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第六章 平面向量及其应用 单元复习提升
（易错与拓展）
易错点1 忽略向量平行（共线）同向还是反向
【指点迷津】向量的共线指方向相同，或者方向相反，与三点共线是有区别的，两个向量的共线在位置上可以是在同一条直线上的两个向量，也可以是两条平行线上的两个向量；
典例1（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
典例2（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.
跟踪训练1（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与，相反的向量；
(2)分别找出与，相等的向量.
跟踪训练2（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)找出与相等的向量；
(2)分别找出与，，相反的向量．
易错点2 忽视零向量
【指点迷津】零向量的方向是任意的，零向量与任意向量平行；平行关系注意别忽视了零向量；
典例1（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，则存在唯一实数使得；
④两个非零向量，若，则与共线且反向；
⑤若，则.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
典例2（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
跟踪训练1（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．为单位向量 B．若，则
C．若，，共面，则它们所在的直线共面 D．已知，，则在上的投影向量为
跟踪训练2（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
易错点3 忽视向量数量积不满足结合律
【指点迷津】注意多个向量点成时，注意不满足结合律
典例1（24-25高二上·山东泰安·开学考试）设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
典例2（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
跟踪训练1（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练2（多选）（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点4 求向量模时忽视开根号
【指点迷津】求向量模时注意开根号：；
典例1（24-25高三上·四川·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ）
A．8 B．3 C． D．
典例2（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
跟踪训练1（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
跟踪训练2（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
易错点5 解三角形时忽视了的可能性和恒成立
【指点迷津】在解方程中，忽视了0不可约，而在解三角形问题中，是有可能的，所以方程左右两边不能同时约去，这样会造成漏根。
典例11．（福建省2024-2025学年高三上学期12月测评数学试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长.
典例2（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状：
(1)；
(2)．
跟踪训练1（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)判断的形状；
(2)若，且的面积为，求角．
易错点6 误解为而造成漏解
【指点迷津】在三角形中，解，很多考生直接得到，而忽视了而造成漏解。
典例1（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若，试判断的形状.
跟踪训练1（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且.
(1)判断此形状；
(2)点是线段的中点，若，求面积的最大值.
易错点7解三角形周长，边长，忽视了锐角三角形这个重要条件
【指点迷津】在解锐角三角形中周长取值范围问题时，忽视了锐角这个条件而错误的使用两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，造成范围放大。
典例1（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
典例2（2024高二上·云南·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.
跟踪训练1（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且.
(1)求角C的值：
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
跟踪训练2（24-25高二上·湖北恩施·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
拓展1 自主建系法求平面向量数量积问题
典例1（23-24高一下·河北保定·期末）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
典例2（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．-8 B．-4 C．0 D．4
典例3（23-24高三上·天津滨海新·期末）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 .
跟踪训练1 （23-24高一下·江苏连云港·期末）在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（ ）
A． B．1 C． D．
跟踪训练2（24-25高三上·天津·阶段练习）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．
跟踪训练3 （24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．
拓展2 平面向量模的最值问题
典例1（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知在中，，则的最小值为 .
典例2（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例3（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 .
跟踪训练1 （2024高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练2（2024高二下·浙江·竞赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ．
跟踪训练3（2023·四川成都·二模）已知向量，向量，则的最大值是 ．
拓展3 三角形中周长（边）的最值，范围问题
典例1（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若点在上，平分，，，求的长；
(3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围.
典例2（22-23高三上·河北唐山·开学考试）在锐角中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
典例3（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，．
(1)求的长；
(2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值．
跟踪训练1（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
跟踪训练2（23-24高一下·山东济南·期末）如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.
(1)已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积；
(2)求的最小值.
跟踪训练3（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知
(1)若 ，求此花卉布展区域总面积；
(2)求证： 为一个定值；
(3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围
拓展4 三角形、四边形面积最值，范围问题
典例1（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
典例2（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积的最大值.
典例3（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
跟踪训练1（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
跟踪训练2（24-25高三上·广东·阶段练习）已知向量，，设函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值．
跟踪训练3（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）.
(1)求角；
(2)，求的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东威海·一模）在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
二、填空题
5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 .
6．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）如图所示，正的边长为，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为 .
7．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．
8．（24-25高三上·天津·期中）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则 ；的取值范围是 ．
三、解答题
9．（2025届江西省“三新”协同教研共同体高三联考模拟预测数学试题）在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
10．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求的最小值.
11．（24-25高二上·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，求周长的最大值.
12．（23-24高一下·广东惠州·期中）在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.条件①；条件②.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，设函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值.
14．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，已知
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
15．（23-24高一下·广东清远·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
(2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值.
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第六章 平面向量及其应用 单元复习提升
（易错与拓展）
易错点1 忽略向量平行（共线）同向还是反向
【指点迷津】向量的共线指方向相同，或者方向相反，与三点共线是有区别的，两个向量的共线在位置上可以是在同一条直线上的两个向量，也可以是两条平行线上的两个向量；
典例1（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相等向量
【分析】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解.
【详解】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是，
故选：D.
典例2（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.
【答案】2
【知识点】相等向量
【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.
【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
跟踪训练1（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与，相反的向量；
(2)分别找出与，相等的向量.
【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有，
(2)相等的向量为，，相等的向量为
【知识点】相等向量、相反向量
【分析】运用相等向量，相反向量概念可解.
【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量.
与相反的向量有，，；与相反的向量有，.
（2）方向相同，大小相等的向量是相等向量.
则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，.
同理，与相等的向量为.
跟踪训练2（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)找出与相等的向量；
(2)分别找出与，，相反的向量．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【知识点】相等向量、相反向量
【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量；
（2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量.
【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点,
所以,,
与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，．
（2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点,
所以,,,,
则与相反的向量有，，；
与相反的向量有，，；
与相反的向量有，，．
易错点2 忽视零向量
【指点迷津】零向量的方向是任意的，零向量与任意向量平行；平行关系注意别忽视了零向量；
典例1（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，则存在唯一实数使得；
④两个非零向量，若，则与共线且反向；
⑤若，则.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、数量积的运算律
【分析】借助单位向量、相等向量、向量模长、零向量的定义结合共线向量及数量积公式逐项判断即可得.
【详解】对①：单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，故①错误；
对②：平行向量可能同向或反向，故②错误；
对③：若，若且不为零向量，则不存在实数使得，故③错误；
对④：若，则，
即，
即有，故与共线且反向，故④正确；
对⑤：若，则有，但不能得到，故⑤错误.
故正确的个数为1个.
故选：B
典例2（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、相反向量
【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案
【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；
对于②，当时也满足且，故错误；
对于③，当时，满足，但不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.
故真命题的个数是0个.
故选：A
跟踪训练1（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．为单位向量 B．若，则
C．若，，共面，则它们所在的直线共面 D．已知，，则在上的投影向量为
【答案】D
【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、判定空间向量共面、求投影向量
【分析】A选项中注意单位向量的定义；B选项注意零向量的特殊情况，与直线平行的传递性区分开来；C选项注意向量可以平移的特点；D选项根据投影向量的计算公式，可得D正确.
【详解】对于选项A：，因此不是单位向量，因此A错误；
对于选项B：若为零向量，则与不一定共线，因此B错误；
对于选项C：例如在正方体中，因为，所以向量，，共面，但它们所在的三条直线，，显然不在同一平面内，因此C错误；
对于选项D：在上的投影向量为，因此D正确.
故选：D
跟踪训练2（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
【答案】C
【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示
【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.
故选：C
易错点3 忽视向量数量积不满足结合律
【指点迷津】注意多个向量点成时，注意不满足结合律
典例1（24-25高二上·山东泰安·开学考试）设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】根据数量积的计算公式计算可判断A；利用向量和数量积计算结合没有意义判断B；是与共线的向量，是与共线的向量，可判断C；根据数量积的计算公式计算可判断D.
【详解】对于A：因为向量为非零向量且不共线，所以，且，
所以，故A错误；
对于B：，而没有意义，故B错误；
对于C：是与共线的向量，又不一定为0，故不一定为，
是与共线的向量，又不一定为0，故不一定为，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D.
典例2（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】根据向量的四则运算、数量积的定义及分配律逐个判断即可.
【详解】对A，得出的是数量，故结果是与共线的向量，
同理得出的是与共线的向量，
等式对任意三个向量、、不一定正确，故A错误；
对B，由数量积定义可得，，故B正确；
对C，向量数量积运算满足加乘分配律，故C正确；
对D，由分配律可得，
故D正确.
故选：A.
跟踪训练1（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的定义及辨析
【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得.
【详解】，当且仅当共线时取等号，A错误；
由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误；
是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误；
，因此，D正确.
故选：D
跟踪训练2（多选）（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量数乘的有关计算、用定义求向量的数量积
【分析】选项A，利用数乘向量的定义知，，即可求解；选项B，由数乘向量及数量积的定义，即可求解；选项C，由数量积的定义即可求解；选项D，利用向量数量积的运算律，即可判断出选项D的正误.
【详解】对于A，因为，故A错误，
对于B，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，
但与不一定共线，故B错误，
对于C，因为，则，故C正确，
对于D，由数量积的运算知，故D正确.
故选：AB.
易错点4 求向量模时忽视开根号
【指点迷津】求向量模时注意开根号：；
典例1（24-25高三上·四川·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ）
A．8 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积
【分析】利用平方运算将向量的模转化为向量的数量积，进而根据模长计算公式求解即可.
【详解】由题意得，即，
则，化简得，
则，
故选：D.
典例2（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、坐标计算向量的模
【分析】根据向量数量积的运算律以及坐标表示计算即可.
【详解】由得，
因为，所以，
故，
所以.
故选：A
跟踪训练1（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示
【分析】根据已知有，应用向量的数量积运算律得方程求.
【详解】因为，所以，
所以，
所以．
故选：A
跟踪训练2（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示
【分析】利用向量垂直关系可得向量的数量积为零，再利用向量的平方等于模的平方和向量的运算公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，所以
，
所以，
故选：.
易错点5 解三角形时忽视了的可能性和恒成立
【指点迷津】在解方程中，忽视了0不可约，而在解三角形问题中，是有可能的，所以方程左右两边不能同时约去，这样会造成漏根。
典例11．（福建省2024-2025学年高三上学期12月测评数学试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】（1）由三角恒等变换和正弦定理得到，结合，得到，求出答案；
（2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，由三角形面积公式得到方程，求出，，进而求出，得到周长.
【详解】（1）依题意，，
即，
由正弦定理可得，
因为，，
所以，
故，
因为，所以，
所以，又因为，所以；
（2）D为边的中点，故，
两边平方得，
即，故①，
由余弦定理可得，，
又，所以②，
联立①②得，，
因为的面积为，解得，
所以，解得，
因为，
所以，故，，
所以的周长为.
典例2（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状：
(1)；
(2)．
【答案】(1)等腰三角形或直角三角形；
(2)等腰三角形或直角三角形.
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】（1）利用诱导公式及和差角的正弦公式化简即可得解.
（2）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦及诱导公式求解即得.
【详解】（1）在中，，由，
得，整理得，
则或，而，于是或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
（2）在中，由及正弦定理得，即，
而，因此，即，
由，得，
因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
跟踪训练1（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)判断的形状；
(2)若，且的面积为，求角．
【答案】(1)等腰三角形
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】（1）由题意结合正弦定理边角互化可得答案；
（2）设c，b为x，由图及勾股定理可得x，即可得答案.
【详解】（1）由正弦定理，
，
因，则，，则为等腰三角形；
（2）由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x，
则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为，
则，即为等边三角形，则角为.
易错点6 误解为而造成漏解
【指点迷津】在三角形中，解，很多考生直接得到，而忽视了而造成漏解。
典例1（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若，试判断的形状.
【答案】等腰三角形或直角三角形
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化简即可得解.
【详解】在中，由及正弦定理得，
而，则，即，
因此，又A、B是三角形内角，于是或，
即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
跟踪训练1（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且.
(1)判断此形状；
(2)点是线段的中点，若，求面积的最大值.
【答案】(1)等腰三角形或者直角三角形
(2)
【知识点】基本不等式求积的最大值、正、余弦定理判定三角形形状、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式即可判断出三角形的形状；
（2）分和两种情况进行分析，结合基本不等式即可求出面积最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，而，
所以或，
即或.
所以三角形为等腰三角形或者直角三角形.
（2）①当时，
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
则的面积为；
②当时，则.
设，则.
在中，由余弦定理可得，
则，
故的面积
，
当且仅当时，等号成立.
综上，面积的最大值是.
易错点7解三角形周长，边长，忽视了锐角三角形这个重要条件
【指点迷津】在解锐角三角形中周长取值范围问题时，忽视了锐角这个条件而错误的使用两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，造成范围放大。
典例1（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合正弦性函数性质计算即可得解；
（2）结合正弦定理可将边化为角，结合三角恒等变换可将周长用表示，结合锐角三角形定义可得的范围，即可得周长的取值范围.
【详解】（1）
，
由，则，则，
即，又，故；
（2）由正弦定理可得，
，
则
，
由为锐角三角形，，则有，解得，
则，由在上单调递增，故，
，，
故，故，
即周长的取值范围为.
典例2（2024高二上·云南·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式
【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得.
（2）因为，，则，
由正弦定理可得，
所以，
，
因为为锐角三角形，则，解得，
所以，，则，
故.
即的取值范围是.
跟踪训练1（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且.
(1)求角C的值：
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解；
（2）根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再利用辅助角公式变形，由角的取值范围可求得周长的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
利用正弦定理化简，得，即，
由余弦定理，得，
又因为，所以；
（2）由（1）得，即，
又因为三角形为锐角三角形，
所以，解得：，
因为，由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以，则的取值范围为，
所以周长的取值范围..
跟踪训练2（24-25高二上·湖北恩施·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合正弦和角公式、辅助角公式计算即可；
（2）根据（1）的结论及正弦定理用角表示边，结合三角恒等变换将周长化为，根据三角函数的性质计算值域即可.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可知，，
因为，
所以，
即．
又，
所以，即或，
即或（舍去）．
（2）由（1）得，则，即,
由正弦定理可知，
所以．
因为为锐角三角，所以，
即，则，
即，则.
故的周长的取值范围为．
拓展1 自主建系法求平面向量数量积问题
典例1（23-24高一下·河北保定·期末）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的坐标表示
【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解.
【详解】因为，可知O为的中点，
又因为O为的外接圆圆心，则，
且，即，
可知为等边三角形，即，
如图，建立平面直角坐标系，
则，设，
可得，
则，
可知当时，取到最小值.
【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，.
典例2（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．-8 B．-4 C．0 D．4
【答案】C
【知识点】数量积的坐标表示、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域
【分析】通过建系设点，设利用平面向量的坐标计算转化为正弦型函数的值域问题求解即得.
【详解】
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设点，由题意知，，
则，，
所以，
因，则,
故当时，即时，取最小值0.
故选:C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查圆的参数方程和平面向量的数量积的取值范围问题.在处理已知圆上的动点有关的问题时常通过圆的参数方程设点，利于分析和计算；在处理平面向量的数量积问题时，常通过三种方法解决：
（1）定义法：运用向量的数量积定义公式计算分析；
（2）基底表示法：通过选设平面的一组基底，将相关向量进行表示，利用基底计算；
（3）建系法：通过建系得向量坐标，再计算分析.
典例3（23-24高三上·天津滨海新·期末）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 .
【答案】 /
【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、求二次函数的值域或最值、数量积的运算律
【分析】取平面的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求出可得；作，以为原点建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值.
【详解】在梯形中，且，，则，
于是
，则，又，所以；
作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，
令，则，
，，
因此，
所以当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：；
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
跟踪训练1 （23-24高一下·江苏连云港·期末）在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平面向量、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算.
【详解】根据题意，取中点，因为，所以，
以为轴建立直角坐标系，则，
设，，
则，
则
因为，则,
的，则，
且.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积.
跟踪训练2（24-25高三上·天津·阶段练习）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、数量积的坐标表示
【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而得到、，再建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值.
【详解】设，
且
，
当且仅当时等号成立，又的最小值为，
所以，又，则，
应用余弦定理有，
综上，，故，则，如下建立平面直角坐标系，
则且，
所以，
当且仅当时等号成立，故最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积运算与配方法，结合已知条件求得，进而得解.
跟踪训练3 （24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．
【答案】
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题
【分析】构建直角坐标系且，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换及三角函数的性质求的最小值.
【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，
若，则，
，，，
由，得，
即，，解得，
故，
所以，当时，，
所以时，取得最小值是.
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：根据题设构建合适坐标系，应用坐标法及三角恒等变换、三角函数的性质求对应表达式的最值.
拓展2 平面向量模的最值问题
典例1（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知在中，，则的最小值为 .
【答案】3
【知识点】坐标计算向量的模
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求模即可得解.
【详解】因为，所以且为边上的高，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图
则，设，
，
，当且仅当时等号成立，
故答案为：3
典例2（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律
【详解】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果.
【分析】因为，
所以．
又，，
所以
．
令．
由，可知为二次函数，其图像开口向上，
要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得．
则正数的取值范围是.
故选：D
典例3（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 .
【答案】 /0.5
【知识点】坐标计算向量的模、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量、基本（均值）不等式的应用
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可.
【详解】
因为所以，
由共线，则，解得
作，以为原点建立平面直角坐标系，
设且，则，而的面积为，
则，故，
则，
则，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为
故答案为：；.
跟踪训练1 （2024高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】根据向量模长的坐标表示由二次函数最值计算即可得答案.
【详解】由条件可知，
则，
易知当时，.
故选：B
跟踪训练2（2024高二下·浙江·竞赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】向量垂直的坐标表示、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、坐标计算向量的模
【分析】利用坐标求出模，根据三角函数化简即可得解.
【详解】令，，，，
于是，．
由向量与向量垂直，得到．
，
当，时，取到最小值．
故答案为：
跟踪训练3（2023·四川成都·二模）已知向量，向量，则的最大值是 ．
【答案】4
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】根据向量的坐标运算求出，然后利用向量求模的计算和三角函数的性质即可求解.
【详解】因为向量，向量，
所以，
则
，
所以当时，即时，取最大值，
故答案为：.
拓展3 三角形中周长（边）的最值，范围问题
典例1（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若点在上，平分，，，求的长；
(3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简条件即可求解角的大小；
（2）在中，根据余弦定理解得，又，得，从而得解；
（3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，得，根据正弦定理得，
因为，所以，则，即，
即，所以．
又，则，
所以；
（2）在中，根据余弦定理，得，
即，解得或（舍去），
依题意，，即，
化简得，则，
所以；
（3）依题意，的面积，所以．
又为锐角三角形，且，则，所以．
又，则，所以．
由正弦定理，得，
所以，
所以，即，
所以a的取值范围为．
典例2（22-23高三上·河北唐山·开学考试）在锐角中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据，利用正弦定理化简得到，然后再利用余弦定理求解.
（2）结合，，，在中利用正弦定理得到，再根据为锐角三角形，求得的范围，利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理得，又，
所以.
（2）由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，所以，
解得，所以，
从而有，所以，
所以的取值范围为.
典例3（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，．
(1)求的长；
(2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）由余弦定理解方程可得；
（2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理得，，即，
化简得，解得（舍），或，
故的长为；
（2）已知点D在平面内，且，
则四点共圆，，
则，
在中，由余弦定理得，，
则，
，，
解得，当且仅当时等号成立.
即的最大值为，
又，故四边形周长的最大值为.
跟踪训练1（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）由题意，根据正弦定理把边化成角，结合和差公式化简可得，根据角的范围可得，继而即可求解.
（2）由（1）知，结合题意利用正弦定理把边化成角，即求的取值范围，利用把转化为，利用和差公式及辅助角公式化简，再利用三角函数求值域即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理得，
即，
即，
，
，
，
.
（2）由（1）知，又，
，
，
，
，
，
，
即的取值范围为.
跟踪训练2（23-24高一下·山东济南·期末）如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.
(1)已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积；
(2)求的最小值.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）（ⅰ）根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得解；
（ⅱ）先求出，进而可求出，即可求出，再结合（ⅰ）中结论即可得解；
（2）先利用正弦定理化边为角，再根据化简，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）（ⅰ）由题意得，
，
因为，，
所以，
，
所以，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）得，
在中，，
所以，
又，所以，
所以；
（2）由正弦定理得，
由（1）得，
故，
令，
因为，所以，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
跟踪训练3（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知
(1)若 ，求此花卉布展区域总面积；
(2)求证： 为一个定值；
(3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积；
（2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值；
（3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意，在 中，且 ，
则 ，
又由余弦定理，得
，
解得 ，
又在 中，，
得 ，
所以 ，
所以 的面积为
，
所以花卉布展区域的总面积为
（2）在 中，因为
，所以 ，
在 中，，由余弦定理，得
，
所以 ，则 ，
得 ，所以 为一个定值1.
（3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，
因为 ，
所以 ，则，
所以 ，
所以 ，
所以
，
又 ，
则 ，
则 ，
故
所以的取值范围为.
拓展4 三角形、四边形面积最值，范围问题
典例1（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用定义求向量的数量积、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据数量积定义可得，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角C的范围即可得以及面积的取值范围.
【详解】（1）因为，则，
整理可得，
利用正弦定理可得，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）由正弦定理，
可得，
由题意可知：，解得，
则，可得，即，
又因为面积，
所以面积的取值范围为.
典例2（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)2
【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，即可得结果；
（2）根据同角关系求，利用余弦定理结合面积公式可得，即可面积最大值.
【详解】（1）因为，且，
可得，
即，所以.
（2）因为，
又因为，即，
整理可得，解得或，
又因为，则，，
由余弦定理可得：，即，
整理可得，
又因为，即，
当且仅当时，等号成立，
且此时为为锐角三角形，符合题意，
所以的面积的最大值为.
典例3（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由已知结合余弦定理和同角三角函数的基本关系可得，再由两角和的正弦公式和正弦定理化简求值即可；
（2）由三角形的面积公式可得，再由正弦定理通过化简变形可得，根据为锐角三角形，可得角的取值范围，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，
又，所以；
（2）由（1）可知，
所以，
由正弦定理，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，即，
又，
所以，所以面积的取值范围为.
跟踪训练1（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
（2）如图，由题意及第（1）问知，，
且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，
故的面积的最小值为.
跟踪训练2（24-25高三上·广东·阶段练习）已知向量，，设函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）利用向量的坐标运算和数量积的坐标运算结合三角恒等变换得到，再利用整体法求解函数的值域；
（2）在（1）基础上，结合得到，再利用勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值.
【详解】（1），
，
又，则，故，
因此可得，
即函数的值域为．
（2）由（1）可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，即面积最大值为1．
跟踪训练3（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）.
(1)求角；
(2)，求的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【答案】(1)选①或②或③，
(2)
【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）选①，利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选②，利用正弦定理结合余弦定理求出的值，再由角的取值范围可得出角的值；
选③，利用正弦定理、两角和的正弦公式、辅助角公式化简可得出，求出角的取值范围，即可求得角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可得出的最大值.
【详解】（1）解：若选①，因为，由正弦定理可得，
因为、，则，，所以，，
所以，，故；
若选②，因为，
由正弦定理可得，
所以，，由余弦定理可得，
因为，故；
若选③，因为，
由正弦定理可得
，
所以，，
因为、，则，则，
即，可得，
因为，则，
所以，，故.
（2）解：因为，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积、坐标计算向量的模
【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】因为，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
2．（2022·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示平面向量、数量积的坐标表示
【分析】由题可得为的中点，建立直角坐标系利用向量的坐标法即得.
【详解】在线段上，且，
.
又为线段上一点，若与的面积相等，
，为的中点.
如图，建立平面直角坐标系，则，，，，，
，，
.
故选：D.
3．（2024·山东威海·一模）在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、基本不等式求和的最小值
【分析】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.
【详解】，，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用
【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，利用二次函数配方法求得答案.
【详解】因为，，
所以，得，
所以，，
，
所以，
，
设，则，
当，即，也就是时，
取得最小值.
故选：C.
二、填空题
5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】由余弦定理可得，从而得，根据向量的线性运算求解即可.
【详解】解：由，解得，
设，
则
.
故答案为：
6．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）如图所示，正的边长为，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题
【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】连接，因为为边长为的等边三角形，且为的中点，则，
以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，设点，其中，
则，，
所以，
因为，则，所以，
故.
因此的取值范围为.
故答案为：.
7．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量
【分析】由向量在向量上的投影向量为，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，用含的式子表示出点和点的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算法则，求解即可.
【详解】由，知，
因为，，
所以
，
所以向量在向量上的投影向量为
；
若，则，
以为原点建立空间直角坐标系，则，
设，则，，
所以，，
所以，，
所以，
是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，
当时，取得最小值.
故答案为：；
8．（24-25高三上·天津·期中）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则 ；的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示、辅助角公式
【分析】由图形特征，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，由点坐标写出向量坐标，利用平面向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，
由，，得，
则，所以；
设，，则
，
由，得，，，
所以的取值范围是.
故答案为：；
三、解答题
9．（2025届江西省“三新”协同教研共同体高三联考模拟预测数学试题）在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)12
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角；
（2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长.
【详解】（1）由正弦定理知，
在中，，
所以.
又，，可得，
所以.
（2）由题意可知的面积.
因为，所以.
由余弦定理，
可得，即，
所以，所以，
故的周长为12.
10．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）利用正弦定理转化为三角函数值的关系，结合三角形内角范围得到答案；
（2）利用面积公式和余弦定理转化，结合基本不等式得到答案.
【详解】（1）由正弦定理，将边的关系化为角的关系，得，
又有，化简得：.
又，则.
（2）由三角形面积公式，，，则，
由余弦定理：，
由基本不等式，，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，取得最小值4.
故的最小值为.
11．（24-25高二上·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）用正弦定理把角的正弦值转化成对应边，再用余弦定理即可得到答案.
（2）由（1）中结论得到关于，边的等式，利用基本不等式得出结果.
【详解】（1），
由正弦定理得，
故，又
故.
（2）由，
即，
解得，
当且仅当时取得等号，
故周长的最大值为.
12．（23-24高一下·广东惠州·期中）在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.条件①；条件②.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）选条件①，根据正弦定理边化角公式得到，从而得到.选条件②，根据余弦定理得到，即可得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理面积公式求解即可.
（2）解法一，利用正弦定理得到，从而得到，再求其范围即可.解法二，首先利用余弦定理得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）选条件①，，由正弦定理，
，
又，，
而，故；
选条件②，，，
即，
，
又，故.
在中，当，，时，
由余弦定理得：，即，，
所以.
（2）解法一：由题设及小问1可知：，，
故由正弦定理，所以.
得：
，， 所以
故，
即.即的取值范围为.
解法二：由题设及小问1可知：，，故由余弦定理得：，
则，解得.
当且仅当时等号成立.
由三角形的稳定性可知.
所以，即的取值范围为.
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，设函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【知识点】数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域；
（2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值.
【详解】（1），
，
当时，，
，
所以函数的值域为
（2）由（1）可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，
即面积最大值为.
14．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，已知
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】基本（均值）不等式的应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式得到，求出；
（2）由基本不等式求出，得到面积的最大值.
【详解】（1），由正弦定理得
，
其中，
故，
故，
因为，所以，故，
由辅助角公式得，即，
因为，所以，
所以，解得；
（2），，
由余弦定理得，即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，解得，仅当时取等，
故的面积，最大值为.
15．（23-24高一下·广东清远·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
(2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值.
【答案】(1)最小正周期为，相邻两条对称轴的距离为；
(2)
【知识点】基本（均值）不等式的应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、求正弦（型）函数的最小正周期
【分析】（1）利用求出最小正周期，并求出图象相邻两条对称轴距离；
（2）由正弦二倍角公式得到，由余弦定理求出，由基本不等式求出，从而得到面积最大值.
【详解】（1）的最小正周期为，
它的图象相邻两条对称轴的距离为；
（2）由题意得，即，
因为，所以，故，
由余弦定理得，即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，解得，
其中，
故面积，
故面积的最大值为.
1
