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第六章 平面向量及其应用（压轴题专练）
题型一：平面向量共线定理推论应用
1．（多选）（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为12 D．的最小值为4
2．（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 .
4．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，是的角平分线，且是上的一点，过的直线分别交边于点，且的面积为．
(1)求线段的长；
(2)若，求的值．
5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，.
(1)用，表示；
(2)求的最小值.
题型二：向量数量积（几何意义法）
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（ ）
A．为定值 B．不为定值，有最大值
C．为定值 D．不为定值，有最小值
2．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 .
4．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：向量数量积（建系法）
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（24-25高三上·河北·期末）在边长为2的等边三角形中，点D为边的中点，点P在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
4．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 .
5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．
题型四：向量数量积（极化恒等式法）
1．（多选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 .
3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ．
题型五：向量模
1．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（ ）
A． B． C．4 D．
2．（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（24-25高三上·天津北辰·期中）如图，平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 .
4．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 .
5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为
题型六：向量夹角
1．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知向量，，，若则实数（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ．
4．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）如图，在中，已知，边上的两条中线相交于点P，则的余弦值为 ．
5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在 中，已知 ， ， ， ，点 为 边的中点， ， 相交于点 ．
(1)求；
(2)求 ．
题型七：三角形周长（边）
1．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）锐角中，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 .
8．（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，.
(1)求的大小；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分.
(3)若，求周长的取值范围.
9．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围．
10．（23-24高一下·福建厦门·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若D为AB中点，且，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围．
题型八：三角形面积
1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
2．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 .
4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 .
5．（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且.
(1)若时，求面积的最大值；
(2)若
①求角的大小；
②当取得最大值时，求的面积.
6．（甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求面积的最大值.
题型九：三角形中线
1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，则AB中线CM长等于 .
2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
3．（24-25高三上·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足.
(1)求；
(2)当时，求边上中线的范围.
4．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上．
(1)用正弦定理证明；
(2)若，求DE的长．
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)求边上的中线的取值范围.
题型十：三角形角平分线
1．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 .
2．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)若，则________；
(2)若，则的面积为________；
(3)已知的角平分线交于，求的最大值.
3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；
(3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值.
4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足.
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
5．（23-24高一下·浙江）的内角的对边分别为已知，为的角平分线．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
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第六章 平面向量及其应用（压轴题专练）
题型一：平面向量共线定理推论应用
1．（多选）（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为12 D．的最小值为4
【答案】BD
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、条件等式求最值、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为，所以，
又，
因为、、三点共线，所以，
又，为正实数，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
2．（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ．
【答案】
【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论
【分析】根据向量的线性运算法则结合平面向量基本定理，将，用表示出来即可求解.
【详解】，
如图，三点共线，
设，则，
所以，
三点共线，
设，则，
所以，
所以，解得，
所以，又，即得.
故答案为：；.
3．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 .
【答案】/
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论
【分析】把用表示，然后由三点共线定理得出结论．
【详解】由题意
，
因为，，三点共线，所以，解得.
故答案为：.
4．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，是的角平分线，且是上的一点，过的直线分别交边于点，且的面积为．
(1)求线段的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论
【分析】（1）利用向量线性运算得到，利用角平线的性质得，从而由余弦定理得，再利用，即可求出结果；
（2）设，
由面积公式得到，再利用向量共线得到，再结合条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
即，得到，
因为是的角平分线，所以，所以．
又，由余弦定理得，
又，所以，
因为，所以，
解得.
（2）设，
，解得，
因为，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，又，
所以，
得到，又，解得，
所以，得到，所以．
5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，.
(1)用，表示；
(2)求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得.
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由，，，，
得，又、、三点共线，因此，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取最小值.
题型二：向量数量积（几何意义法）
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（ ）
A．为定值 B．不为定值，有最大值
C．为定值 D．不为定值，有最小值
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、向量加法的法则
【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可.
【详解】如图，记的中点为，由题可知，，
，，所以.
故选：C.
2．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值、用定义求向量的数量积
【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案.
【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值，
延长交的延长线于点，
的最大值为，
其中正八边形的外角为，故，
故，，
故，
所以最大值为.
故选：B
3．（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、求投影向量
【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围.
【详解】
如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系.
因，
而表示在方向上的投影向量的数量，
由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点，
则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小.
易得，则的最大值为6，最小值为，
故.
故答案为：.
4．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的坐标表示
【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．
【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负，
分别过作，，为垂足，
则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值，
是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，是中点，则，
，，，
，，
所以的范围是，
故选：B．
题型三：向量数量积（建系法）
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用平方关系求参数、数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用
【分析】令，，进而有，应用向量数量积的坐标表示得，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值.
【详解】不妨令，，又，则，
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C
2．（24-25高三上·河北·期末）在边长为2的等边三角形中，点D为边的中点，点P在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示
【分析】建立直角坐标系，设点，可得，由，可得，设，，利用辅助角公式可得，即可求得的最大值．
【详解】
已知等边三角形的边长为2，点D为边的中点，
如图，建立直角坐标系，则，，，
设点，则，，
则，
又因为，所以，
设，，
则，
所以的最大值为．
故答案为：．
3．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示、向量在几何中的其他应用
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；
解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
4．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 .
【答案】[8，24]
【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示
【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围.
【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，
则，设，
则，
因为，所以，
.
故答案为：.
5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得；
作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果.
【详解】，，，，
，
，又，；
作，垂足为，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，
设，，，
解得：，，
，，，
，
则当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
题型四：向量数量积（极化恒等式法）
1．（多选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】BCD
【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、用定义求向量的数量积
【分析】根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质，即可求解.
【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，
根据题意可知，是边长为的正三角形，易得，
，
根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值，
此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时
综上，.
故选：BCD
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 .
【答案】9
【知识点】用定义求向量的数量积
【分析】利用极化恒等式可求出，再利用极化恒等式可求的值.
【详解】如图，在中，D为的中点，下面证明结论：.
因为D为的中点，
所以，所以①
又，所以②
①-②得，所以
因为在平面四边形中，O为的中点，且，.
所以，解得，
.
故答案为：
【点睛】结论点睛：极化恒等式
如图，在中，D为的中点，则有结论：.
3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法的法则
【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可．
【详解】如图，为圆心，连接，
则
．
因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，
则，即的取值范围是，
故答案为：．
题型五：向量模
1．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】先求出直线的方程，根据在线段上，设出点坐标，列出方程，再根据列方程，解方程组，得到点坐标，可求的长度.
【详解】如图：
点A，C在一次函数的图象上.
设，
则，，，解得（舍去），
所以，，.
故选：B
2．（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】ABC
【知识点】求二次函数的值域或最值、坐标计算向量的模、由向量线性运算解决最值和范围问题、解析法在向量中的应用
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，，
设，因为，所以，即，，故，，
则，
，因为，所以.
故选：ABC
3．（24-25高三上·天津北辰·期中）如图，平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】用基底表示向量、已知数量积求模
【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值.
【详解】设，
则
，
∴，故，
∴，即.
由的面积为得，，故，
∴
，当且仅当时取等号,
∴的最小值为.
故答案为：；.
4．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 .
【答案】2
【知识点】求二次函数的值域或最值、已知数量积求模
【分析】求出，进而求出，将转化为以为未知量的函数问题，求出最大值即可.
【详解】因为，的夹角为，
所以，则，
当时，，
当时，，
当时，取最大值，，
综上：的最大值是2.
故答案为：2
5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为
【答案】
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模
【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可.
【详解】因为，，，，
所以
，
所以当时，的最小值为，
故答案为：.
题型六：向量夹角
1．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知向量，，，若则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示
【分析】由向量坐标的运算求出向量的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值．
【详解】由，，则，
又，则，
则，即，
，解得，
故选：C.
2．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、向量夹角的坐标表示
【分析】由已知，由正弦定理、余弦定理可得，，可得是直角三角形，以为原点，建立直角坐标系，由又E为BC中点，在线段AB上，且，可得，的坐标，利用坐标运算可得的余弦值.
【详解】已知，由正弦定理得，又，
由余弦定理，所以，
则有，即是以为直角的直角三角形，
如图，以为原点，建立直角坐标系，设，则，
又E为BC中点，在线段AB上，且，
则，，，，，
解得．
故选：B.
3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】向量夹角的坐标表示
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
在平行四边形中，已知，，，点在边上，，
则、、、，则，，
所以，.
故答案为：.
4．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）如图，在中，已知，边上的两条中线相交于点P，则的余弦值为 ．
【答案】/
【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的坐标表示
【分析】根据题意利用余弦定理可得，即为直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可得出结果.
【详解】在中，由余弦定理可得，即；
因此满足，可得是以的直角三角形；
以为坐标原点，分别为轴，轴，如下图所示;
,
易知即为向量的夹角，
所以.
故答案为：
5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在 中，已知 ， ， ， ，点 为 边的中点， ， 相交于点 ．
(1)求；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的坐标表示
【分析】（1）由为中点得，在中，通过余弦定理即可求；
（2）建立平面直角坐标系，求，，由数量积夹角公式得，并计算即可.
【详解】（1）因为，且为中点，
所以.
由余弦定理得：，
即，
所以，
即．
（2）如图，以为原点，直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设点，
由可得：，
即
解得：，
所以，，
则，
所以．
题型七：三角形周长（边）
1．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案.
【详解】由余弦定理可知：，
在锐角三角形中又有，
即
故答案为：C．
2．（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求含tanx的函数的定义域、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，根据是锐角三角形求出角的取值范围，可求出的取值范围，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围.
【详解】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
3．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量，从而表达，再利用正弦定理来表示边，来求得周长关于角的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样设出动点坐标，用坐标法求出距离，然后同样把周长转化为关于角的函数，进而求出取值范围.
【详解】
（法一）如图，连接设，则，，
故．在中，由正弦定理可得，
则．
在中，由正弦定理可得，则．
平行四边形的周长为
．
因为，所以，所以，所以，
所以，则，
即平行四边形BCDE的周长的取值范围是．
（法二）以O为原点，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系．
设，则，，
从而，，，
，
故平行四边形的周长为．
因为，所以，所以，
则，即平行四边形的周长的取值范围是．
故选：A.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】由二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式化简已知式可得，又由三角形为锐角三角形求出，进而求出，由正弦定理化简，再令，由二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，所以．
由正弦定理得，即，
所以，所以，即，
所以或（舍去），
得．因为为锐角三角形，所以，
，得，所以．
所以
．
令，则，，
结合二次函数的性质可得，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先由二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式化简已知式可得，再由三角形为锐角三角形求出，进而求出，由正弦定理化简，再令，由二次函数的性质即可得出答案.
5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）锐角中，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】由已知求得的取值范围是，由正弦定理把表示为的三角函数，由三角函数恒等变换结合正弦函数性质可得取值范围．
【详解】由正弦定理得：，
，
所以，
，
因为三角形为锐角三角形，所以，，
从而得，
所以，所以．
故选：C.
6．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、利用不等式求值或取值范围
【分析】根据给定条件，可得，借助两边的和大于第三边得，再将所求消去a，借助不等式性质求出范围.
【详解】由，得，，
在中，由，得，于是，即，
因此，
所以的取值范围为.
故选：C
7．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 .
【答案】21
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本（均值）不等式的应用
【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，可求得，即可得出三角形周长最大值.
【详解】解：因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
因为，所以，
得，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以周长的最大值为21.
故答案为：21.
8．（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，.
(1)求的大小；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分.
(3)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）由正弦定理将边转化为角即可求解；
（2）选条件①：由同角三角函数的平方关系可求，由三角形内角和定理可得，由正弦定理可求边，根据面积公式求解即可；选条件②：由已知可求，结合正弦定理可求，由大边对大角即可判断；选条件③：由余弦定理可求边，根据面积公式求解即可；
（3）由正弦定理可表示边，，结合三角函数即可求解取值范围.
【详解】（1）由，得，
在中，由正弦定理得，
因为，，所以，
又，所以；
（2）选条件①：，所以，
由可得，
由，可得或，
由正弦定理解得或，
当时，的面积为，
当时，的面积为；
选条件②：，所以为钝角，且，
由正弦定理，得，
所以，又，故此三角形不存在；
选条件③：，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或，
当时，的面积为，
当时，的面积为；
（3）由正弦定理，可得，，
所以周长为
，
因为，所以，，，
所以周长取值范围为.
9．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可；
（2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可．
【详解】（1）根据题意得，，
由正弦定理得，，
即，
即，
因为，则，则，
则，则．
（2）由正弦定理得，，所以．
所以，
因为是锐角，则，即，解得．
则，故．
所以，则的取值范围为．
10．（23-24高一下·福建厦门·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若D为AB中点，且，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)．
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出；
（2）由已知可得，两边平方，可得，可得面积的最大值.
（3）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
即，由正弦定理得
由余弦定理得，
又，∴．
（2）因为是的中点，所以，两边平方可得，
，
即，当且仅当时等号成立．
此时面积的最大值为
（3）∵，∴，，
则的周长
∵，∴，∴，
∴，
∴周长的取值范围是．
题型八：三角形面积
1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当，即时，取得最大值.
故选：C.
2．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得.
【详解】因为，
由正弦定理可得，即，即，
所以，又，则，
又因为，，即，
所以，当且仅当时取得等号，
所以，
即面积的最大值为，当且仅当时取得.
故选：A．
3．（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形
【分析】在锐角中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a表示c，再根据是锐角三角形得到a的范围，然后利用三角形的面积公式求解.
【详解】解：在锐角中， ，且，
由余弦定理得：，解得；
由余弦定理得，
因为是锐角三角形，所以 ，
即 ，解得 ，
所以，
故答案为：，
4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用
【分析】根据向量的模长公式可得，即可利用面积公式得，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】设
由于,所以,
故,
故当时，此时取最大值36，故面积的最大值为6，
故答案为：6
5．（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且.
(1)若时，求面积的最大值；
(2)若
①求角的大小；
②当取得最大值时，求的面积.
【答案】(1)1
(2)①；②.
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）根据线段的比值关系与余弦定理求出，再求出面积表达式，求出最大值即可.
（2）根据数量积表达式和正弦定理化简，得到，再由余弦定理即可求解；根据两次余弦定理得到，换元求最大值，从而求得，求得面积即可.
【详解】（1）由题意可得，，
根据余弦定理得，
所以，
所以的面积为，
当，即时，面积最大，最大值为1.
（2）①由，
，
则，
由正弦定理得，化简得，
所以，
又因为，所以.
②因为，由，可得
，
整理得，
又因为，所以，
令为锐角，
则，其中为锐角，
当，即时，取得最大值.
此时，，
解得，
的面积为.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题.关键点是求得之后，利用换元表示出，从而进行三角函数化简得到的最小值，并求得此时的值，代入面积公式即可求解.
6．（甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得，结合三角形内角的范围可得结果.
（2）根据题目条件结合余弦定理得，利用基本不等式得，根据三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴.
（2）由余弦定理得，，即，
∵，∴，当目仅当时，等号成立，
∴，
∴面积的最大值为.
题型九：三角形中线
1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，则AB中线CM长等于 .
【答案】/
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】利用两次余弦定理计算即可求解.
【详解】由题意知，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得
，
即，而，，
解得，又，所以.
（2）由及，余弦定理得，
又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形， ，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边上的中线的取值范围为．
3．（24-25高三上·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足.
(1)求；
(2)当时，求边上中线的范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简求解.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用向量数量积的运算律求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
则，即，
于是，而，，则，
所以.
（2）由（1）及余弦定理，得，
当且仅当时取等号，
因此，由为边上中线，得，
则，
所以边上中线的范围是.
4．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上．
(1)用正弦定理证明；
(2)若，求DE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式、几何图形中的计算
【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论；
（2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求.
【详解】（1）由正弦定理知，在中，，
在中，，
由，，
所以，
所以；
（2）在中，由余弦定理可得，
所以，由（1）可得，所以，
因为是边上的中线，所以，
所以.
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）由及余弦定理得，
即，
又因为，所以，
所以，
所以，
即；
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即边上的中线的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
题型十：三角形角平分线
1．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用
【分析】根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解.
【详解】在中，由得，
由余弦定理得，
且，所以.
又因为AD是的平分线，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
且是锐角三角形，所以，解得，
则，可得，所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
2．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)若，则________；
(2)若，则的面积为________；
(3)已知的角平分线交于，求的最大值.
【答案】(1)4
(2)
(3)3
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可；
（2）结合面积公式求解即可；
（3）由余弦定理得出的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于的方程，化简后再换元求最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
即.
（2）当时，，由（1）知，
所以，
所以.
（3）由余弦定理可得,
即，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
由面积公式可得，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时，有最小值，有最大值，
即三角形为正三角形时，有最大值3.
【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于的表达式，再平方后运用余弦定理得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大.
3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；
(3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解；
（2）根据，再结合基本不等式即可得解；
（3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
而，
则，
由，因此，则，
由，得，解得，
又，所以.
（2）
由得，，而，则，
又，
因为内角的角平分线交边于，所以，
∴，
∴.
（3）
在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足.
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)．
【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得；
（2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】（1）由得，
由正弦定理得，即，
由，所以，化简得，
所以，所以.
（2）由，
得，
即，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
5．（23-24高一下·浙江）的内角的对边分别为已知，为的角平分线．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）用正弦定理得到边长之间的关系，再将面积比转化为边长比求解即可.
（2）利用余弦定理求出边长关系，解方程即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，得，由正弦定理得．
因为AD为∠BAC的角平分线，所以．
所以．
（2）设△ABC的BC边上的高为h，由（Ⅰ）知，，
所以，
在△ABD中，由余弦定理，得，
在△ACD中，由余弦定理，得，
所以，
即，
解得．
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