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第十章 概率（9题型清单）
知识点1： 有限样本空间
1.1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
1.2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
知识点2：事件的关系
2.1包含关系
一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，
记作：(或)
图示
2.2相等关系
如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，
记作：；
图示
知识点3：事件的运算
3.1并事件(或和事件)
一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，
我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，
记作：(或).
图示：
3.2交事件(或积事件)
一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这
样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，
记作：(或).
图示：
知识点4：互斥事件与对立事件
4.1互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
图示：
4.2对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么
称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
图示：
知识点5：古典概型的概率计算公式
5.1古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
知识点6：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
题型一 判断随机事件、必然事件、不可能事件
例题1：（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ）
A．M是不可能事件 B．N是必然事件
C．是不可能事件 D．是必然事件
【答案】D
【知识点】判断事件是否是随机事件
【分析】根据事件的定义判断．
【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，
是点为2，是随机事件，是可能发生的，
是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，
故选：D．
例题2：（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
【答案】D
【知识点】判断事件是否是随机事件
【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断.
【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意；
对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意；
对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意；
对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意.
故选：D.
例题3：（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生
【答案】B
【知识点】确定性事件与随机事件的概率
【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解．
【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，
故选：B．
巩固训练
1．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾
C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
【答案】A
【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象
【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是；
对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是；
对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；
对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是.
故选：A
2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件是随机事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件
【答案】D
【知识点】判断事件是否是随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.
【详解】随机试验的样本空间为，
则事件是随机事件，故A正确；
事件是必然事件，故B正确；
事件是不可能事件，故C正确；
事件是不可能事件，故D错误.
故选：D
3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（ ）
A．某路口每星期发生交通事故1次
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中7环
【答案】C
【知识点】随机现象
【分析】根据现象的分类逐项分析判断.
【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误；
对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误；
对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确；
对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误；
故选：C.
题型二 事件的包含关系
例题1：（23-24高一下·天津和平·阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、写出基本事件
【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系.
【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，
显然，，，C不含于A.
故选：D
例题2：（多选）（23-24高一下·山西大同）从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：
“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.
下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系
【分析】列举出每个事件所包含的基本事件类型，结合事件的关系判断可得出结论.
【详解】事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，
事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，
事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，
事件包含的基本事件类型为：两张都写有数字，
事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，
所以，，，，，
故选：ABD.
巩固训练
1．（多选）（23-24高一下·贵州贵阳）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系
【分析】由事件的基本关系及运算依次判断即可.
【详解】对于A，“点数大于3”，“点数大于2”，显然，A正确；
对于B，“点数为4”，“点数大于3”，，B正确；
对于C，由A选项知，，则，C错误；
对于D，“点数大于2”，“点数不大于2”，显然不能同时发生，则，D正确.
故选：ABD.
2．（2024高一下·全国·专题练习）连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系．
【答案】，事件与事件之间不存在包含关系
【知识点】确定所给事件的包含关系
【分析】根据事件之间的关系即可求解.
【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，；
当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生，
因此事件与事件之间不存在包含关系．
3．（24-25高二上·上海·课堂例题）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则：
(1)事件D与事件A，B是什么关系？
(2)事件C与事件A是什么关系？
【答案】(1)
(2)
【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系
【分析】（1）直接由事件的运算即可判断；
（2）由事件的基本关系即可判断.
【详解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故．
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故事件C真包含事件A，．
题型三 互斥事件、对立事件的判断
例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【答案】C
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系
【分析】依题意列举出所有基本事件，根据互斥事件与对立事件的定义直接判断得出结论.
【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；
至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.
故选：C.
例题2：（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故A错误；
B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故B错误；
C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与是对立事件，故C错误；
D中，因为彼此互斥，故与互斥事件，
而，故与是对立事件，故D正确；
故选：D.
例题3：（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ）
A．恰有1件次品 B．至多有1件次品
C．至少有1件次品 D．都是正品
【答案】AD
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
【详解】10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，
在A中，“恰有1件次品”与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件，故A正确；
在B中，“至多有1件次品”与事件“1件正品2件次品”是对立事件，故B错误；
在C中，“至少有1件次品”与事件“1件正品2件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，“都是正品”与事件“1件正品2件次品”互斥不对立，故D正确.
故选：AD
巩固训练
1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误，
对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确，
对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误，
对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，
故选：B.
2．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故选：B
3．（23-24高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可．
【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确；
对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误．
故选：B．
题型四 古典概型
例题1：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率
【分析】由样本空间和事件包含的样本点个数，利用古典概型概率公式计算可得.
【详解】因为样本空间，又，
则，所以，
样本空间中包含4个等可能的样本点，事件包含1个样本点，
由古典概型概率公式，．
故选：D
例题2：（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率.
【详解】记4个白球为，2个红球为，
从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有:
，共种不同的取法，
其中抽出2球均为白球有共种不同的取法，
所以抽出的2个球均为白球的概率.
故选：C.
例题3：（24-25高一上·四川自贡·开学考试）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了_______名学生，并将条形统计图补充完整；
(2)话剧组所对应扇形的圆心角为_______度；
(3)书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的对法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】(1)40；作图见解析
(2)72
(3)
【知识点】计算古典概型问题的概率、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题、统计与概率
【分析】（1）结合条形图中A组的人数以及扇形图中A组所占比可得到总人数，即可补全条形图；
（2）根据C组的人数可得到所对应扇形的圆心角；
（3）根据题意列得表格或树状图，可求得概率.
【详解】（1）由图可得条形统计图中A组人数为4人，扇形图中A组所占比为，
所以总人数为（名），
则C组人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）由（1）可知C组人数为8名，
所以所占比为，
则话剧组所对应扇形的圆心角为，
（3）先将女生编号为，将三位男生编号为，
列表如下：
，
画树状图如下：
共有12种等可能得结果，
其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：共6种，
所以刚好抽到1名男生与1名女生的概率为.
例题4：（24-25高一上·北京·期末）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量指数 300以上
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下：
(1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率；
(2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率；
(3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）
【答案】(1)
(2)
(3)甲数据方差大于乙数据方差.
【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、计算古典概型问题的概率、估计总体的方差、标准差
【分析】（1）（2）由空气质量指数与空气质量等级对应关系，结合茎叶图，古典概型的概率公式可得答案；
（3）由方差定义可得答案；
【详解】（1）由题，在甲的5个数据中，数据对应空气质量等级为良的有3个.
设甲的5个数据分别为，
数据对应空气质量等级为良的为，
则任取两个数据的情况有：，
共10种情况，
满足题意的有，共6种情况.
则对应概率为；
（2）设甲的5个数据分别为，
数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为，
数据对应空气质量等级为轻度污染的为，
设乙的5个数据分别为，
其中数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为.
则从甲城市和乙城市的数据中分别取1个的情况有：
共25种情况，
满足题意的有：
，共11种情况，
则对应概率为.
（3）由茎叶图可得乙的数据更为集中，则甲数据方差大于乙数据方差.
巩固训练
1．（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有放回与无放回问题的概率
【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可.
【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球，
样本空间为：，
，则，
设事件为“这2个球同色”，
则，则，
由古典概率公式，可得.
故选：D
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示，
(1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数；
(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、总体百分位数的估计
【分析】（1）根据百分位的定义计算可得；
（2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得；
（3）分别求出、中抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）因为，
，
所以第百分位数为.
（2）平均值；
（3）因为的频率为，的频率为，
则中抽取名学生，分别记作、，
中抽取名学生，分别记作、、，
从这5名学生，随机抽取3名同学进行问卷测试，则可能结果有：，，，，，，，，，共个；
其中3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间有，，共个，
所以3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率；
3．（24-25高一上·北京·期末）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
(1)求的值；
(2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
(3)
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图
【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解；
（2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间；（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可；
（3）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可.
【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为，
所以，解得，
又前两组的频率之和为，则，解得．
（2）（ⅰ）因为位于区间的频率为，
位于区间的频率为，
所以中位数所在的分组区间为；（学生直接写答案即可）
（ⅱ）平均数为．
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e．
考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，则，
记事件为“选出的两人来自不同组”，则，从而，
因此，．
4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组，，，，，制作如图所示的频率分布直方图，其中第二组的频数是第一组的频数的2倍．
(1)根据这次成绩，学校准备淘汰70%的同学，仅保留30%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到1分)
(2)从样本数据在第四组和第五组这两个小组内的同学中，按比例分配分层随机抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
【答案】(1)76分
(2)
【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【分析】（1）先根据“第二组的频数是第一组的频数的2倍”，得“第 1 组的频率，再由频率和为1，求出，求该组数据的第70百分位数即可.
（2）根据古典概型求概率.
【详解】（1）由题意可知：，
又 ，解得，
成绩落在 内的频率为：，
落在内的频率为： ，
设第70百分位数为，则，解得 ，
所以晋级分数线划76较为合理．
（2）由图可知， 按比例分配分层随机抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人，
分别记为 和 ，
设 "抽到的两位同学来自不同小组"，
则样本空间 共 15 个样本点，
则 共 8 个样本点，
所以 ．
题型五 互斥事件的概率公式
例题1：（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知事件与事件互斥，且，则（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得.
【详解】因为事件与事件互斥，所以.
故选：C
例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ．
【答案】/0.15
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式即可求解．
【详解】根据题意，设，则，
事件、互斥，它们都不发生的概率为，
则，
即，
解可得，即，
故答案为：.
例题3：（23-24高二下·浙江·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
【答案】
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率
【分析】由题意结合概率运算性质可得答案.
【详解】由概率的性质得，
所以，
所以．
故答案为：.
巩固训练
1．（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据对立事件、互斥事件的和事件的概率公式求解.
【详解】由，可得.
由于与是互斥事件，
故.
故选：D
2．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 .
【答案】0.9
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【分析】利用互斥事件的概率求解.
【详解】解：因为，且A，B互斥，
所以，
故答案为：0.9
题型六 一般概率加法公式
例题1：（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）假设，且A与B相互独立，则 （ ）
A．0.38 B．0.7 C．0.3 D．0.58
【答案】D
【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质
【分析】由事件的相互独立知，结合事件的运算求
【详解】如果A与B相互独立，则，
；
故选：D.
例题2：（多选）（24-25高二上·湖北·阶段练习）随机事件满足，，，则有（ ）
A． B．
C．不是互斥事件 D．相互独立
【答案】AC
【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断
【分析】根据概率的性质即可判断AB；根据互斥事件的定义即可判断C；根据相互独立事件的定义即可判断D.
【详解】因为，，，
所以，
所以，故A正确，B错误；
因为，所以不是互斥事件，故C正确；
因为，所以不相互独立，故D错误.
故选：AC.
例题3：（24-25高二上·山东淄博·期中）已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 .
【答案】/
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式
【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立事件的概率公式以及独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】由与为对立事件，则，
又与相互独立，则，
所以.
故答案为：.
巩固训练
1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的基本性质
【分析】记事件明天吹南风，事件明天下雨，根据可求得结果.
【详解】记事件明天吹南风，事件明天下雨，
由题意，，，，
因为，
所以，.
故选：A.
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出.
【详解】因为，所以.
又
所以.
故.
故选：D.
3．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ．
【答案】0.9/
【知识点】概率的基本性质
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质计算得答案.
【详解】记两次考试分别超过130分的事件为，则，
因此，
所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9.
故答案为：0.9
巩固训练
题型七 独立事件的判断
例题1：（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（ ）
A．与互斥 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与互斥
【答案】C
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断
【分析】应用表格列举出所有情况，再应用古典概率求法、互斥事件定义及独立事件的判定判断各项正误.
【详解】如下表，对应为(第一次，第二次)，
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由题设及上表知，和、和均可以同时发生，如，故它们均不互斥，故A，D均错误；
由上表知，，
所以，故与相互独立，与不相互独立．
故选：C
例题2：（24-25高一上·辽宁·期末）先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断
【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式求出各事件的概率，然后根据相互独立的概率关系逐一判断即可.
【详解】由题可知，，
先后投掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有：
，共36种.
两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3的结果有：
，共24种.
两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数的结果有：
，共9种.
所以，.
事件包含的结果有：共4种.
事件包含的结果有：，共3种.
事件包含的结果有：，共3种.
事件包含的结果有：，共3种.
所以，，，，
因为，，，．
所以与相互独立，A正确，BCD错误.
故选：A．
例题3：（24-25高二上·湖北·阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断
【分析】先求出对应事件的概率，再由独立事件的概率关系逐项判断即可；
【详解】设甲乙丙丁对应的的概率分别为，
由题意可得，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为，
所以，
丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
故选：B.
例题4：（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与独立 D．与对立
【答案】AC
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断
【分析】列出事件，利用互斥事件，对立事件和独立事件的定义判断.
【详解】解：因为，
，
，
，
所以，所以与互斥，故选项A正确；
，
所以与不互斥，故选项B错误；
，所以与C不互斥，故选项D错误；
，所以，
所以与独立，故选项C正确；
故选：AC
巩固训练
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系
【分析】根据事件的定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果.
【详解】对于AB，，即事件与可以同时发生，
与不是互斥、对立事件，AB错误；
对于C，，，，，
与相互独立，C正确；
对于D，与不是同一事件，与不相等，D错误.
故选：C.
2．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）连续掷两次骰子，设先后得到的点数分别为m，n，A表示事件“”，B表示事件“n为偶数”，C表示事件“”，D表示事件“”，则不相互独立的事件是（ ）
A．A与B B．A与D C．B与C D．B与D
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断
【分析】运用相互独立事件的概率定义计算判定即可.
【详解】对于A,掷一次骰子，的概率.
掷一次骰子，为偶数的概率.
与同时发生，即且为偶数，故先后得到的点数为，
故.
因为，所以与是独立事件.
对于B,要使，有这种情况,
,
与同时发生即且即，故.
而，所以与是独立事件.
对于C, 为偶数的概率.
的情况有：当时，；时，、；
时，、、；时，、、、；
时，、、、、；
时，、、、、、，共21种情况，
所以.
与同时发生，即为偶数且的情况有：
当时，；时，；时，、；
时，、；时，、、；
时，、、，共12种情况，所以.
而，所以与不是独立事件.
对于D, 为偶数的概率. .
与D同时发生，即为偶数且的情况有：
当时，；时，；时，，共3种情况，
所以.
而，所以与D是独立事件.
故与与与相互独立，与不相互独立．
故选：C.
3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ）
A．M发生的概率为B．M与N互斥 C．M与N相互独立 D．P发生的概率为
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】求出古典概率判断A；利用互斥事件的定义判断B；利用相互独立事件的定义判断C；分两种情况讨论求出概率判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误；
对于C，，，与相互独立，C正确；
对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率；
若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为，
若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为，D错误.
故选：C
4．（多选）（24-25高二上·黑龙江·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】ABD
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率
【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.
【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个结果.
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确；
对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确；
对于C：因为，，，
所以与不独立，故C错误；
对于D：因为，，，
所以与相互独立，故D正确.
故选：ABD
题型八 独立事件的乘法公式
例题1：（河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】先根据对立事件概率公式及独立事件乘法公式求出，然后利用概率性质求解即可.
【详解】因为，所以，
因为事件相互独立，所以，
所以．
故选：D
例题2：（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A．若与对立，则
B．若与互斥，，，则
C．数据，，，，，，，，，的分位数是7.8
D．若与相互独立，，，
【答案】BD
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、总体百分位数的估计
【分析】A选项根据对立事件的概念可得；B选项根据互斥事件的概念可得；C选项根据百分位数的定义可得；D选项根据事件相互独立性的概念可得.
【详解】对于A选项，因为与对立，，则，所以A错误；
对于B选项，，则，因为与互斥，
所以，所以B正确；
对于C选项，这组数据一共有10个数，所以分位数为第8个数与第9个数的平均数，为，所以C错误；
对于D选项，若与相互独立，则与也相互独立，
因为，，所以，，
所以，所以D正确.
故选：BD.
例题3：（24-25高三上·上海金山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ．
【答案】3
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】通过古典概率的计算公式计算，，由独立得，解方程即可.
【详解】由题意可知：，，，
因为独立，所以，
即，结合均随n的增大而增大，
故.
故答案为：
巩固训练
1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知是相互独立事件，且，则（ ）
A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28
【答案】C
【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得.
【详解】由可得，
又是相互独立事件，所以.
故选：C
2．（多选）（24-25高二上·四川成都·期末）已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】ABD
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、确定所给事件的包含关系
【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式进行分析判断即得.
【详解】对于A，事件与事件互斥，，故A正确；
对于B，事件与事件相互独立，，
，故B正确；
对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误；
对于D，因则事件与事件相互独立，
故事件与事件相互独立，故D正确.
故选:ABD.
3．（24-25高二上·四川成都·期中）已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则 .
【答案】/
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】首先求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.
【详解】因为与对立且，所以，
又与相互独立且，
所以.
故答案为：
题型九 随机模拟
例题1：（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题
【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算，
知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为
故选：C.
例题2：（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 .
【答案】
【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题
【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果.
【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3，
观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组，
再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为.
故答案为：
巩固训练
1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（ ）
A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65
【答案】D
【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题、利用计算器（机）产生整数值随机数
【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.
【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，
334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为.
故选：D
2．（23-24高三下·重庆南岸·阶段练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347
4373 8636 6947 1417 4698
根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．
【答案】
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解．
【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有8个，
所以射击4次至少击中3次的概率为.
故答案为：．
试卷第42页，共43页
1中小学教育资源及组卷应用平台
第十章 概率（9题型清单）
知识点1： 有限样本空间
1.1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
1.2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
知识点2：事件的关系
2.1包含关系
一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，
记作：(或)
图示
2.2相等关系
如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，
记作：；
图示
知识点3：事件的运算
3.1并事件(或和事件)
一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，
我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，
记作：(或).
图示：
3.2交事件(或积事件)
一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这
样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，
记作：(或).
图示：
知识点4：互斥事件与对立事件
4.1互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
图示：
4.2对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么
称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
图示：
知识点5：古典概型的概率计算公式
5.1古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
知识点6：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
题型一 判断随机事件、必然事件、不可能事件
例题1：（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（ ）
A．M是不可能事件 B．N是必然事件
C．是不可能事件 D．是必然事件
例题2：（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
例题3：（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生
巩固训练
1．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾
C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件是随机事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件
3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（ ）
A．某路口每星期发生交通事故1次
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中7环
题型二 事件的包含关系
例题1：（23-24高一下·天津和平·阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2：（多选）（23-24高一下·山西大同）从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：
“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.
下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（多选）（23-24高一下·贵州贵阳）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·全国·专题练习）连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系．
3．（24-25高二上·上海·课堂例题）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则：
(1)事件D与事件A，B是什么关系？
(2)事件C与事件A是什么关系？
题型三 互斥事件、对立事件的判断
例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
例题2：（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
例题3：（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（ ）
A．恰有1件次品 B．至多有1件次品
C．至少有1件次品 D．都是正品
巩固训练
1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
3．（23-24高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
题型四 古典概型
例题1：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
例题2：（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
例题3：（24-25高一上·四川自贡·开学考试）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了_______名学生，并将条形统计图补充完整；
(2)话剧组所对应扇形的圆心角为_______度；
(3)书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的对法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
例题4：（24-25高一上·北京·期末）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量指数 300以上
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下：
(1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率；
(2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率；
(3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）
巩固训练
1．（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示，
(1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数；
(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率．
3．（24-25高一上·北京·期末）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
(1)求的值；
(2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组，，，，，制作如图所示的频率分布直方图，其中第二组的频数是第一组的频数的2倍．
(1)根据这次成绩，学校准备淘汰70%的同学，仅保留30%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到1分)
(2)从样本数据在第四组和第五组这两个小组内的同学中，按比例分配分层随机抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
题型五 互斥事件的概率公式
例题1：（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知事件与事件互斥，且，则（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ．
例题3：（23-24高二下·浙江·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
巩固训练
1．（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9
2．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 .
题型六 一般概率加法公式
例题1：（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）假设，且A与B相互独立，则 （ ）
A．0.38 B．0.7 C．0.3 D．0.58
例题2：（多选）（24-25高二上·湖北·阶段练习）随机事件满足，，，则有（ ）
A． B．
C．不是互斥事件 D．相互独立
例题3：（24-25高二上·山东淄博·期中）已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 .
巩固训练
1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ．
题型七 独立事件的判断
例题1：（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（ ）
A．与互斥 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与互斥
例题2：（24-25高一上·辽宁·期末）先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立
例题3：（24-25高二上·湖北·阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
例题4：（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与独立 D．与对立
巩固训练
1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
2．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）连续掷两次骰子，设先后得到的点数分别为m，n，A表示事件“”，B表示事件“n为偶数”，C表示事件“”，D表示事件“”，则不相互独立的事件是（ ）
A．A与B B．A与D C．B与C D．B与D
3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ）
A．M发生的概率为B．M与N互斥 C．M与N相互独立 D．P发生的概率为
4．（多选）（24-25高二上·黑龙江·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立
题型八 独立事件的乘法公式
例题1：（河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题2：（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A．若与对立，则
B．若与互斥，，，则
C．数据，，，，，，，，，的分位数是7.8
D．若与相互独立，，，
例题3：（24-25高三上·上海金山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ．
巩固训练
1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知是相互独立事件，且，则（ ）
A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28
2．（多选）（24-25高二上·四川成都·期末）已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
3．（24-25高二上·四川成都·期中）已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则 .
题型九 随机模拟
例题1：（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
例题2：（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 .
巩固训练
1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（ ）
A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65
2．（23-24高三下·重庆南岸·阶段练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347
4373 8636 6947 1417 4698
根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．
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