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第十章 概率 易错训练与压轴训练
易错题型一 误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念 1
易错题型二 混淆了互斥事件与对立事件的区别 2
易错题型三 忽视了概率加法公式适用的前提条件 2
易错题型四 基本事件列举时出现重复或者遗漏 3
易错题型五 混淆了有放回和无放回 5
压轴题型一 独立事件的判断 6
易错题型一 误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念
例题1：（23-24高一下·全国·课后作业）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
例题2：（23-24高二上·湖北宜昌）某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（ ）
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
巩固训练
1．（24-25高二·全国·假期作业）已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件
C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件
2．（2024高一下·全国·专题练习）气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是
A．本市明天将有30%的地区降水
B．本市明天将有30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
易错题型二 混淆了互斥事件与对立事件的区别
例题1：（23-24高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”
C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球”
例题2：（多选）（23-24高二下·云南大理·期末）小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（ ）
A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件
B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件
D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
巩固训练
1．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球
C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球
2．（2024高一·山东德州·专题练习）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是
A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品
C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品
易错题型三 忽视了概率加法公式适用的前提条件
例题1：（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2：（多选）（24-25高二上·河北保定·开学考试）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2024·安徽合肥·模拟预测）设是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若互斥，则
B．若，则
C．
D．若相互独立，则
易错题型四 基本事件列举时出现重复或者遗漏
例题1：（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①写出样本空间；
②设事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.
例题2：（23-24高三上·宁夏吴忠·阶段练习）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.
(1)求实数a的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率.
巩固训练
1．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求下列事件的概率：
①A=“两个点数之和是”；
②B=“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.
2．（2023高一·全国·专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组．
(1)该活动包含了多少个基本事件？
(2)抽出男同学比女同学多的概率是多少？
易错题型五 混淆了有放回和无放回
例题1：（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ）
A．取出的3个球颜色相同的概率为
B．取出的3个球颜色不全相同的概率为
C．取出的3个球颜色全不相同的概率为
D．取出的3个球无红球的概率为
巩固训练
1．（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.
(1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.
压轴题型一 独立事件的判断
例题1：（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ）
A．事件A和相等 B．事件A和互相对立
C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥
例题2：（多选）（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
巩固训练
1．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件
C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件
2．（2024高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（ ）
A．事件和相互独立 B．事件和相互独立
C．事件和相互独立 D．事件和相互独立
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第十章 概率 易错训练与压轴训练
易错题型一 误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念 1
易错题型二 混淆了互斥事件与对立事件的区别 3
易错题型三 忽视了概率加法公式适用的前提条件 5
易错题型四 基本事件列举时出现重复或者遗漏 7
易错题型五 混淆了有放回和无放回 10
压轴题型一 独立事件的判断 13
易错题型一 误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念
例题1：（23-24高一下·全国·课后作业）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【知识点】天气预报中的概率解释
【解析】根据概率的意义,可判断各选项.
【详解】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.
例题2：（23-24高二上·湖北宜昌）某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（ ）
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
【答案】B
【知识点】抽奖、彩票的概率解释
【分析】根据随机事件概率的定义逐个分析判断即可.
【详解】购买这种彩票100000张，相当于做100000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，
所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，
对于ABD，购买这种彩票100000张，可能没有一张中奖，所以AD错误，B正确
对于C，购买这种彩票1张，有可能中奖，所以C错误，
故选：B
巩固训练
1．（24-25高二·全国·假期作业）已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件
C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件
【答案】D
【知识点】其他问题中的概率解释
【分析】根据概率的定义与性质，直接可求解.
【详解】某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，
在A中，合格产品可能不少于90件，故A错误；
在B中，合格产品可能不多于90件，故B错误；
在C中，合格产品可能不是90件，故C错误；
在D中，合格产品可能是90件，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.
2．（2024高一下·全国·专题练习）气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是
A．本市明天将有30%的地区降水
B．本市明天将有30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
【答案】C
【知识点】天气预报中的概率解释
【分析】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%,
逐一分析每个选项，得出答案.
【详解】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%,
故A、B、D均不正确，
故选C
【点睛】本题主要考查了随机事件的概率，属于基础题.
易错题型二 混淆了互斥事件与对立事件的区别
例题1：（23-24高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”
C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球”
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系
【分析】利用互斥事件不可能同时发生，来检验各选项即可.
【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，
共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球，
这三个事件是互斥事件.所以B是正确的；
由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄，
而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄，
当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误；
由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球，
而至多一个黄球包含一黄一白和两白球，
所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误；
由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球，
而都是黄球显然也是两黄球，故D错误；
故选：B.
例题2：（多选）（23-24高二下·云南大理·期末）小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（ ）
A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件
B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件
D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
【答案】CD
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【详解】对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，
可能的结果有，两个景点都不选择，选择一个景点，选择两个景点，
事件“至少选择其中一个景点”包括选择一个景点和选择两个景点，
事件“至多选择其中一个景点”包括两个景点都不选择和选择一个景点，
所以事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，
A错误；
事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，B错误；
事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”不能同时发生，C正确；
事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”不能同时发生，
并且必有一个发生，D正确.
故选：CD
巩固训练
1．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球
C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解.
【详解】A. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；至少有一个绿球等价于：一个绿球，一个红球；两个绿球，不互斥.
B. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是红球不互斥.
C. 恰有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；与恰有两个绿球互斥不对立
D. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是绿球互斥且对立
故选：C
【点睛】本题主要考查随机事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．（2024高一·山东德州·专题练习）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是
A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品
C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品
【答案】D
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】根据对立事件和互斥事件的定义,依次判断每个选项得到答案.
【详解】A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件.
B、至少有1件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件.
C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件.
D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是次品”的情况,故满足条件.
故选:D.
【点睛】本题考查了对立事件和互斥事件，意在考查学生对对立事件和互斥事件的理解,难度较易.
易错题型三 忽视了概率加法公式适用的前提条件
例题1：（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率的基本性质
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.
【详解】依题意，.
故选：D
例题2：（多选）（24-25高二上·河北保定·开学考试）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.
【详解】对于A，因为事件两两互斥，
所以，故A错误；
对于B，由，得，故B正确；
对于D，由，得，故D正确；
对于C，因为，故C正确.
故选：BCD.
巩固训练
1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率的基本性质
【分析】由概率的性质即可得到答案.
【详解】由概率的性质，
.
故选：B.
2．（多选）（2024·安徽合肥·模拟预测）设是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若互斥，则
B．若，则
C．
D．若相互独立，则
【答案】BCD
【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件、概率的基本性质、独立事件的乘法公式
【分析】根据概率的性质即可逐项判断得到答案.
【详解】对于选项A：若A，B互斥但不对立，则，故A错误；
对于选项B：若，，故B正确；
对于选项C：显然，故C正确；
对于选项D：若相互独立，则也相互独立，则，故D正确.
故选：BCD.
易错题型四 基本事件列举时出现重复或者遗漏
例题1：（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①写出样本空间；
②设事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.
【答案】(1)甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人
(2)①答案见解析；②
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出基本事件、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）根据分层抽样得定义即可得解；
（2）①利用列举法即可得解；
②利用古典概型求解即可.
【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，
因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；
（2）①设甲年级的是，乙年级的是，丙年级的是，
则样本空间为
；
②由①得，事件包含的基本事件为共5种，
所以.
例题2：（23-24高三上·宁夏吴忠·阶段练习）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.
(1)求实数a的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率.
【答案】(1)
(2)（万元）
(3)
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图、写出基本事件
【分析】（1）由频率分布直方图列方程，能求出实数a的值；
（2）利用频率分布直方图能求出平均数的估计值；
（3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4)间的有4人，记为，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，通过列举法求出抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的概率.
【详解】（1）由题意知，，
解得；
（2）平均数的估计值为 (万元)
（3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6人，
则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为，
购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有:
共15种情况，
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有共6种情况，
所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有6种情况，
所以抽到的2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3 ,4)间的概率为
巩固训练
1．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求下列事件的概率：
①A=“两个点数之和是”；
②B=“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.
【答案】(1)样本空间详见解析
(2)①；②
【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）列用列举法求得正确答案.
（2）结合（1）以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）样本空间为：
{，
，
，
，
，
}.
（2）①“两个点数之和是”，包括的样本为：
，，，，，
所以.
②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”，包括的样本为：
，，，
，，
所以.
2．（2023高一·全国·专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组．
(1)该活动包含了多少个基本事件？
(2)抽出男同学比女同学多的概率是多少？
【答案】(1)20个；
(2).
【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）对6名同学编号，利用列举法列出所有基本事件即可作答.
（2）由（1），求出抽出男同学比女同学多的基本事件数，再利用古典概型计算作答.
【详解】（1）4名男同学分别记为，2名女同学分别记为，选出的3人构成的一组记为，表示一个基本事件，
从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为：
，
，共20个，
所以该活动包含了20个基本事件.
（2）由（1）知，抽出的男同学比女同学多的事件包含的基本事件有：
，
，共16个，
所以抽出男同学比女同学多的概率.
易错题型五 混淆了有放回和无放回
例题1：（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有放回与无放回问题的概率
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，
记事件 “抽到的两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12个样本点，
其中有8个样本点，所以.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16个样本点，
其中有8个样本点，所以.
故选：A.
例题2：（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ）
A．取出的3个球颜色相同的概率为
B．取出的3个球颜色不全相同的概率为
C．取出的3个球颜色全不相同的概率为
D．取出的3个球无红球的概率为
【答案】BC
【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率
【分析】应用古典概型计算各个选项即可.
【详解】设取得黄、红、白球分别为，
有放回地取球3次，
共
27种等可能结果，
其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误；
颜色不全相同的结果有24种，
,其概率为，故B正确；
颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确；
无红球的结果有8种，其概率为，故D错误．
故选：BC.
巩固训练
1．（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式分别求得三个方案选到2号球的概率，从而得解.
【详解】方案一：易得“选到2号球”的概率；
方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件，
其中“选到2号球”的基本事件有，共件，
所以“选到2号球”的概率为；
方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件，
其中“选到2号球”的基本事件有，共1件，
所以“选到2号球”的概率为；
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
2．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.
(1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.
【答案】(1)
(2)结果见解析，
【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率
【分析】（1）根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果；
（2）根据条件，列出样本空间点和事件的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果.
【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个.
设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则.
所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为.
（2）一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种.
设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种.
所以，.
压轴题型一 独立事件的判断
例题1：（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ）
A．事件A和相等 B．事件A和互相对立
C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥
【答案】D
【知识点】写出基本事件、相互独立事件与互斥事件、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系
【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断.
【详解】用每次取球的结果，分别表示甲 乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，
由题意可知：样本空间；
事件；事件，；
对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误；
对于选项BD：因为事件，
所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确；
对于选项C：因为，
则，
显然，所以事件A和不相互独立，故C错误；
故选：D.
例题2：（多选）（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
【答案】BCD
【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断、独立事件的乘法公式
【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.
【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错；
，故B对；
而，故C对；
两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.
故选：BCD.
巩固训练
1．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件
C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件
【答案】C
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、相互独立事件与互斥事件
【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C.
【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，
从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个，
其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故，
事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故；
事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故，
事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故，
因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确；
因为,所以C与D不相互独立，故C错误.
因为,所以C与D不互斥，故D正确.
故选:C.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（ ）
A．事件和相互独立 B．事件和相互独立
C．事件和相互独立 D．事件和相互独立
【答案】C
【知识点】独立事件的判断
【分析】利用独立事件的定义逐项判断即可.
【详解】由题意可得，，，
，，
，，
因为，则事件和不相互独立，A错误；
因为，则事件和不相互独立，B错误；
因为，则事件和相互独立，C正确；
因为，则事件和不相互独立，D错误．
故选：C.
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