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第六章 平面向量及其应用（15题型清单）
知识点01：向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
知识点02：向量的减法
（1）相反向量
与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.
①零向
量的相反向量仍是零向量
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:
③若,互为相反向量,则，，.
（2）向量减法定义
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.
（3）向量减法的几何意义
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
知识点03：向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
知识点04：向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
知识点05：向量共线定理
内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
知识点06：平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0
（2）投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
知识点07：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.
若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识点08：平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示：，则：
；
（2）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示:,则.
知识点09：平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；
用坐标表示,可写为,即：
消去得到：.
这就是说,向量()共线的充要条件是.
知识点10：两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
知识点11：向量模的坐标表示
向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
知识点12：两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
知识点13：平面几何中的向量方法
① 平面两个向量的数量积：；
② 向量平行的判定: ；
③向量平行与垂直的判定:；
④平面内两点间的距离公式： （其中，）
⑤求模：； ；
知识点14：余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；
；
知识点15：正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可实现边到角的转化）
⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化）
知识点16：解决几何问题的常见公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
题型一：平面向量基本概念
例题1：（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【知识点】平面向量的概念与表示、向量加法的法则、零向量与单位向量
【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可.
【详解】向量既有大小又有方向，A不正确．
两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确．
共线的两个向量方向相同或相反，C不正确．
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确
故选：D
例题2（23-24高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量）
【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项.
【详解】
解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
②若，方向不同，则 不一定成立；
③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确；
④平行四边形中，一定有，正确；
⑤若，，则，正确；
⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3.
故选：B.
例题3（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．非零向量、，满足且与同向，则
B．
C．若，则不与垂直
D．
【答案】BD
【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量的概念与表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确.
【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；
对于B中，由向量的数量积的定义，可得，
因为，可得，所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由，
又，
因为，所以，所以D正确.
故选：BD.
巩固训练
1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．若方向相反，则与为相反向量
B．模相等的两个平行向量相等
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【知识点】相反向量、平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量）
【分析】根据共线向量，相反向量的定义即可求解.
【详解】，方向相反，但模不一定相等，与不一定是相反向量，故A错误；
相反向量的模相等，且为平行向量，但不是相等向量，故B错误；
由有向线段和向量的定义知，C正确；
共线的两个非零向量也可能不在同一条直线上，故D错误．
故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件.
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线.
D．若，则.
【答案】A
【知识点】相等向量、零向量与单位向量、判断命题的必要不充分条件、相反向量
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则，C正确；
对D，若，则，D正确，
故选：A.
3．（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）下列选项中错误的有（ ）
A．当两个非零向量共线时，一定有
B．同向，且，则
C．向量夹角为，在上的投影向量为
D．若，则
【答案】BD
【知识点】数量积的坐标表示、平面向量的概念与表示、求投影向量、平面向量共线定理的推论
【分析】根据向量共线定理判断A，根据向量的性质判断B，根据投影向量的定义判断C，根据数量积的性质判断D.
【详解】对于A，因为为非零向量，且共线，由向量共线定理可得存在，使得，A正确，
对于B，因为向量不能比较大小，故B错误，
对于C，在上的投影向量为，C正确，
对于D，取，，，满足条件，但，D错误，
故选：BD.
题型二：平面向量共线定理及推论
例题1（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，
即，
所以，，
又因为，则，，其中、均为正数，
且有，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是.
故选：A.
例题2（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、条件等式求最值
【分析】根据三点共线的结论可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可得答案.
【详解】由题意M是线段BC上异于端点的任意一点，向量可得，
且，，所以，
当且仅当，结合，即，时，等号成立，
故的最小值为18．
故选：C
例题3（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且的角平分线与边交于点，且，则的最小值为 .
【答案】18
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理证明点共线问题、数量积的运算律、正弦定理边角互化的应用
【分析】由正弦定理角化边得，由角平分线性质以及三点共线可得，，，结合可得，结合“乘1法”即可求解.
【详解】因为，所以，因为，
所以，因为，所以，
因为平分，注意到 ，根据菱形的性质以及平行四边形法则可知，
与共线（同向），所以设，
注意到三点共线，所以，
又，所以，解得，
所以，等号成立当且仅当，
综上所述，的最小值为18.
故答案为：18.
巩固训练
1．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B．. C．1 D．2
【答案】D
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值.
【详解】由于，，三点共线，所以与共线.
存在实数，使得，即.
因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则.
由，将其代入可得.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用
【分析】设，其中，根据条件得＝＋，利用共线的推论，得到，即可求解.
【详解】因为与交于点，所以三点共线，
所以与共线，设，则，
因为，所以，
可得＝＋，因为三点共线，所以，可得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
3．（23-24高一下·山东日照·期末）已知平行四边形ABCD，，，，．若F为线段DE上的一点，且，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律求解即得.
【详解】在中，，则，即，
于是，而点F在线段DE上，
因此，解得，则，
由，，，得，
则.
故答案为：
题型三：平面向量基本定理
例题1（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用平面向量基本定理求参数
【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果.
【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，，
由角平分线定理可得，可得，，
即，则，
又因为，，且为的角平分线，
所以，，所以，，
又，且向量、不共线，所以，，所以.
故选：C.
例题2（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用
【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可；
【详解】设，
因为是边的中点，所以，
所以，
，
又，
所以，解得，
故选：B.
例题3（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值
【答案】
【知识点】平面向量基本定理的应用
【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线性表示求出与的关系，最后求的最大值.
【详解】设为重心，则由欧拉线定理可知在上，
连接交于点，
所以为的中线，所以，
点在直线上，设，
所以，
所以，所以，
所以，当时取最大值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出和的代数关系.
巩固训练
1．（24-25高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】设,依题得分别由三点共线和三点共线，利用平面向量基本定理得两个向量方程，求得，再利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】
如图，不妨设，则
因三点共线，故存在，使,
又因三点共线，故存在，使,
对照可得：，解得，
即，
于是
故选：C.
2．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ．
【答案】
【知识点】平面向量基本定理的应用
【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解.
【详解】因为不共线，由，
得，解得.
故答案为：；.
3．（23-24高一下·广东广州·期中）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 ．
【答案】
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用
【分析】设，，得出关于实数，的关系，求解即可.
【详解】因为和是两个不共线的向量，，，与是共线向量，
设，，则，
所以，所以.
故答案为：.
题型四：平面向量共线的坐标表示
例题1（24-25高三上·吉林·期末）已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解.
【详解】根据题意，，
则，若三点共线，则，
则有，变形可得.
故选：A
例题2（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知为第三象限角，向量，，且与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由向量共线（平行）求参数
【分析】由与共线，列方程求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值
【详解】因为，，
所以，
由与共线得，
所以，
因为，所以，
因为为第三象限角，所以.
故选：C
例题3（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 .
【答案】3
【知识点】由向量共线（平行）求参数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解.
【详解】由与共线可得，即，且，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
巩固训练
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以，
则，解得或，
，.
故选：D.
2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知，，若，则实数（ ）
A． B．1 C．3或 D．1或
【答案】C
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为，
所以，解得或.
故选：C
3．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知向量，若，则 .
【答案】．
【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示
【分析】利用向量平行的条件结合向量模的公式即可求解
【详解】因为向量，
若，则，解得，
即，所以．
故答案为：．
题型五：平面向量的数量积
例题1（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【知识点】求投影向量
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而，
所以.
故选：A
例题2（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（ ）
A．10 B．20 C．22 D．25
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表示
【分析】由平面向量的坐标表示、结合向量的数量积运算即可求解.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则，，
则，，所以．
故选：B．
例题3（24-25高三上·天津南开·期末）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律
【分析】由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果；令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.
【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点，
则，，
由Q是BC的中点，得，又，则，
所以取值范围为；
令，则 ，
则，即，于是，即点T 在直线BC上，
因此，，则，
而，因此，
所以的最小值为.
故答案为：；
巩固训练
1．（24-25高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面向量的混合运算、用定义求向量的数量积
【分析】结合向量的线性运算，利用数量积定义直接求解即可.
【详解】如图：
可知，
故.
故选：A.
2．（24-25高二上·广东韶关·期中）已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A．12 B． C．4 D．13
【答案】D
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为向量和的夹角为，且，
则.
故选：D.
3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是
【答案】
【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】当位于半圆弧中点时，，用，然后由数量积的运算律计算可得，计算时，建立如图所示的平面直角坐标系，写出半圆弧方程，得出其上点的坐标的范围，用坐标计算，然后求得结论．
【详解】当位于半圆弧中点时，，而，所以，，
．
以为建立平面直角坐标系，如图，
由已知，
因此半圆弧的方程为（在直线上方的部分），
在半圆弧（包括端点）上，则，
，
，
又，所以，
由对称轴，当在半圆弧（包括端点）
上时，，
同理当在半圆弧（包括端点）上时有，在半圆弧（包括端点）
上时有，
综上，，
故答案为：；．
题型六：向量的模
例题1（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量且，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再由向量的模长公式即可求解.
【详解】由题知，又因为，所以，解得，
所以，所以．
故选：A．
例题2（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量
【分析】利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长公式即可得到结果.
【详解】设的夹角为，由题意得，，
所以，
故选：C
例题3（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值、坐标计算向量的模
【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值.
【详解】过点作⊥于点，
因为等腰梯形中，，
所以，由勾股定理得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，
是腰的中点，故，
所以，
设，，，
则，故，，
故，
，
故
，
故当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：，
巩固训练
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知单位向量和的夹角为，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积
【分析】根据平面向量数量积运算律得出，即可得出模长.
【详解】，即.
故选：D.
2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知向量，则 .
【答案】
【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模
【分析】利用坐标计算向量的模长再结合数量积计算即可；
【详解】由题意可得，所以，
所以.
故答案为：.
3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示
【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果.
【详解】
如图，过点作于点，过点作于点，
∵，∴，
∴，故，
以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则，
设，其中，则，
∴，
∴，
∴当时，取最小值．
故答案为：．
题型七：向量的夹角
例题1（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、已知数量积求模
【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解.
【详解】单位向量满足，则，
，，
所以.
故选：A
例题2（23-24高一下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量夹角的坐标表示
【分析】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解.
【详解】根据题意知O为坐标原点，，，
所以，，
则.
故选：C
例题3（23-24高一下·安徽阜阳·期末）若向量满足，则向量的夹角为 .
【答案】
【知识点】由向量线性运算结果求参数、向量夹角的坐标表示
【分析】设，由、求出向量的坐标，再由向量夹角的坐标表示可得答案.
【详解】设，
由，
，
可得，解得，所以，
设向量的夹角为，则，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
巩固训练
1．（24-25高三上·广西·期末）若非零向量，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果.
【详解】，，
即，又，
.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量夹角的坐标表示、求投影向量
【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可.
【详解】因为，，所以在上的投影向量为，
故，则，，
所以与夹角的余弦值为．
故选：A
3．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知为BC的中点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示平面向量、向量夹角的坐标表示
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示，借助夹角公式计算即得.
【详解】由，得，又，则，
于是，所以．
故选：D
题型八：向量的投影
例题1（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量
【分析】利用投影向量的定义可得，代入坐标计算可求得.
【详解】向量在方向上的投影向量为，
所以，解得.
故选：A.
例题2（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、求投影向量
【分析】利用平面向量数量积的运算性质求得，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量.
【详解】因为，所以，所以，
从而在上的投影向量为．
故选：B.
例题3（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 ．
【答案】
【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示
【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解.
【详解】由已知，，
则
则在方向上数量投影为，
故答案为：.
巩固训练
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量、坐标计算向量的模
【分析】利用投影向量的定义,求解即可.
【详解】依题意，，，
所以在上的投影向量为．
故选：B.
2．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影数量为 .
【答案】1
【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义
【分析】根据向量数量积的定义以及投影数量的定义计算可得结果.
【详解】由向量与的夹角为，，
可得；
所以在方向上的投影数量为.
故答案为：1
3．（24-25高三上·福建南平·期中）已知，则在方向上的投影向量坐标为 ．
【答案】
【知识点】求投影向量
【分析】根据投影向量的计算公式可得坐标.
【详解】在方向上的投影向量为，
故答案为：.
题型九：向量平行垂直的坐标表示
例题1（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示
【分析】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则，解得，则，
所以，
又，所以.
故选：B.
例题2（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】（1）根据向量垂直的坐标关系即可求解，
（2）根据平行满足的坐标关系即可求解.
【详解】（1）因为，．所以，
因为，且，
所以，得．
（2）因为，，，
所以，且．
所以，得．
例题3（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求向量与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示
【分析】（1）根据题意结合向量垂直的坐标运算求解；
（2）根据向量共线的坐标表示求得，再结合向量夹角公式运算求解.
【详解】（1）因为，，，则，
若，则，解得，
所以实数的值为.
（2）因为，
若，则，解得，
可得，，则，
且，所以向量与的夹角.
巩固训练
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】，，解得.
故选：C.
2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模
【分析】（1）先由向量平行的坐标表示求出未知量，进而求得，再由坐标形式的向量模长公式即可求解.
（2）先由题意得，再由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）由得，所以，故，
所以.
（2）由已知
又，所以，
解得.
3．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知向量，，．
(1)若，求；
(2)若与共线，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】(1)利用向量垂直求参数的值，（2）利用向量共线求参数的值即可.
【详解】（1）因为，所以
则则则
（2）若与共线，则
则
题型十：两个向量所成角为锐角或钝角
例题1（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0且两向量不平行，可求的值.
【详解】由，
由.
所以向量与夹角为钝角时，且.
故选：B
例题223-24高一下·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、用向量解决夹角问题
【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.
【详解】因为与夹角为钝角，
可以得出,
且不平行，则
即且.
即得.
故答案为：
例题3（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，且向量与不共线.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【知识点】数量积的运算律、已知向量共线（平行）求参数、用定义求向量的数量积、向量夹角的计算
【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；
（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k即可.
【详解】（1）与的夹角为，
，
.
（2）与的夹角为，
，
向量与的夹角为锐角，
，且不能同向共线，
，，
解得且，
即或，
实数k的取值范围是
巩固训练
1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示
【分析】根据两向量夹角为锐角得且不共线，列出不等式求解即可.
【详解】与的夹角为锐角，
且与不共线，
，解得：且，
故答案为：
2．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐标．
（2）已知， 若的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模
【分析】（1）根据投影向量的定义结合数量积和模长的坐标运算求解；
（2）根据向量夹角与数量积的符号之间的关系运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
向量在方向上的投影向量为：；
（2）因为的夹角为锐角，所以，解得：，
又当与共线时，可得：，解得：，
此时，此时与同向，需排除，
所以的取值范围是：.
3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，.
(1)若，求t的值；
(2)若与的夹角为钝角，求t的取值范围.
【答案】(1)2
(2)且
【知识点】数量积的坐标表示、已知向量垂直求参数、由向量共线（平行）求参数
【分析】（1）根据向量垂直，数量积的坐标表示，即可求解；
（2）利用数量积的定义，转化为且不平行，即可求参数取值范围.
【详解】（1）由，可得，
所以得，
；
（2）因为的夹角为钝角，所以，
可得，
又当共线时，可得，此时反向，
的取值范围为且.
题型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的个数
例题1（23-24高一下·湖北·期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据已知结合正弦定理判断各个选项即可.
【详解】A项是角角边类型的三角形，有唯一解；
B项解两边夹一角类型的三角形，是唯一解；
C项是两边一对角类型的三角形，角B为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是，故该三角形无解；
D项是两边一对角类型的三角形，，有两个解，此三角形有两解.
故选：D.
例题2（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可）
【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可）
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值.
【详解】由正弦定理，已知，，可得.
因为，，要使有两组解，则有两个值.
因为，当时，，此时.
要使有两个值，则且，即.
所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）.
故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可）
例题3（23-24高一下·贵州铜仁·期末）在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为 .
【答案】
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】利用正弦定理，代入数据化简得，然后根据三角形有两解，结合正弦函数的性质建立关于的不等式，解之可得边的取值范围.
【详解】因为在中，，，
所以根据正弦定理，
可得，由，得，
若满足条件的三角形有两个，则，即，
解得：，即边的取值范围为；
故答案为：
巩固训练
1．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数图象的应用、正弦定理判定三角形解的个数
【分析】由正弦定理可得，分析可知关于A的方程：在有两解，结合正弦函数图象分析求解.
【详解】由正弦定理可得，
由题意可知：关于A的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，
因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
故选：C.
2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
【答案】
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可.
【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即，
故答案为：
3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】依题意得，由求解
【详解】若恰有两解，则，解得，
即边长度的取值范围为．
故答案为：
题型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形状
例题1（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果.
【详解】因为向量，共线，
则，由正弦定理可得：，
则，
因为，则，可知，，，均不为，
可得，则，即；
同理由向量，共线可得：；
综上所述：.
所以的形状为等边三角形.
故选：A
例题2（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解.
【详解】由及正弦定理，得
,
所以,
所以,
即，
即，解得或,
当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形;
当时，又，所以，所以为直角三角形;
综上所述，为等腰或直角三角形.
故选：D.
例题3（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是 .
【答案】等腰三角形或直角三角形
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简判断三角形形状.
【详解】因为，为的外接圆半径，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，又，
所以或
所以或，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
巩固训练
1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式、余弦定理边角互化的应用
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在中，由及余弦定理，得，
整理得，即，
而，因此或，
所以或，即为等腰三角形或直角三角.
故选：C
2．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用
【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 .
【答案】等腰三角形或直角三角形.
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，得到，化简得到，进而得到答案.
【详解】因为，可得，
由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，即，
即，可得，
所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
题型十三：求三角形周长（边长）
例题1（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在中，，且的面积为，则边的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形面积公式及其应用
【分析】由三角形的面积公式求解即可.
【详解】因为的面积为，所以，
所以.
故选：A.
例题2（23-24高二下·重庆·期中）已知分别表示中内角A，B，C所对边的长，其中，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】由三角形面积公式可得，结合余弦定理可求得，进而可求得周长.
【详解】因为，，，，所以，
由余弦定理得，所以，
故的周长为.
故选：D.
例题3（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】
由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围.
【详解】因为，
根据正弦定理得，，
因为为锐角，所以，
所以，即，而A为锐角，
所以，
因为根据正弦定理，
所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，即，
所以，
即，，
所以.
故选：C.
巩固训练
1．（23-24高一下·湖南常德·期中）中，若且，则的周长为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可得三角形周长．
【详解】由题意，，
又，由正弦定理得，联立解得，
，
所以．
故选：C．
2．（23-24高一下·山东菏泽·期中）已知是直径为的圆内接三角形，三角形的一个内角满足，则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、基本（均值）不等式的应用
【分析】由求出，再由正弦定理得到，进而利用余弦定理和基本不等式求出，得到周长的最大值.
【详解】因为，所以，不妨设所对的边为，
则由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，即，
由基本不等式得，所以，解得，
当且仅当时取等号，故周长的最大值为.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式
【分析】先将已知条件中的切分离开来且切化弦，再结合三角恒等变换公式进行整理得出角A，接着利用正弦定理进行边化角利用三角函数有界性即可探究周长取值范围，从而得出周长最大值.
【详解】由题意得，
整理得，
，又，故角为，
所以由正弦定理得，
所以，，
所以的周长为：
，
因为是锐角三角形，所以，，，
，所以，则，
所以，
故周长的最大值为.
故选：B.
题型十四：求三角形面积
例题1（24-25高三上·山东济宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦公式化简即得.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式计算.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
即，整理得，
由正弦定理得，整理得，
所以.
（2）由（1）知，，
由余弦定理得，即，解得，，
所以的面积为.
例题2（24-25高三上·河南·阶段练习）在中，内角，，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，结合内角和定理整理得，进而求得.
（2）由正弦定理得，结合面积公式得到，再利用余弦定理求.
【详解】（1）由题意及正弦定理得，，
有，
又由，
有，
又由，有，可得，
可得，又由，可得.
（2）由正弦定理及，有，
又由的面积为，
有，可得，，
由余弦定理，有，故.
例题3（24-25高二上·广东韶关·期中）已知函数.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知的内角的对边长分别是，若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据降幂公式以及两角差的正弦公式逆用将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出单调区间；
（2）根据已知条件求出角，再结合余弦定理以及重要不等式可求得的最值，再根据三角形的面积公式求得面积的最值.
【详解】（1）
，
令，
求得，又，
当时，，
所以在上的单调递增区间是；
（2）由（1）可得，因为，
所以，化简得，
所以，因为，所以，
根据余弦定理，，，
所以，因为，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
则，面积的最大值为.
巩固训练
1．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角的大小；
(2)若点是边中点，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）由正弦定理角化边再利用余弦定理求解即可；
（2）由等面积法得，，所以，所以，结合基本不等式求解三角形面积的最大值即可.
【详解】（1），
即，
由正弦定理，得，即，
所以，
因为，所以.
（2）因为，
即，
所以，
由，所以，
所以，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以.
即面积的最大值为.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)．
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求积的最大值
【分析】（1）化切为弦，利用正弦定理及两角和的正弦公式将条件化简得，即可得解.
（2）根据同角函数基本关系求得，对两边平方得，进而利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，即.
（2）因为，，
所以，．
因为BD为AC边上的中线，所以，
又因为，所以，即，
所以，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时等号成立．
故，
所以面积的最大值为．
3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求正切（型）函数的值域及最值、正弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角恒等变换化简等式，进而求解三角方程可得；
（2）由锐角三角形求得角范围，由正弦定理求出边，再将三角形的面积转化为角的三角函数式，结合三角函数的性质，即可求其范围.
【详解】（1）根据正弦定理，可化为，
由
.
因，所以，
故有，即有，
因为，所以，
故有，所以.
（2）因为为锐角三角形，由（1）已得，
则有，解得.
由正弦定理可得，
所以有，
所以，
因为，所以，
所以，
所以面积的取值范围是.
题型十五：利用正（余）弦定理解决实际问题
例题1（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
(1)求两点AC间的长度；
(2)求山MN的高度.
【答案】(1)
(2)200
【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题
【分析】（1）解直角三角形即可求得答案；
（2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求；
【详解】（1）在中，因为，，，
所以，
（2）在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
例题2（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕
(2)缉毒船的行驶方向为北偏东
【知识点】距离测量问题、角度测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解；
（2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果.
【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，
由题意可知：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
（2）由（1）可知：，
由正弦定理可得，
且为锐角，则，可得，
所以缉毒船的行驶方向为北偏东.
例题3（23-24高一下·广东肇庆·阶段练习）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．
(1)若米，求的长；
(2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值．
【答案】(1)米
(2)米
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、辅助角公式、距离测量问题
【分析】（1）由余弦定理可得答案；
（2）记，由正弦定理得，可得由辅助角公式可得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理得
，
所以米；
（2）因为，所以，记，
由正弦定理得，
即，
所以，
，
其中，
所以当时，的最大值为米.
即游客所走路程的最大值为米.
巩固训练
1．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知.
(1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）；
(2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大 （结果保留根式）
【答案】(1)159米
(2)米
【知识点】高度测量问题、角度测量问题
【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果.
（2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值.
【详解】（1）在中，，得，
在中，，得，
因为，
所以，
解得米.
（2）由图可知，设米，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立.
根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然，
显然，可得最大时最大.
答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
2．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交 ，精确到0.01m）.
【答案】米．
【知识点】高度测量问题
【分析】如图，作于，作于，在直角和直角中求得即得．
【详解】如图，作于，作于，
由于，，则，
，因此，，
易知，而，，
又，所以，
所以，
所以（米）．
3．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度.
【答案】35米
【知识点】高度测量问题
【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可；
【详解】设米，
在中，，则米.
在中，，则米.
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，得.
所以蜚英塔的高度为35米.
试卷第42页，共43页
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第六章 平面向量及其应用（15题型清单）
知识点01：向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
知识点02：向量的减法
（1）相反向量
与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.
①零向
量的相反向量仍是零向量
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:
③若,互为相反向量,则，，.
（2）向量减法定义
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.
（3）向量减法的几何意义
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
知识点03：向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
知识点04：向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
知识点05：向量共线定理
内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
知识点06：平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0
（2）投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
知识点07：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.
若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识点08：平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示：，则：
；
（2）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示:,则.
知识点09：平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；
用坐标表示,可写为,即：
消去得到：.
这就是说,向量()共线的充要条件是.
知识点10：两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
知识点11：向量模的坐标表示
向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
知识点12：两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
知识点13：平面几何中的向量方法
① 平面两个向量的数量积：；
② 向量平行的判定: ；
③向量平行与垂直的判定:；
④平面内两点间的距离公式： （其中，）
⑤求模：； ；
知识点14：余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；
；
知识点15：正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可实现边到角的转化）
⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化）
知识点16：解决几何问题的常见公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
题型一：平面向量基本概念
例题1：（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
例题2（23-24高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题3（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．非零向量、，满足且与同向，则
B．
C．若，则不与垂直
D．
巩固训练
1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．若方向相反，则与为相反向量
B．模相等的两个平行向量相等
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在同一条直线上的向量
2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件.
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线.
D．若，则.
3．（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）下列选项中错误的有（ ）
A．当两个非零向量共线时，一定有
B．同向，且，则
C．向量夹角为，在上的投影向量为
D．若，则
题型二：平面向量共线定理及推论
例题1（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例题2（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
例题3（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且的角平分线与边交于点，且，则的最小值为 .
巩固训练
1．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B．. C．1 D．2
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ．
3．（23-24高一下·山东日照·期末）已知平行四边形ABCD，，，，．若F为线段DE上的一点，且，则 ．
题型三：平面向量基本定理
例题1（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ）
A． B． C． D．
例题2（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题3（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值
巩固训练
1．（24-25高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ．
3．（23-24高一下·广东广州·期中）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 ．
题型四：平面向量共线的坐标表示
例题1（24-25高三上·吉林·期末）已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．2
例题2（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知为第三象限角，向量，，且与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题3（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 .
巩固训练
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知，，若，则实数（ ）
A． B．1 C．3或 D．1或
3．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知向量，若，则 .
题型五：平面向量的数量积
例题1（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．6 D．12
例题2（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（ ）
A．10 B．20 C．22 D．25
例题3（24-25高三上·天津南开·期末）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 .
巩固训练
1．（24-25高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（24-25高二上·广东韶关·期中）已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A．12 B． C．4 D．13
3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是
题型六：向量的模
例题1（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量且，则（ ）
A． B． C． D．4
例题2（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
例题3（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ．
巩固训练
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知单位向量和的夹角为，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知向量，则 .
3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ．
题型七：向量的夹角
例题1（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
例题2（23-24高一下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例题3（23-24高一下·安徽阜阳·期末）若向量满足，则向量的夹角为 .
巩固训练
1．（24-25高三上·广西·期末）若非零向量，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知为BC的中点，则为（ ）
A． B． C． D．
题型八：向量的投影
例题1（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
例题2（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
例题3（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 ．
巩固训练
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影数量为 .
3．（24-25高三上·福建南平·期中）已知，则在方向上的投影向量坐标为 ．
题型九：向量平行垂直的坐标表示
例题1（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例题2（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
例题3（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求向量与的夹角.
巩固训练
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
3．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知向量，，．
(1)若，求；
(2)若与共线，求k的值．
题型十：两个向量所成角为锐角或钝角
例题1（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
例题223-24高一下·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 ．
例题3（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，且向量与不共线.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围.
巩固训练
1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
2．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐标．
（2）已知， 若的夹角为锐角，求的取值范围.
3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，.
(1)若，求t的值；
(2)若与的夹角为钝角，求t的取值范围.
题型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的个数
例题1（23-24高一下·湖北·期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可）
例题3（23-24高一下·贵州铜仁·期末）在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为 .
巩固训练
1．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 ．
题型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形状
例题1（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
例题2（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
例题3（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是 .
巩固训练
1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
2．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 .
题型十三：求三角形周长（边长）
例题1（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在中，，且的面积为，则边的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
例题2（23-24高二下·重庆·期中）已知分别表示中内角A，B，C所对边的长，其中，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
例题3（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24高一下·湖南常德·期中）中，若且，则的周长为（ ）
A． B．12 C． D．
2．（23-24高一下·山东菏泽·期中）已知是直径为的圆内接三角形，三角形的一个内角满足，则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十四：求三角形面积
例题1（24-25高三上·山东济宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积.
例题2（24-25高三上·河南·阶段练习）在中，内角，，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求．
例题3（24-25高二上·广东韶关·期中）已知函数.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知的内角的对边长分别是，若，求面积的最大值.
巩固训练
1．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角的大小；
(2)若点是边中点，且，求面积的最大值.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值.
3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
题型十五：利用正（余）弦定理解决实际问题
例题1（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
(1)求两点AC间的长度；
(2)求山MN的高度.
例题2（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
例题3（23-24高一下·广东肇庆·阶段练习）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．
(1)若米，求的长；
(2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值．
巩固训练
1．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知.
(1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）；
(2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大 （结果保留根式）
2．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交 ，精确到0.01m）.
3．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度.
试卷第42页，共43页
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