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第六章 平面向量及其应用（单元重点综合测试）
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．或
5．已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ）
A．的值不可能大于 B．
C．的最小值为 D．的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 .
13．在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 .
14．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，且．
(1)求；
(2)求与的夹角．
16． 在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)若，且，求的面积．
17．的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
18．在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M．
(1)求（结果用表示）；
(2)若．
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域．
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第六章 平面向量及其应用（单元重点综合测试）
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
2．已知，若则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得的值.
【详解】.
故选：D
3．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求投影向量
【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为
.
故选：A.
4．中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.
【详解】由题意，在中，则，所以，
因为，所以或，又，所以．
故选：A
5．已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用重心性质以及平面向量共线定理可得，再由基本不等式计算可得结果.
【详解】如图，取中点，则，
，
三点共线，，即，
，
当且仅当时，取等号.
即的最小值是.
故选：B
6．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形面积公式及其应用
【分析】由已知可得，可求，可求的面积.
【详解】因为在中，，又为边上一点，且，
所以，
又，所以，
所以，解得，
所以.
故选：D.
7．雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】高度测量问题
【分析】延长DC与AB的延长线交于点E，根据角的关系得，，设，在中由余弦定理得列式得，从而有，即可求解.
【详解】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E.
由已知得，，
则，则，，
设，则，
又，则在中，由余弦定理得，
即，解得，所以，
又因为，所以.
故选：C
8．在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求二次函数的值域或最值、向量加法的法则、向量模的坐标表示、平面向量共线定理的推论
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，所以，
当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，
，
由二次函数在上单调递减可得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式，利用函数单调性可求得结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【分析】根据向量关系式表示垂直和平行，以及向量的数量积公式即可逐个选项判断.
【详解】对于选项A，因为，，是两个非零向量，所以，故A错误；
对于选项B，，所以，
又，所以，所以，故B正确；
对于选项C，因为，所以，所以，故C正确；
对于选项D，因为，所以，从而，
所以，故D正确.
故选：BCD
10．设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】对于A，由正弦定理可得，从而得或，即可判断；对于B，由正弦定理可知，即有，即可判断；对于C，由三角形内角和为及诱导公式可得，即可判断；对于D，由正弦定理及两角和差公式可得，从而得，即可判断.
【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意；
对于B，由正弦定理可知，
又因为，所以，
所以，
所以是等腰三角形，符合题意；
对于C，因为，解得，
所以，是直角三角形，不符合题意；
对于D，由正弦定理可知，
所以，
即，
，
即，
所以，是等腰三角形，符合题意.
故选：BD.
11．如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ）
A．的值不可能大于 B．
C．的最小值为 D．的最大值为1
【答案】BD
【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律
【分析】对于A，利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B，根据等边三角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D，利用平面向量的线性运算，整理所求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案.
【详解】对于A选项，过点作交延长线于，
过点作交于，作图如下：
在平行四边形中，，由，则，故A选项错误；
对于B选项，，故B正确；
对于C、D选项，取线段中点，连接，，作图如下：
，
在等边三角形中，易知，所以，
，则，
设与的夹角为，易知，则，
所以，故C选项错误，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 .
【答案】
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
【分析】借助向量线性运算可得、，再利用向量共线定理计算即可得.
【详解】，
，
由三点共线，则有，解得.
故答案为：.
13．在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理边角互化得到，结合余弦定理求得.
【详解】因为，
由正弦定理得，整理可得，
则，且，故.
故答案为：
14．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】设，，，利用结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求.
【详解】设，，，由题意可得，且，
因为，即，
可得，由题意可知，，，
所以，，由，解得，
所以，，
令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，则，
由余弦定理可得
，故，
因此，的长的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，且．
(1)求；
(2)求与的夹角．
【答案】(1)5
(2)
【知识点】向量夹角的计算、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得；
（2）根据向量夹角的坐标公式计算即可求得.
【详解】（1）因为向量，所以，
由得，解得，所以.
又，所以.
（2）设向量与向量的夹角为，
因为，则，
又，所以，
即向量与向量的夹角是.
16． 在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理计算可得结果；
（2）利用余弦定理以及各边长度代入解方程可得，再由三角形面积公式计算可得结果.
【详解】（1）由可得，
根据正弦定理可得.
（2）由可得，
整理可得，即；
解得或；
当时，由，可得，与矛盾，舍去；
可得，代入，可得，
解得，所以；
由可得，即；
所以的面积为
17．的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量减法法则的几何应用
【分析】（1）用正弦定理求出，可得出角的两个值，再根据“大边对大角，小边对小角”得出结果.
（2）条件①：用等面积法列出对应的、关系式，结合余弦定理解出的值，可以求出的面积；条件②：以AB、AC为邻边作平行四边形，列出，将两式平方相加可得出的值，再结合余弦定理解出的值，可以求出的面积.
【详解】（1）由，得，
因为中，，
所以或，
又因为，所以，所以.
（2）选择①：设的平分线交BC于点，
则，，
，
，
，即，
在中，由余弦定理，
，
，，
，，.
选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形，
则有，两式平方相加得：，
即
又结合已知：，，
可解得，即，
在中，由余弦定理得：，
将，，代入解得：，
.
18．在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)或.
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、向量垂直的坐标表示
【分析】（1）由，得到，再利用正弦定理求解；
（2）根据和，利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由求解.
【详解】（1）解：∵，
∴，即.
由正弦定理得.
∵，∴，
∵，∴或.
（2）∵，且三角形为锐角三角形，
∴.
∴由正弦定理得.
∴，.
∴，
，
.
又∵为锐角三角形，∴，
∴，得，.
∴，，
∴，又∵，
∴.
∴的周长的取值范围为.
19．如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M．
(1)求（结果用表示）；
(2)若．
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、半角公式、数量积的运算律
【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合二倍角公式化简即可.
（2）①结合给定条件，将目标式表示为三角函数，结合有界性求解即可.
②利用给定条件将目标式表示为一元函数，结合换元法和定义法求解值域即可.
【详解】（1），
（2）①，
，
设．由题意得，则，
，，
，所以
，
因为，则，
所以，则；
②设，
则，
所以，由得，
即，
整理得，所以，
所以．
即，，
令，，
，，令．
；
∵，，，
则，即，
∴在上单调递增，则，
所以函数值域是.
【点睛】关键点点睛：解题关键是利用平面向量的线性运算将目标式表示为一元函数，然后利用换元法结合定义法得到所要求的值域即可．
1
