数，再利用共轭复数和复数虚部的概念可得出结论．
【详解】由，
得，因此的虚部为．
故选：A．
4．（青海省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）若复数满足，则（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以
从而.
故选：D.
5．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件的证明、已知复数的类型求参数、复数的除法运算
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解.
【详解】复数，
当时，，复数，是纯虚数；
当复数为纯虚数时，有，解得.
则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.
故选：C
6．（2025·河北邯郸·二模）已知复数，，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】由复数的除法法则计算化简后，由复数的几何意义得结论．
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C.
7．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知i为虚数单位，实数a满足，则复数的模为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数运算求出，再根据复数模长计算公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，则，
故选：C.
8．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设，由复数的几何意义和模长公式可得，结合的范围，即可得出答案.
【详解】解析：设，则，
，
所以，
因为，所以，
所以的最大值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【知识点】求复数的模、复数的乘方、共轭复数的概念及计算、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】求出复数，结合复数模、共轭复数及乘方运算逐项计算判断得解.
【详解】由复数在复平面内对应的点为，得，
对于A，，A正确；
对于B，，则，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，即，所以，D正确.
故选：ACD
10．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第三象限
【答案】ACD
【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误.
【详解】由，得，
所以的实部为的虚部为，
在复平面内对应的点在第三象限，
故选：ACD
11．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（ ）
A． B．的虚部为 C． D．
【答案】ACD
【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数、复数的除法运算
【分析】根据复数的模计算判断A，根据复数的除法计算判断B，再由纯虚数、实数的概念判断CD.
【详解】，故A正确；
，虚部为，故B错误；
为纯虚数，，即，故C正确；
为实数，，解得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数 .
【答案】
【知识点】复数的除法运算、复数的乘方
【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算及除法运算求解即得.
【详解】复数.
故答案为：
13．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）复数是纯虚数，则 .
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式和不等式，解之即可。
【详解】因为为纯虚数，则，
解得.
故答案为：.
14．（2024·吉林长春·一模）若，则 .
【答案】
【知识点】复数的相等、复数的乘方
【分析】利用复数的运算法则求解.
【详解】由于，
则
所以，，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则；
若，则，，.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根.
(1)求的值；
(2)若是纯虚数，求实数的值和.
【答案】(1)；
(2)，.
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模、已知复数的类型求参数、复数的相等
【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解.
（2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解.
【详解】（1）由是方程的一个根，得，
整理得，因此，
所以.
（2）由（1）知，，
由是纯虚数，得，解得，则，
所以.
16．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（1）计算：；
（2）已知，求复数z．
【答案】（1）；（2）或.
【知识点】复数的相等、复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】（1）利用复数的四则运算法则计算求解即可；
（2）设，利用复数的运算、共轭复数的概念以及复数相等的性质列方程求解即可.
【详解】（1）
；
（2）设，由得，，即，
所以，解得或，
所以或.
17．（24-25高三上·上海·期中）已知复数，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影．
【答案】(1)
(2)3
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的向量表示、求投影向量
【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可；
（2）利用复数的几何意义和向量在向量上的数量投影公式计算即可.
【详解】（1），
因为是纯虚数，
所以且，
解得.
所以.
（2）由（1）可得，即，
所以，
所以向量在向量上的数量投影为.
18．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，．
(1)若，求角；
(2)复数，对应的向量分别是，，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ），（ⅱ）
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、复数的相等、复数的向量表示
【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解；
（2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围；
（ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围.
【详解】（1），，且，
，，即，，
又，故.
（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，，
，
又，则.
当时，取最大值为，当时，取最小值为，
的取值范围为；
（ⅱ），，
，
又，则，
化简得，，
，由小问（ⅰ）的结论可知，
，解得或，
综上所述，的取值范围为：.
19．（24-25高二上·重庆·阶段练习）代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论：
推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积；
推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等.
推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为.
已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题：
(1)求的复根；
(2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值；
(3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】复数范围内方程的根
【分析】（1）化简该方程后借助因式分解结合求根公式计算即可得；
（2）化简方程后借助推论三计算即可得；
（3）设出中点，代入计算后结合推论三可得点坐标，结合体型菱形对角线垂直计算即可得解.
【详解】（1）由题意，，即，所以，
所以或，对，有，
即复根有.
（2）由题意，，化简得，，
由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得.
（3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点，
由得，所以，
即，
化简得：，
由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解，
故，解得，故，
又，故
由菱形，可得，
所以，
故．
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于对推论三的理解与运用，从而结合题意得到中点的坐标.
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第七章 复数（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·甘肃张掖·一模）已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知复数为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（青海省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）若复数满足，则（ ）
A． B．3 C． D．6
5．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·河北邯郸·二模）已知复数，，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知i为虚数单位，实数a满足，则复数的模为（ ）
A．2 B． C． D．3
8．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第三象限
11．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（ ）
A． B．的虚部为 C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数 .
13．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）复数是纯虚数，则 .
14．（2024·吉林长春·一模）若，则 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根.
(1)求的值；
(2)若是纯虚数，求实数的值和.
16．（23-24高二上·江苏无锡·期中）（1）计算：；
（2）已知，求复数z．
17．（24-25高三上·上海·期中）已知复数，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影．
18．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，．
(1)若，求角；
(2)复数，对应的向量分别是，，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围．
19．（24-25高二上·重庆·阶段练习）代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论：
推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积；
推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等.
推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为.
已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题：
(1)求的复根；
(2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值；
(3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值.
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