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第九章 统计（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）为了解某高中学生的整体睡眠情况，从该校1500名学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查，则此次抽样调査的样本容量为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．300
【答案】B
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【分析】根据样本容量概念求解即可.
【详解】从该校1500名学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查，
样本容量为150.
故选：B
2．（24-25高三上·辽宁抚顺·期末）数据5，6，8，5，5，9，10，4的60%分位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】将数据5，6，8，5，5，9，10，4按照从小到大的顺序排列为4，5，5，5，6，8，9，10，
因为，所以这组数据的60%分位数是排序后的第五个数，即6.
故选：B.
3．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意可得样本中高二学生的人数为（人）.
故选：B
4．（2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（ ）
A．11 B．22 C．34 D．44
【答案】B
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【分析】由频率分布直方图的意义可求得结论.
【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得，
解得，
所以用电量落在区间内的户数为.
故选：B.
5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．26，54 B．26，56 C．24，54 D．24，56
【答案】A
【知识点】平均数的和差倍分性质、各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响
【分析】根据平均数、方差的性质求解．
【详解】由题意数据的平均数为，方差为，
根据平均数和方差性质可得
数据的平均数为，方差为，
故选：A
6．（24-25高二上·北京东城·期末）在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：
43 44 45 45 46 48 49 49 50 51
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】计算几个数的平均数
【分析】根据平均数的概念直接计算可得结果.
【详解】由题意得，，
，
∴.
故选：A.
7．（2024高三·全国·专题练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：)：
①甲地：个数据的中位数为，众数为；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
③丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．
其中肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】用众数的代表意义解决实际问题、用中位数的代表意义解决实际问题、用平均数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度
【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案.
【详解】甲地的个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续天的日平均温度的记录数据中必有，，，其余2天的记录数据大于24，且不相等，故甲地符合进入夏季的标准；
乙地的个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为，，，，时，其连续天的日平均温度中有低于的，此时乙地不符合进入夏季的标准；
丙地的个数据中有个数据是，总体均值为，设其余个数据分别为，，，，则总体方差
，
若，，，有小于的数据时，则，即，不满足题意，所以，，，均大于或等于，故丙地符合进入夏季的标准．
综上所述，肯定进入夏季的地区有①③．
故选：B．
8．（24-25高二上·四川绵阳·期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ）
A．至少有个位置存放了不少于个数据
B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为
C．若的方差为，则的最小值为，最大值为
D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据
【答案】D
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】设为数据除以的余数为的数的个数，利用特例法可判断A选项；求出这个数的值，结合中位数的定义可判断B选项；利用方差的定义可求出的最大值和最小值，可判断C选项；对个位置是否存在空位进行讨论，结合极差的定义可判断D选项.
【详解】设为数据除以的余数为的数的个数，
对于A选项，，
不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，A错；
对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、，
这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，
所以，，，，，，，，
将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，B错；
对于C选项，由题意可知，这个数的平均数为，
且，，
因为，，
当这个数中有个，个时，取最小值，
即，
当这个数中有个，个时，取最大值，
即，C错；
对于D选项，不妨这个数依次为：、、、、、、，
满足极差为，此时，所有位置都有数据，
若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为，
因为，此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，D对.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题D选项，主要要对个位置是否存在空位进行讨论，利用特例法结合极差的定义进行判断.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025·广东茂名·一模）在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A．
B．该100名学生成绩的众数约为75
C．该100名学生中成绩在的人数为48
D．该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5
【答案】AB
【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为得到方程求出的值，再根据频率分布直方图一一判断即可.
【详解】依题意可得，解得，故A正确；
该100名学生成绩的众数约为，故B正确；
该100名学生中成绩在的人数为人，故C错误；
因为，，
所以第85百分位数位于，设其为，则，解得，故D错误.
故选：AB
10．（24-25高二上·湖南·期末）某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（ ）
A．该公司2020—2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%
【答案】ABD
【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可.
【详解】对A：由图可知：2020—2024年快递业务量逐年上升，故A正确；
对B：2020—2024年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确；
对C：因为增长率从小到大排序，即
则中位数为，故C错误；
对D：由，故D正确.
故选：ABD
11．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】BC
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】由题意结合平均数公式和方差公式得和，对于A，检验得不符合；对于BC，先求出，接着举一组符合比赛成绩出来即可；对于D，先由已知得且，进而得方程组无正整数解即可得解.
【详解】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，
由题得，则，
且，
则，
不妨设最大，
对于A选项，若，则不成立，故A错误；
对于B选项，若，则，
则满足题意，例如5位同学的成绩可为7，7，7，7，12，故B正确；
对于C选项，若，则，
则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确；
对于D选项，若，则且，
则，
，
则可得，该方程组无正整数解，故D错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：先由题意结合平均数公式和方差公式得和，接下来对各个选项进行检验，检验初步过程是先求得的正负，再对结果为正值的举例或计算求解即可得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二上·河南安阳·学业考试）下表记录了某地区一年内月降水量：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
则该地区的月降水量的分位数是 .
【答案】61
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】应用百分位数的定义求该地区的月降水量的分位数.
【详解】由表格，数据从小到大排列为，
又，故该地区的月降水量的分位数是.
故答案为：
13．（24-25高一上·北京·期末）某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是 ．
① 甲的极差比乙的极差大； ② 甲的众数比乙的众数大；
③ 甲的分位数比乙的分位数相等； ④ 甲的方差比乙的方差小．
【答案】②④
【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、计算几个数的众数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】由茎叶图可知，将甲，乙的数据从小到大依次排列，然后计算极差，众数，分位数逐项判断即可，由茎叶图可知，甲的数据比乙更集中，波动小，故甲的方差比乙小判断即可.
【详解】由茎叶图可知，将甲，乙的数据从小到大排列依次为：
甲：，
乙：，
甲的极差为：，乙的极差为：，故①错误；
甲的众数为：，乙的众数为：，故②正确；
由于，故甲分位数为：，乙的分位数为：，故③错误；
由茎叶图可知，甲的数据比乙更集中，波动小，故甲的方差比乙小，故④正确；
故答案为：②④.
14．（24-25高二上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这5个数据的方差为4，平均数为的最小值（其中），且这5个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 .
【答案】 10； 6.
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】先根据题设结合一元二次函数性质求出的最小值，进而推出这5个数的和以及，从而推出这5个数及其最大值和极差.
【详解】因为，所以，解得，
故
，
因为，所以当时，取得最大值，
此时取得最小值7，
故，
，
这5个数互不相同，故，
不妨令，满足，
所以这5个数中，最大值为10，数据极差为.
故答案为：10；6.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2023高二下·辽宁·学业考试）“仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着亿人口的大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数．
甲 乙
9 0 8
0 1 1 1 1 4 3 0 1
0 2 2
(1)求甲种麦苗株高的中位数和众数；
(2)分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性.
【答案】(1)中位数为，众数为
(2)答案见解析
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】（1）利用中位数和众数的定义可求得结果；
（2）利用平均数和方差公式可求得两种麦苗株高的平均数和方差，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）甲种麦苗株高由小到大依次为：、、、、、，
中位数为，众数为.
（2）甲种麦苗株高的平均数为，
方差为，
乙种麦苗株高由小到大依次为：、、、、、，
乙种麦苗株高的平均数为，
方差为，
所以，，，
所以乙麦苗普遍长得高，但是高低质量差异明显.
16．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记的样本平均数为，样本方差为.
(1)求；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】(1)，；
(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【知识点】计算几个数的平均数、用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；
（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.
【详解】（1）计数如下表：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
则，
.
（2）由（1）知:，，故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
17．（24-25高二上·上海·期末）校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
(1)该校高一学生中男、女生各有多少名？
(2)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）．
【答案】(1)男生共有名，女生共有名．
(2)原始数据的平均数（cm），方差
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】（1)根据分层抽样的步骤，由题中条件，可直接得出结果；
（2）先设原始的32个数据为，根据错误数据的平均数与原始数据平均数之间关系，求出原始数据的平均数；根据错误数据的方差与原始数据的方差之间关系，可求出原始数据的方差.
【详解】（1）该校高一学生中，男生共有名，
女生共有名．
（2）设原始的32个数据为，其中，
由错误数据的平均数，
得原始数据的平均数（cm）．
由，
得，
故．
18．（23-24高一下·福建漳州·期末）漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；
(2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差.
【答案】(1)，众数为85，中位数为82
(2)平均数为81；方差为30
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、平均数的和差倍分性质、计算频率分布直方图中的方差、标准差、根据频率分布直方图计算众数
【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值；
（2）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得，
由频率分布直方图可估计众数为85，
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为.
（2）由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20；
在的频率为，人数为30，
把满意度分值在记为，其平均数，方差，
在内记为，其平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
根据方差的定义，满意度分值在的方差为
由，可得，
同理可得，
因此，
19．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
(2)当时，证明：①；②；
(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、计算几个数据的极差、方差、标准差、向量新定义
【分析】（1）借助数量积公式计算即可得；
（2）①结合方差的计算法则化简即可得；②借助所给数量积公式计算化简即可得；
（3）借助所给恒等式计算出后，结合三角函数值域即可得.
【详解】（1）；
（2）①当时，
；
②
；
（3），理由如下：
当，时，
，
同理可得，
则
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于运算，尤其需要清楚.
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第九章 统计（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）为了解某高中学生的整体睡眠情况，从该校1500名学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查，则此次抽样调査的样本容量为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．300
2．（24-25高三上·辽宁抚顺·期末）数据5，6，8，5，5，9，10，4的60%分位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（ ）
A．11 B．22 C．34 D．44
5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．26，54 B．26，56 C．24，54 D．24，56
6．（24-25高二上·北京东城·期末）在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：
43 44 45 45 46 48 49 49 50 51
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（ ）
A． B．且
C．且 D．且
7．（2024高三·全国·专题练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：)：
①甲地：个数据的中位数为，众数为；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
③丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．
其中肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
8．（24-25高二上·四川绵阳·期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ）
A．至少有个位置存放了不少于个数据
B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为
C．若的方差为，则的最小值为，最大值为
D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025·广东茂名·一模）在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A．
B．该100名学生成绩的众数约为75
C．该100名学生中成绩在的人数为48
D．该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5
10．（24-25高二上·湖南·期末）某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（ ）
A．该公司2020—2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%
11．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二上·河南安阳·学业考试）下表记录了某地区一年内月降水量：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
则该地区的月降水量的分位数是 .
13．（24-25高一上·北京·期末）某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是 ．
① 甲的极差比乙的极差大； ② 甲的众数比乙的众数大；
③ 甲的分位数比乙的分位数相等； ④ 甲的方差比乙的方差小．
14．（24-25高二上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这5个数据的方差为4，平均数为的最小值（其中），且这5个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2023高二下·辽宁·学业考试）“仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着亿人口的大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数．
甲 乙
9 0 8
0 1 1 1 1 4 3 0 1
0 2 2
(1)求甲种麦苗株高的中位数和众数；
(2)分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性.
16．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记的样本平均数为，样本方差为.
(1)求；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
17．（24-25高二上·上海·期末）校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．
(1)该校高一学生中男、女生各有多少名？
(2)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）．
18．（23-24高一下·福建漳州·期末）漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；
(2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差.
19．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
(2)当时，证明：①；②；
(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．
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