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第八章 立体几何初步（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（ ）
A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
4．（2025·广东·一模）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则，
④若，，且，，则，（ ）
A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③
5．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·甘肃张掖·一模）在圆台中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．（辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025高三上学期期末考试数学试卷）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高三·全国·专题练习）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·浙江·期中）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ）
A．，，，四点不共面
B．该几何体的体积为8
C．过四点，，，四点的外接球表面积为
D．截面四边形的周长的最小值为10
11．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（ ）
A．该圆柱的体积为
B．该圆柱的表面积为
C．直线与平面所成角为
D．二面角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 .
13．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ．
14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点
(1)求证：平面；
(2)求证：、、、四点共面；
16．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面．
17．（24-25高二上·山东·阶段练习）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面．
(1)画出点P的轨迹，并说明理由；
(2)平面，，，，当最短时，指出P的位置，并说明理由．
18．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点．
(1)求证：平面；
(2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离；
(3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值．
19．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
(1)求四棱锥在顶点处的离散曲率；
(2)求四棱锥内切球的表面积；
(3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
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第八章 立体几何初步（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（ ）
A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直
【答案】A
【知识点】异面直线的判定
【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面.
【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.
法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面，
设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面，
所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾，
所以直线与直线异面.
故选：A.
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据直观图定义还原几何图形即可根据梯形面积公式求解.
【详解】根据直观图定义可将等腰梯形还原如图所示，它是一个直角梯形，
依题意在x轴上，且；
在y轴上，且，
轴，且，
所以平面图形的面积为.
故选：B.
3．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
【答案】B
【知识点】线面平行的性质
【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可.
【详解】直线平面，平面，平面平面，
所以.
故选：B
4．（2025·广东·一模）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则，
④若，，且，，则，（ ）
A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面是否垂直
【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得；在②中，或；在③中，与相交、平行或；在④中，由线面平行的判定定理得，．
【详解】解：由，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，知：
①若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确；
②若，，则或，故②错误；
③若，，则与相交、平行或，故③错误；
④若，，且，，
则由线面平行的判定定理得，，故④正确．
故选：．
5．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】依题意可得底面为正三角形，且边长为，即可求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而求出，再由表面积公式计算可得.
【详解】因为，，，所以，则，
又为的中点，所以，所以底面为正三角形，且边长为，
则外接圆的半径，
又平面，，设三棱锥的外接球的半径为，
则，即，解得，
故外接球表面积为.
故选：D.
6．（2024·甘肃张掖·一模）在圆台中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】台体体积的有关计算、求线面角、柱、锥、台体的轴截面
【分析】结合题目条件根据圆台体积公式求出底面半径，作出圆台的轴截面，利用线面角的定义知为母线CB与下底面所成的角，结合等腰梯形的性质在直角三角形中求解即可.
【详解】由题意得，圆台的高，体积，设上底面半径为，则下底面半径为4r.
圆台的体积，解得.
作出圆台的轴截面，如图，
则，为母线CB与下底面所成的角.
过点作于点，则1，
所以，所以.
故选：A.
7．（辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025高三上学期期末考试数学试卷）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】面面平行证明线线平行
【分析】作出辅助线，根据三角形相似得到，根据面面平行得到线线平行，得到∽，故，从而，得到，所以.
【详解】延长交于点，连接，
则∽，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又四边形为平行四边形，
所以∽，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B
8．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题
【分析】根据条件可得点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，过作交于，利用几何关系可得在上，即可求解.
【详解】连接，易知面，又面，所以，
因为为侧面内的动点，且，，所以，即点在以为圆心，为半径的圆弧上，
连接，过作交于，易知面，
因为，所以，又，，
所以，，故在上，
所以当与重合时，最小，又，所以最小值为，
故选：B.
【点晴】方法点晴，通过勾股定理将空间几何问题转化为平面几何问题，即由得到，从而得到点的轨迹，再利用几何关系即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高三·全国·专题练习）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【知识点】平面的基本性质及辨析
【分析】利用平面的基本性质判断.
【详解】
对于选项A，如图所示：，两条线段不平行，可知其不共面；
对于选项B，如图所示：，两条线是平行的，因而是在同一个平面；
对于选项C，如图所示：，不能作出一个平面，因而是不共面的，
对于选项D，如图所示：，两条线平行，是共面的.
故选：BD
10．（24-25高三上·浙江·期中）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ）
A．，，，四点不共面
B．该几何体的体积为8
C．过四点，，，四点的外接球表面积为
D．截面四边形的周长的最小值为10
【答案】BCD
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面平行证明线线平行
【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，过，，，构造正方体，则外接球直径为正方体的体对角线，进而求表面积；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可.
【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点，
易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，，则，
所以，，，四点共面，故错误；
对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确；
对于C，过四点，，，构造正方体，
所以，外接球直径为正方体的体对角线，
所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确；
对于D，
由题意，平面平面，平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
所以四边形为平行四边形，则周长，
沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5，
所以周长的最小值为，故D正确，
故选：BCD
11．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（ ）
A．该圆柱的体积为
B．该圆柱的表面积为
C．直线与平面所成角为
D．二面角为
【答案】AD
【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、求线面角、求二面角
【分析】由几何关系结合圆柱的体积公式可得A正确；由圆柱的表面积公式可得B错误；由线面垂直得到线面角，再由正弦值可得C错误；由二面角的概念得到为二面角的平面角，再求其值可得D正确；
【详解】对于A，因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，平面，所以平面，即，
因为为的中点，所以为等腰直角三角形，所以，
又，为底面圆的直径，所以，
所以该圆柱的体积为，故A正确；
对于B，由A可得该圆柱的表面积为，故B错误；
对于C，因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角，
因为，所以，即，故C错误；
对于D，由C可得为二面角的平面角，因为为等腰直角三角形，所以，即二面角为，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 .
【答案】或
【知识点】由异面直线所成的角求其他量
【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得.
【详解】
分别为的中点，连接，
所以，，
所以或其补角就是异面直线和所成的角，
因为异面直线和成的角，
或.
故答案为：或.
13．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ．
【答案】/
【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量、面面平行证明线面平行、线面平行的性质
【分析】作出辅助线，得到为直线，故，利用边长关系求出，再由线面平行的性质定理得到，，由三角形全等得到，从而计算出的值.
【详解】延长与直线相交于，连接，
则平面与平面的交线为，
即为直线，故即为，
又，，
是棱的中点，且，
，，
又为锐角，且，，
则，
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，又，
故直线与所成角为，
又，故，
所以，
故答案为：.
14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ．
【答案】
【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题
【分析】应用正方体图形特征结合球的特征结合弧长公式计算可得轨迹长度.
【详解】如图，连接，由正方体的性质可得，平面，
则平面，又平面，则，
又平面，
则平面，又平面，则，
因为平面，则平面，不妨设垂足为，
则，
又因为，解得，所以动点的轨迹是在平面中，
以正的中心为圆心，为半径的圆弧，如图4，即动点的轨迹为劣弧；
如图5，过作的垂线，垂足为，连接，在中，，，
所以，又因为，所以，所以，
所以，所以动点的轨迹长度为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点
(1)求证：平面；
(2)求证：、、、四点共面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】空间中的点（线）共面问题、证明线面平行
【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行.
（2）连接，结合条件可证，从而证明.
【详解】（1）如图：
连接，因为分别为的中点，所以
在三棱柱中，.所以四点共面.
因为分别为的中点，所以，.
所以四边形为平行四边形.
所以.因为平面平面，
所以平面.
（2）如图：
连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点，
所以，又，所以，所以、、、四点共面.
16．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直
【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证．
（2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证．
【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点，
∴．又在圆柱中，底面，底面，
∴，又，平面，
∴平面．
（2）取的中点，连接，，
∵为的中点，∴在中，，且，
又在圆柱中，，且，
∴，，∴四边形为平行四边形，
∴．而平面，平面，
∴平面.
17．（24-25高二上·山东·阶段练习）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面．
(1)画出点P的轨迹，并说明理由；
(2)平面，，，，当最短时，指出P的位置，并说明理由．
【答案】(1)取三等分点E，F，其中，为点P的轨迹，理由见解析
(2)点P与E重合时，最短，理由见解析
【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明线面平行
【分析】（1）分别取三等分点E，F，因为G是的重心，结合面面平行的判定定理即可证明平面平面，故有平面，得点P的轨迹为；假设P不在上，根据平行关系会得出矛盾结果；
（2）由余弦定理得，根据垂直关系可证，故当点P与E重合时，最短．
【详解】（1）分别取三等分点E，F，其中，
连接，则为点P的轨迹.
①因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为G是的重心，所以，因为平面，平面.
所以平面，因为，平面，
所以平面平面，当P在上
时，平面；
②如图，假设P不在上，任取上一点Q，连接，
因为平面，平面，，平面，
所以平面平面，所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，所以，与矛盾，所以假设不成立，
综上所述，为点P的轨迹.
（2）点P与E重合时，最短，理由如下：
由余弦定理得，解得，
所以，所以，因为，所以，
因为平面，所以，
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，当点P与E重合时，最短.
18．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点．
(1)求证：平面；
(2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离；
(3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证.
（2）利用几何法，结合二面角大小求出，再利用等体积法求出距离.
（3）延长至，使得，由勾股定理可得，把问题转化为求即可.
【详解】（1）由AB是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上除外的点，得，
而平面，平面，则，又平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，平面，则，而，
于是为二面角的平面角，，在中，，，
设点到面的距离为，由，得，
即，则
所以点到面的距离.
（3）延长至，使得，则
因此，当且仅当为与的交点时取等号，
取的中点，连接，由点D是线段PB的中点，得，则平面，
平面，于是，又，则，
所以的最小值为.
19．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
(1)求四棱锥在顶点处的离散曲率；
(2)求四棱锥内切球的表面积；
(3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角、立体几何新定义
【分析】（1）求出、、的值，结合曲率的定义可计算出结果；
（2）计算出四棱锥的表面积，根据等体积法计算出四棱锥内切球的半径，结合球体体积公式可求得结果；
（3）过点作交于点，连接，推导出平面，分析可知，为直线与平面所成的角，然后设，利用余弦定理求出，利用三角形相似求出，结合函数基本性质求出的范围，即可得出结果.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
因为，则．
因为平面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，即，
由离散曲率的定义得．
（2）因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，
设四棱锥的表面积为，
则
．
设四棱锥的内切球的半径为，则，
所以，
所以四棱锥内切球的表面积．
（3）如图，过点作交于点，连接，
因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角．
易知，当与重合时，；
当与不重合时，设，
在中，由余弦定理得
因为，所以，所以，则，
所以．
当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合），
由，得，即，
所以的最大值为，
所以直线与平面所成角的取值范围为．
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
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