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第十章 概率（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高二上·贵州·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的数字是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】根据古典概型的概率特点直接得出结果即可.
【详解】由骰子的质地均匀知，骰子的个点数朝上的概率相等，都为，
故选：D.
2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.9，则下列说法中错误的是（ ）
A．两人都中靶的概率为0.72 B．恰好有一人中靶的概率为0.26
C．两人都脱靶的概率为0.02 D．至多有一人中靶的概率为0.98
【答案】D
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】根据相互独立事件概率计算公式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】两人都中靶的概率为，A选项正确.
恰好有一人中靶的概率为，B选项正确.
两人都脱靶的概率为，C选项正确.
至多有一人中靶的概率，D选项错误.
故选：D
3．（24-25高二上·四川绵阳·期末）抛掷三枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币正面朝上”，事件“第三枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
【答案】D
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题中条件，列举出抛掷三枚质地均匀的硬币，所有的结果，逐项判断即可.
【详解】抛掷三枚质地均匀的硬币，所有的结果是：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种情况；
事件“第一枚硬币正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），共四种情况；；
事件“第二枚硬币正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），（反，正，正），（反，正，反），共四种情况；；
事件“第三枚硬币反面朝上”包含：（正，正，反），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，反），共四种情况；；
因此事件与事件包含有相同情况，不互斥；事件与事件包含有相同情况，不对立，即选项AB错误；
又事件包含：（正，正，正），（反，正，正），（正，正，反），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共六种情况，，故C错误；
事件包含：（正，正，反），只有一种情况，故，故D正确；
故选：D
4．（24-25高二上·云南文山·期中）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队 谛听队 洪荒队参加竞赛，天涯队 谛听队 洪荒队完成该项任务的概率分别为，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，天涯队 谛听队 洪荒队三对中恰有2队完成任务的概率为.
故选：D
5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙16000元
C．甲40000元，乙8000元 D．甲36000元，乙12000元
【答案】D
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.
【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，
所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，
所以甲元，乙元，
故选：D.
6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
【答案】B
【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据对立事件的概念判断A,应用独立事件概率积公式判断B,应用古典概型计算判断C,D.
【详解】第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；
显然，，C，D都错误.
故选：B.
7．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（ ）
A．与相互独立
B．与相互独立
C．与相互独立
D．与相互独立
【答案】C
【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率
【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义判断个选项的正误.
【详解】依题意，，，，，
对于A，，，和互相不独立，A错误；
对于B，，，和互相不独立，B错误；
对于C，，，和互相独立，C正确；
对于D，，，和互相不独立，D错误；
故选：C
8．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲 乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙 甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得.
【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数，
注意2，3，4， ，2024中有1011个奇数，1012个偶数.
（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.
理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数，
从而所剩两数不互质，故乙胜.
（2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜.
理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成：
这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜.
甲获胜的概率为.
故选:B.
【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·云南文山·期末）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的5%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
【答案】BD
【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据朗诵社团的人数及其占比可计算出五个社团的总人数为80，即A错误，再根据太极拳社团的人数计算出其占比，可得脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%，即B正确，利用该校总人数可得C错误，由古典概型概率计算公式可得D正确.
【详解】对于A，参加朗诵社团的同学有8名，占比为，所以这五个社团的总人数为人，即A错误；
对于B，太极拳社团的同学有12名，可知其占比为，
因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，即B正确；
对于C，该校共有2000名，所以这五个社团总人数占该校学生人数的，即C错误；
对于D，由选项B易知脱口秀社团共有人，舞蹈社团共有人，两社团共有人，
所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，即D正确.
故选：BD
10．（24-25高二上·贵州·期中）甲、乙两人各投篮1次，已知甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A．恰好有1人命中的概率为 B．恰好有1人命中的概率为
C．至多有1人命中的概率为 D．至少有1人命中的概率为
【答案】BD
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式
【分析】根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法计算公式求得正确答案.
【详解】对于AB，由题意，恰好有1人命中的概率为，故A错误，B正确；
对于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，
因此至多有1人命中的概率为，故C错误；
对于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，
因此至少有1人命中的概率为，故D正确.
故选：BD.
11．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设，是两个随机事件，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则，相互独立 D．若，相互独立，则
【答案】AC
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若，相互独立，则，相互独立，利用进行求解.
【详解】对于A，若，则，A正确；
对于B，若，则，事件互斥，
所以，B错误；
对于C，因为，，
所以，则，相互独立，C正确；
对于D，若，相互独立，则，相互独立，
且，，
所以，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 .
【答案】/0.4
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据互斥事件、对立事件的概率公式及所给条件求出，即可求出，从而得解.
【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，
，解得，
，
故答案为：．
13．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 .
【答案】/
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率
【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值.
【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或，
因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
所以所得的四位数的个数为个，
能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个，
所以，
能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个，
所以，
所以，.
故答案为：.
14．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）某电视台举办“庆奥运”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从（跳水）、（乒乓球）、（游泳）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答、两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．为使取得复赛资格的概率最大，在“”、“”和“”三种回答顺序中，选手甲应选择
【答案】
【知识点】独立事件的乘法公式
【分析】分别计算出甲按“”、“”和“”三种回答顺序回答时，甲进入复赛资格的概率，比较大小后可得出结论.
【详解】按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
因为，所以，甲按顺序回答，可使取得复赛资格的概率最大，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定各事件会同时发生；
（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高一上·北京·阶段练习）现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取（不放回）两个球.
(1)求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率；
(2)求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率.
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】先写出样本空间及满足条件的事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）记两红球为，两白球为，事件：“恰有一个为红球”，
样本空间，其中样本点个数，
，其中样本点个数
所以；
（2）记事件：“至少有一个为红球”，
则，其中样本点个数，所以，
所以.
16．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
【答案】(1)68，65，；
(2).
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计
【分析】（1）先求出成绩在区间内的频率，再按平均数、众数及百分位数的定义求解即可；
（2）用列举法求解即可.
【详解】（1）解：因各组的频率之和为1，
所以成绩在区间内的频率
；
所以平均分；
众数的估计值是；
设分位数为，因为的频率为，的频率为，的频率为，
所以，
所以，
解得；
（2）解：设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，
由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人，
记这4名学生分别为；
成绩在区间内的学生有人，
记这2名学生分别为；
则从这6人中任选2人的基本事件为： , ，共15种，
事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：,，共9种，
所以.
故所求事件的概率为：.
17．（24-25高二上·上海·阶段练习）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分．
(1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率；
(2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意甲同学选择的所有可能答案构成的样本空间为共10个样本点：
设事件表示“考生甲猜对本题得4分”，
则有3个样本点，
所以．
（2）由题意乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，
乙、丙总分刚好得18分的情形有以下几种：
情形一记为事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况，
则，
情形二记为事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况，
则，
事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况，
则，
所以乙、丙总分刚好得18分的概率.
18．（24-25高二上·重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响.
(1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率；
(2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率；
(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，）
【答案】(1)乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为；
(2)；
(3)23次.
【知识点】对数的运算性质的应用、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）利用相互独立事件，结合已知求出乙，丙投篮一次且都命中的概率.
（2）记甲、乙、丙各射击一次恰有两人击中目标为事件，再相互独立事件及互斥事件的概率公式计算求解.
（3）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为，由，利用指数函数的性质及对数的运算性质计算得解.
【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，
依题意，，，则，
，解得，
所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为.
（2）记甲、乙、丙各射击一次恰有两人击中目标为事件，则，
则
，
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率.
（3）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为，
由，得，两边取常用对数得，
因此，则，
所以乙至少要射击次.
19．（24-25高二上·湖北·阶段练习）甲 乙 丙三人玩“剪刀 石头 布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
(3)求游戏经过两局就结束的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；
（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.
【详解】（1）根据题意，画出树状图，如图：
所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.
（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：
①仅1人得3分，记事件为A，则；
②有2人得分为3分，记事件为B，
③仅1人得4分，记事件C：
一人得4分，另两人各负2分：，
一人得4分，一人得负2分，一人得1分：，
一人得4分，另两人各1分：，
；
④有2人分别得4分，记为事件D：则
综上所述：游戏经过两局就结束的概率.
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第十章 概率（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高二上·贵州·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的数字是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.9，则下列说法中错误的是（ ）
A．两人都中靶的概率为0.72 B．恰好有一人中靶的概率为0.26
C．两人都脱靶的概率为0.02 D．至多有一人中靶的概率为0.98
3．（24-25高二上·四川绵阳·期末）抛掷三枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币正面朝上”，事件“第三枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
4．（24-25高二上·云南文山·期中）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队 谛听队 洪荒队参加竞赛，天涯队 谛听队 洪荒队完成该项任务的概率分别为，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙16000元
C．甲40000元，乙8000元 D．甲36000元，乙12000元
6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
7．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（ ）
A．与相互独立
B．与相互独立
C．与相互独立
D．与相互独立
8．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲 乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙 甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·云南文山·期末）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的5%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
10．（24-25高二上·贵州·期中）甲、乙两人各投篮1次，已知甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A．恰好有1人命中的概率为 B．恰好有1人命中的概率为
C．至多有1人命中的概率为 D．至少有1人命中的概率为
11．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设，是两个随机事件，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则，相互独立 D．若，相互独立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 .
13．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 .
14．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）某电视台举办“庆奥运”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从（跳水）、（乒乓球）、（游泳）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答、两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．为使取得复赛资格的概率最大，在“”、“”和“”三种回答顺序中，选手甲应选择
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高一上·北京·阶段练习）现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取（不放回）两个球.
(1)求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率；
(2)求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率.
16．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
17．（24-25高二上·上海·阶段练习）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分．
(1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率；
(2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率．
18．（24-25高二上·重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响.
(1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率；
(2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率；
(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，）
19．（24-25高二上·湖北·阶段练习）甲 乙 丙三人玩“剪刀 石头 布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
(3)求游戏经过两局就结束的概率.
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