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1、 第八章 立体几何初步（19题型清单）
知识点1：棱柱
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类:
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
知识点2：棱锥
（1）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
知识点3：棱台
（1）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
知识点4：圆柱
（1）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示
圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱
知识点5：圆锥
（1）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形
（3）圆锥的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥
知识点6：圆台
（1）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形
（3）圆台的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆台
知识点7：空间几何体的直观图
（1）空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
知识点8：空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
知识点9：斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
知识点10：棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：
.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积：
棱锥的表面积：
棱台的表面积：
知识点11：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的体积
①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
（3）棱台的体积
①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
知识点12：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：
.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：
圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
知识点13：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
知识点14：球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
知识点15：异面直线
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交
知识点16：直线与平面平行
(1)直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
图形语言
直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即
线线平行 线面平行
(2)直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
简记：线线平行 线面平行
注意：①定理中三个条件缺一不可
②简记：线面平行，则线线平行
③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据
④定理的关键：寻找平面与平面的交线
知识点17：平面与平面平行的判定定理
（1）两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
线线平行面面平行
知识点18：平面与平面平行的性质定理
（1）平面与平面平行的性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
面面平行线线平行
知识点19：异面直线所成角的概念
已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的
角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
知识点20：异面直线所成角的范围
由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.
注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.
知识点21：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
（2）符号语言：对于任意，都有.
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点22：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直
（2）符号语言：，，，，
（3）图形语言：如图
知识点23：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
（2）说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
（3）直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点24：二面角
（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
知识点25：二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
知识点26：二面角的平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).
知识点27：平面与平面垂直
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
知识点28：平面与平面垂直的判定定理
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
（3）应用：线面垂直面面垂直.
知识点29： 平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
(3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线.
题型一棱柱、棱锥、棱台、旋转体的结构特征
例题1：（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
例题2：（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
例题3：（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）下列关于空间几何体的说法：
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；
③棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
④圆柱的任意两条母线互相平行.
其中正确结论的序号是 .
巩固训练
1．（23-24高一下·天津·期末）下列说法正确的是（ ）
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
2．（多选）（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（ ）
A．三棱台体不是“刍甍”
B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形
C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍”
D．“刍甍”存在两个互相平行的面
3．（多选）（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C．棱台的所有侧棱交于同一点
D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
题型二 表面路径最短问题
例题1：（2024·湖南郴州·三模）已知圆台的上 下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
例题2：（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里.
例题3：（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）；
（2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长.
巩固训练
1．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .
2．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点，，则截面周长的最小值为 ．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动，则的最小值为 ．
题型三 空间几何体的截面图及应用
例题1：（24-25高三上·天津南开·期末）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．若经过点，则
B．若经过点，则
C．若经过点，则经过点
D．则经过点．则经过的一个三等分点
例题3：（2024高三·全国·专题练习）我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 .
巩固训练
1．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ）
A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形
C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个
题型四 立体图形的直观图
例题1：（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B．
C． D．
例题2：（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（ ）
A． B．的面积为
C．边上的高为 D．边上的高为
例题3：（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为
巩固训练
1．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．5
3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .
题型五 简单组合体的表面积与体积
例题1：（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（24-25高三上·河北·阶段练习）已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
例题3：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：
①三角形面积的最大值为2；
②三棱锥体积的最大值为
③四面体外接球表面积的最小值为.
以上正确的结论是 .
巩固训练
1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知三棱锥满足，，，且其体积为，若点（正投影在内部）到，，的距离相等，则三棱锥的表面积为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
2．（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·上海·阶段练习）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为 ．
题型六 内切球问题之独立截面法
例题1：（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
例题2：（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为 ；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 .
例题3：（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计）
巩固训练
1．（22-23高二上·安徽宣城·开学考试）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为 .
3．（23-24高三上·江苏·阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 .
题型七 内切球问题之等体积法
例题1：（2024·吉林·三模）点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ）
A．1 B． C． D．
例题2：（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则 ，该内切球的表面积为 .
巩固训练
1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·江西萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 .
题型八 外接球问题之补形法
例题1：（24-25高二上·安徽宣城·开学考试）在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（23-24高一下·辽宁本溪·期末）正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ．
例题3：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为 ．
巩固训练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知四面体的各个顶点都在球O的表面上，，，两两垂直，且，，，E是棱BC的中点，过E作四面体外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ．
3．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是 .
题型九 外接球问题之单面定球心法
例题1：（24-25高三上·甘肃张掖·期中）在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（ ）.
A． B． C． D．
例题2：（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3：（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为 .
巩固训练
1．（23-24高一下·浙江·期中）已知一圆柱的底面直径与母线长相等，高为3，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则当取得最大值时正四面体的高（ ）
A． B． C． D．2
2．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，球O为其外接球，若点是正四棱锥的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十 证明三点共线（三线共点）问题
例题1：（23-24高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：
(1)、、、四点共面；
(2)、必相交且交点在直线上．
例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：
(1)直线和在同一平面上；
(2)直线、和交于一点．
例题3：（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
巩固训练
1．（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线.
2．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：
(1)四边形EFGH为梯形；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
3．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．
题型十一 由平面基本性质做截面图
例题1：（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（23-24高一下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
例题3：（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.
(1)求证：点在直线上；
(2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
巩固训练
1．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（ ）
A．10 B．15 C． D．
2．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面；
题型十二 异面直线所成角
例题1：（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ．
例题3：（24-25高二上·山东东营·开学考试）在三棱锥中，.记的中点为的中点为，则异面直线与的夹角的余弦值为 .
巩固训练
1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·广东广州·期中）在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为 .
3．（25-26高二上·上海·单元测试）已知空间四边形ABCD中，，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为．求的值．
题型十三 平行关系
例题1：（2024高二上·河南安阳·学业考试）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
例题2：（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证：
(1)∥平面；
(2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由．
例题3：（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示
(1)求证:平面.
(2)平面平面.
巩固训练
1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求证：平面；
(3)若，为的重心，证明平面.
2．（23-24高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面.
题型十四 垂直关系
例题1：（24-25高二上·山东·阶段练习）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面．
(1)画出点P的轨迹，并说明理由；
(2)平面，，，，当最短时，指出P的位置，并说明理由．
例题2：（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
证明：；
例题3：（2024高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
巩固训练
1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：直线平面；
(3)求三棱锥的体积.
2．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为棱的中点，求证：平面．
3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
题型十五 求线面角
例题1：（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（2024·重庆·模拟预测）正三棱台三侧棱的延长线交于点，如果，三棱台 的体积为， 的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
例题3：（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一动点．
(1)若为中点，求证：平面；
(2)若是棱上靠近的三等分点，求直线和平面夹角的正弦值．
巩固训练
1．（23-24高二上·四川德阳·期末）在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，.
(1)证明：平面.
(2)求与平面所成角的大小.
题型十六 已知线面角求参数
例题1：（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 .
例题2：（23-24高三上·山东青岛·期末）已知正四棱台的上 下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为，则该正四棱台的体积为 .
例题3：（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
巩固训练
1．（23-24高三上·四川·期末）在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为 ．
2．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥，其侧棱和底面边长分别是8cm和6cm，是顶点在底面上的射影．若是底面内的动点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点的轨迹长为 ．
3．（23-24高一下·海南·期末）如图，在圆柱中，是一条母线，是圆的一条直径.
(1)证明：；
(2)若与平面所成的角为，求圆柱的表面积.
题型十七 求二面角
例题1：（24-25高二上·山东德州·阶段练习）二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
例题2：（2024·四川成都·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为，是线段上一点，且平面.
(1)求的值；
(2)求平面与底面所成的二面角的正切值.
例题3：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知四棱柱，各面均为菱形，.
(1)证明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值.
巩固训练
1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）如图，已知平面平面，，.
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求二面角的大小.
2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）如图，在正四棱柱中，.
(1)证明：平面平面；
(2)若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值.
题型十八 根据二面角求参数
例题1：（24-25高二上·浙江杭州·期中）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDE，，F为线段DE上的一点．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)若二面角与二面角的大小相等，求DF的长．
例题2：（23-24高三上·江苏无锡·阶段练行四边形中，，，为边的中点，将沿着直线翻折为，若为线段的中点，在翻折过程中，
(1)求证：平面；
(2)若二面角，求与平面所成角的正弦值．
例题3：（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，．
(1)若为等边三角形，证明：平面平面；
(2)若二面角的平面角为，求二面角的平面角的余弦值．
巩固训练
1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.
(1)求证：平面平面；
(2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值.
2．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，.
(1)若，证明：∥平面；
(2)若，且二面角的余弦值为，求.
3．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求．
题型十九 等体积法求点到平面的距离
例题1：（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）如图，直四棱柱的体积为的面积为.
(1)求证：平面；
(2)求A到平面的距离；
例题2：（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
例题3：（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图.在三棱台中，已知平面，，为线段的中点，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
巩固训练
1．（24-25高二上·上海嘉定·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点.
(1)求点到平面的距离；
2．（24-25高三上·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离；
3．（2024·上海崇明·一模）如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
试卷第42页，共43页
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1、 第八章 立体几何初步（19题型清单）
知识点1：棱柱
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类:
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
知识点2：棱锥
（1）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
知识点3：棱台
（1）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
知识点4：圆柱
（1）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示
圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱
知识点5：圆锥
（1）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形
（3）圆锥的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥
知识点6：圆台
（1）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形
（3）圆台的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆台
知识点7：空间几何体的直观图
（1）空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
知识点8：空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
知识点9：斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
知识点10：棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：
.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积：
棱锥的表面积：
棱台的表面积：
知识点11：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的体积
①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
（3）棱台的体积
①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
知识点12：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：
.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：
圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
知识点13：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
知识点14：球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
知识点15：异面直线
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交
知识点16：直线与平面平行
(1)直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
图形语言
直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即
线线平行 线面平行
(2)直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
简记：线线平行 线面平行
注意：①定理中三个条件缺一不可
②简记：线面平行，则线线平行
③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据
④定理的关键：寻找平面与平面的交线
知识点17：平面与平面平行的判定定理
（1）两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
线线平行面面平行
知识点18：平面与平面平行的性质定理
（1）平面与平面平行的性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
（2）符号语言
（3）图形语言
（4）定理应用
面面平行线线平行
知识点19：异面直线所成角的概念
已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的
角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
知识点20：异面直线所成角的范围
由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.
注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.
知识点21：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
（2）符号语言：对于任意，都有.
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点22：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直
（2）符号语言：，，，，
（3）图形语言：如图
知识点23：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
（2）说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
（3）直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点24：二面角
（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
知识点25：二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
知识点26：二面角的平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).
知识点27：平面与平面垂直
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
知识点28：平面与平面垂直的判定定理
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
（3）应用：线面垂直面面垂直.
知识点29： 平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
(3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线.
题型一棱柱、棱锥、棱台、旋转体的结构特征
例题1：（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
【答案】C
【知识点】由平面图形旋转得旋转体、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类
【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，如图：
在三棱锥中，有，，
该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误；
对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等，
该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误；
对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确；
对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误．
故选：C．
例题2：（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
【答案】ABD
【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱
【分析】根据棱柱的定义以及分类即可结合选项逐一判断.
【详解】对于A，底面是矩形的直棱柱是长方体，故A错误，
对于B，有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体不一定是平行六面体. 例如正方体中，取分别为侧棱上的点，且,则几何体满足有两个面平行，其余四个面都是平行四边形，但其不是平行六面体，故B错误，
对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，由两个面互相平行，其余各面均为四边形，且相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱.故
有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱.
如： ,故D错误.
对于C, 棱柱的各个侧面都是平行四边形,故C正确，
故选：ABD
例题3：（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）下列关于空间几何体的说法：
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；
③棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
④圆柱的任意两条母线互相平行.
其中正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析
【分析】根据棱锥、棱柱和圆柱的结构特征依次判断即可求解.
【详解】对于①，各个面都是三角形的几何体还可能是八面体；故①错误；
对于②，由棱柱的结构特征知，棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；故②正确；
对于③，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；故③正确；
对于④，由圆柱的结构特征知，圆柱的任意两条母线互相平行，故④正确；
故答案为：②③④.
巩固训练
1．（23-24高一下·天津·期末）下列说法正确的是（ ）
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析
【分析】要理解旋转体，棱柱、圆锥、正棱锥的概念，正棱锥是底面是多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥．
【详解】解：A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意；
B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意；
C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意；
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意，
故选：D．
2．（多选）（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（ ）
A．三棱台体不是“刍甍”
B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形
C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍”
D．“刍甍”存在两个互相平行的面
【答案】AB
【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类
【分析】如图，根据“刍甍”的定义，结合选项，依次判断即可.
【详解】如图，，四边形为矩形，
A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形.
在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱，
所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确；
B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形.
所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确；
C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形.
所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误；
D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误.
故选：AB.
3．（多选）（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C．棱台的所有侧棱交于同一点
D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
【答案】ABD
【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析
【分析】根据圆柱、棱台、圆台的结构特点判断BCD，通过举反例说明A错误.
【详解】A选项，由如图所示多面体可知A错误；
B选项，由圆柱的定义，是由一个长方形绕着它的一条边旋转得到的图形，故B错误；
C选项，由棱台的结构特征值知，棱台的各条侧棱所在的直线一定相交于一点，故C正确；
D选项，当截面与圆锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，故D错误.
故选：ABD.
题型二 表面路径最短问题
例题1：（2024·湖南郴州·三模）已知圆台的上 下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】C
【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆台的展开图
【分析】根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可.
【详解】圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，
所以，解得：，
将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O.
线段就是蚂蚁经过的最短距离，
设，圆心角是，则由题意知 ①， ②，
由①②解得，，，
∴，，则.
故选：C.
例题2：（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里.
【答案】32
【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题
【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.
【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：
记为上的任意一点，作，垂足为，连接，
由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段，
而，则，
上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大，
因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得.
故答案为：32
【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键.
例题3：（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）；
（2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长.
【答案】（1）；（2）
【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、圆柱的展开图及最短距离问题
【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案；
（2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案.
【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示，
连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离，
因为，
所以 ，
所以蚂蚁爬行的最短路线长为；
（2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法，
①如图1，以DC为轴展开，
此时，
②如图2.以BC为轴展开，
此时，，
③如图3、以 BB1为轴展开，
此时，
综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 .
巩固训练
1．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题
【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得.
【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：
连接，则的长度即为的最小值，
因为，所以 ，
所以，所以，即的最小值为.
故答案为：.
2．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点，，则截面周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱锥的展开图
【分析】将三棱锥的侧面沿,,剪开，得到如图所示的五边形，连接，分别交,于,，可得截面周长的最小值为线段的长.
【详解】将三棱锥的侧面沿,,剪开，得到如图所示的五边形，
连接，分别交,于,，再将展开图围成三棱锥的侧面，得到，
即为周长最小的截面三角形，由此可得截面周长的最小值等于线段的长.
正三棱锥中，，所以，
又，所以等腰中，，即截面周长的最小值为.
故答案为：.
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面上运动，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题
【分析】补形，转化为三角形两边之和大于第三边即可求解
【详解】在正方体的右侧补一个同样大小的正方体，得到如图所示的长方体，
由对称性可知，故．
故答案为：
【点睛】此类线段长度之和的最值问题，一般通过展开或者补形，将它转化为三角形两边之和大于第三边来解决．
题型三 空间几何体的截面图及应用
例题1：（24-25高三上·天津南开·期末）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则平面截该正方体的外接球得到的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的截面的性质及计算
【分析】连接，再根据直角三角形中的关系可得点到的距离等于圆心到平面的距离，再根据垂径定理求解截面圆的半径即可.
【详解】如图，连接，由题意易知，
，故四边形为平行四边形.
设，取的中点，连接，
在Rt中，，
故点到的距离为，故点到的距离为，
因此圆心到平面的距离为.由题易知球的半径，
故平面截球得到的截面圆的半径，故截面圆的面积.
故选：D
例题2：（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．若经过点，则
B．若经过点，则
C．若经过点，则经过点
D．则经过点．则经过的一个三等分点
【答案】ABD
【知识点】判断正方体的截面形状
【分析】根据正方体的截面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，经过点，则截面为等边三角形，
面积为，A选项正确.
B选项，经过点，则截面为菱形，
，设，则，
，所以菱形的面积为，B选项正确.
C选项，经过点，设分别是的中点，
则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误.
D选项，经过点，
延长，交的延长线于，交的延长线于，
连接，交于，连接，交于，则截面为，
由于是的中点，是的中点，
所以，则，所以，
所以是的三等分点，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
解决正方体截面问题，关键是要根据已知的点的位置准确想象出截面的形状，然后利用平面几何知识（如三角形、菱形面积公式，相似三角形性质等）进行计算和推理.
对于判断点是否在截面上或点之间的位置关系，常通过延长线、连线等方法构建几何图形，利用中点、平行等条件得出结论.
例题3：（2024高三·全国·专题练习）我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 .
【答案】/
【知识点】判断正方体的截面形状
【分析】延长，与的延长线交于点，得到的四边形是平面截“堑堵”所得截面图形，根据图形特征，将四边形分为和，可得所求面积.
【详解】延长，与的延长线交于点，则∈平面，连接，与交于点，连接，得到的四边形是平面截“堑堵”所得截面图形，
由题意解三角形可得，
，，
∴中边上的高，
中边上的高.
∴截“堑堵”所得截面图形的面积
.
故答案为：
巩固训练
1．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算
【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解.
【详解】
如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为.
若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意；
若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意，
此时有，解得，又，则.
故选：D.
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【知识点】判断正方体的截面形状
【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于点，连接交于点，连接，即可得到截面图形，再利用相似验证即可.
【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，
延长交的延长线于点，连接交于点，连接，
则五边形为平面截该长方体所得的截面图形，
不妨设，又点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，
所以，，，所以，又，
所以，又，所以，
又，即，解得，
又，即，解得，符合题意，
即五边形为平面截该长方体所得的截面图形.
故选：C
3．（多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ）
A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形
C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个
【答案】AD
【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥中截面的有关计算
【分析】根据题意，结合正四面体的几何特征，以及余弦定理和三角形的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】如图所示，设过点的截面交底面于点，且，
因为过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积，
可设正四面体的棱长为，
可得，解得，且，
对于A中，在中，可得，
在中，可得，
在中，可得，
则，即，
同理可得，，
即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确；
对于B中，若截面为等边三角形，则满足，
若，即，可得，
此时，可得，
所以截面不是等边三角形，所以B错误；
对于C中，当点与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积，
即平分的面积，此时为的中点，此时，
则中，边取得最小值，且，且，
可得，此时的最大角为锐角，
所以不能为直角三角形，所以C错误；
对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时，
如图（1）所示，得到截面，,，此时，
此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分；
如图（2）所示，在的边长上分别取，
使得，连接，
使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形，
综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确.
故选：AD.
题型四 立体图形的直观图
例题1：（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可.
【详解】解：由题意，
所以 ，
如图，原图形 中， ，
所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
，
故选：D.
例题2：（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（ ）
A． B．的面积为
C．边上的高为 D．边上的高为
【答案】ABC
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解.
【详解】在轴上取，即，所以A正确；
在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取，
过点作轴，并使，如图②所示：
于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确；
在直观图中作于点，，
，所以D错误；
，所以B正确．
故选：ABC．
例题3：（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解.
【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形，
则中边长与的边长相等的边为，
在中，，，
所以，由正弦定理得：，
所以，所以原图中边上的高为：，
故答案为：.
巩固训练
1．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解.
【详解】因为直观图是等腰直角，，所以，
根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，
所以的边上的高.
故选：C.
2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】由直观图知原几何图形是直角梯形再结合勾股定理求出对角线即可.
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测法则知 ， ，
所以 ．
故选：A．
3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .
【答案】
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、由直观图还原几何图形
【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到面积.
【详解】
如图1，设与交点为，
因为，，所以，.
的平面图如图2所示：
则，
.
故答案为：.
题型五 简单组合体的表面积与体积
例题1：（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锥体体积的有关计算
【分析】根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长可求出底面圆半径，进而求得圆锥的高，利用体积公式可得结果.
【详解】
设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则，
由题意得，，解得，
∴，
∴圆锥的体积为.
故选：A.
例题2：（24-25高三上·河北·阶段练习）已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】分析可知点在底面的投影为的斜边的中点，结合球的性质求得外接球的半径，进而可得结果.
【详解】因为，，，即，则，
可知的外接圆圆心为斜边的中点，
又因为，可知点在底面的投影为的外接圆圆心，
可得，
则三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为，
可得，解得，
所以外接球的表面积为，
的面积为；
的面积为；
的面积为；
所以三棱锥的侧面积为，
所以三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为.
故选：A.
例题3：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：
①三角形面积的最大值为2；
②三棱锥体积的最大值为
③四面体外接球表面积的最小值为.
以上正确的结论是 .
【答案】②
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①；利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②；首先表示四面体外接球的半径，再判断有无最值.
【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点，
，所以是钝角，
，
所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误；
对于②：，
，当时，的最大值是，
所有三棱锥的最大值是，故②正确；
对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径，
中，根据正弦定理可得，得，
，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.
故答案为：②
巩固训练
1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知三棱锥满足，，，且其体积为，若点（正投影在内部）到，，的距离相等，则三棱锥的表面积为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
【答案】C
【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算
【分析】由题意可得点在底面射影为内切圆圆心，利用等面积法求内切圆半径，得出侧面斜高即可求解.
【详解】由，，知为直角三角形，
设点在底面的射影点为，由题意得为的内心，
，得，
内切圆半径为．
点到三边的距离均为，
．
故选：C
2．（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求组合体的体积
【分析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可.
【详解】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则.
瓶子的侧面积，解得.
瓶子的体积.
故选：A
3．（24-25高二上·上海·阶段练习）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为 ．
【答案】/
【知识点】求旋转体的体积、锥体体积的有关计算
【分析】作于点，于点，求出，，然后结合圆锥体积公式利用割补法求解即可.
【详解】如图，是点关于的对称点，交于，
作于点，于点，，
，，
设、、绕直线旋转所成旋转体的体积
分别为，、，则有，，
所求体积．
故答案为：
题型六 内切球问题之独立截面法
例题1：（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】多面体与球体内切外接问题、由线面角的大小求长度、圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算
【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解.
【详解】设上底面半径为，下底面半径为，
如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，
设内切球与梯形两腰分别切于点，
可知，，
由题意可知：母线与底面所成角为，
则，可得，
即，，可得，
可知内切球的半径，
可得，，
所以.
故选：C.
例题2：（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为 ；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 .
【答案】 /
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、圆台的结构特征辨析
【分析】求出圆台的高，再利用轴截面图形求出球半径最大值；把圆台还原成圆锥，利用轴截面求出正方体的最大棱长，再确定球与正方体的交线即可得解.
【详解】依题意，圆台的轴截面是上下底边长分别为，母线长为的等腰梯形，
圆台的高，即等腰梯形的高，
由，得，
圆台内的最大球球心在圆台上下底面圆心所连线段上，最大球的截面大圆在等腰梯形内，
圆心在线段上，当该圆与等腰梯形的腰相切时，，
以为直径的圆同梯形的腰相交，所以球的半径的最大值为；
把圆台还原成圆锥，则圆台轴截面等腰梯形两腰延长即得圆锥的轴截面等腰，
正方体上底面的外接圆为圆台平行于底面的截面圆，
又圆台的高大于其上底面圆直径，因此正方体的棱长小于，
其对角面为等腰的内接矩形，如图，设，则，
，交于点，
则，
由，解得，
因此正方体最大棱长为，
此时以为球心，半径为的球与正方体表面交线是该正方体共点的个正方形面与球
的大圆构成的以直角为加以圆心角，半径为的段圆弧组合而成，交线长为.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
例题3：（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计）
【答案】
【知识点】球的表面积的有关计算
【分析】根据相切的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】作圆锥的轴截面图，如图，
由图，为等边三角形，则，
又，所以，
所以在正中，，
设内切球球心为，半径为，则在上，且，，
在中，，所以，解得，
所以外接球表面积．
故答案为：.
巩固训练
1．（22-23高二上·安徽宣城·开学考试）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，求出即得解.
【详解】解：该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，
如图所示，，
所以，
可得，
故该内切球的表面积为.
故选：A
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为 .
【答案】
【知识点】圆台表面积的有关计算
【分析】利用圆台轴截面是其内切球截面大圆的外切等腰梯形，结合已知求出圆台下底面圆半径，进而求出侧面积.
【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的内切圆是圆台内切球的截面大圆，
圆台上下底面圆心分别是梯形上下底的中点，令圆切腰于，
则，过作于，则，
由，得，解得，
因此圆台母线，所以圆台侧面积.
故答案为：
3．（23-24高三上·江苏·阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 .
【答案】
【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算
【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.
【详解】
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处,
设球O与母线切于M点,所以,所以 (R为球O的半径),
所以与全等, 所以,同理，
所以， ，所以，
所以圆台的内切球半径，内切球的表面积为.
故答案为：.
题型七 内切球问题之等体积法
例题1：（2024·吉林·三模）点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据正四棱锥的性质，结合等体积法可得，，进而可得当，与圆相切时，最大，利用相切以及锐角三角函数和二倍角公式即可求解。
【详解】设该正四面体的棱长为，设该正四面体的内切球的球心为，
顶点在底面的射影为，显然在线段上，
显然该正四面体内切球的半径为，如图所示，
由正弦定理可得，
故，
由等体积法可得
，解得，
则，
由球的性质可知，当，与圆相切时，最大，
如图所示，，，
由圆的切线长定理可知：，
在直角三角形中，，最大时，最小，
因为，所以此时为的中点，即有，
正四面体的内切球的球心为，显然也是该正四面体的外接球的球心，
所以，
因此，
，
于是有．
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用等体积法得等体积法可得，，由球的性质得当，与圆相切时，最大，根据，最大时，最小，利用二倍角公式求解.
例题2：（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则 ，该内切球的表面积为 .
【答案】 7
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算
【分析】根据内切球在等边三角形内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积，利用等体积法，即可求解.
【详解】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形，
所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆，
设的内切圆半径为，
则，
解得，
所以内切球的半径为1，其表面积为．
设，则平面平面，且交线为, 平面,
所以平面，同理平面，平面,故,故,
由余弦定理可得，
进而可得，
由等体积法可得化简可得，故（舍去），
故答案为：7，
巩固训练
1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】
根据题意分析可得四面体的外接球的球心为的中点，再利用等体积法求内切球的半径，进而可得结果.
【详解】取中点，由矩形的性质可知，
即为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径；
因为，，平面，
可得平面，
平面，则，
且，，平面，
可得平面，
平面，则，故该四面体的四个面都是直角三角形，
设四面体的内切球的半径为，
因为内切球与四面体的四个面都相切，故满足，
则，解得；
因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为.
故选：C.
2．（23-24高三上·江西萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积
【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得，再根据即可求解.
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，
内切球半径为，取中点为，
则,,所以，
因为，
所以，所以，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以，即，
因为,
因为为球O的一条直径，所以,
所以，
因为，所以，
所以，
故答案为: .
题型八 外接球问题之补形法
例题1：（24-25高二上·安徽宣城·开学考试）在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多面体与球体内切外接问题
【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.
【详解】根据长方体的面对角线特点，由对棱，
且对棱中点E，F分别满足，，
则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，
由长方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示：
设长方体的长、宽、高分别为
则，，
所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.
故选：A
例题2：（23-24高一下·辽宁本溪·期末）正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据给定条件，把四面体置于长方体中，求出长方体的体对角线即可得解.
【详解】在四面体中，，
则四面体的四个顶点可为一长方体两个相对面的成异面直线的两条对角线的端点，
此长方体的外接球即为四面体的外接球，
设此长方体共点的三条棱长分别为，则，于是，
四面体的外接球半径，有，解得，
所以该四面体外接球的体积.
故答案为：
例题3：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为 ．
【答案】
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】采用补体法将正四面体放入正方体中，根据题意求出正方体的棱长，进而求得其外接球的半径，根据勾股定理求出截面圆的半径，即可求解截面面积.
【详解】如图所示，将正四面体放入一个正方体中，
因为、到的距离分别为3、9，距离之和为12，
即正方体的棱长为12，因为球心是正方体的中心，
故球心到平面的距离为，
又球的直径，所以，
所以所截得的截面圆的半径，
故球被平面所截得的圆的面积．
故答案为：
巩固训练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知四面体的各个顶点都在球O的表面上，，，两两垂直，且，，，E是棱BC的中点，过E作四面体外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】把四面体放到长方体中，根据球的几何性质进行求解即可.
【详解】设所得截面圆的面积为，半径为r．因为，，两两垂直，
故可将四面体放入长方体中，如图所示，
易得外接球半径．
过E作球O的截面，当所得截面圆的面积最大时，截面为过球心的圆面，
，当所得截面圆的面积最小时，截面为与最大截面垂直的圆面．
在内，，所以，即，
，所以．
故选：B．
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；由动点的轨迹形状，求长度.
【详解】三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，如图所示，
则有，，
把三棱锥扩成长方体，
则有，解得，
则长方体外接球半径，
所以三棱锥的外接球半径；
点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，
由，动点的轨迹是半径为的圆，
轨迹长度为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：
三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)——补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对角线).
3．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是 .
【答案】/
【知识点】多面体与球体内切外接问题
【分析】根据题意结合余弦定理求得，进而可得两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，利用正方体的性质求外接球的半径.
【详解】设，则，
因为，则，
在中，因为，则，
由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
可知，即，同理可得，，所以两两垂直，
可以把三棱锥转化为边长为1的正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
正方体的体对角线即为外接球的直径，即.
故答案为：.
题型九 外接球问题之单面定球心法
例题1：（24-25高三上·甘肃张掖·期中）在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即得.
【详解】令的外接圆圆心为，球心为，则平面，而平面，
于是，又球心在线段的中垂面上，此平面与平面平行，取中点
则，在中，，，则，
的外接圆半径，所以该棱锥的外接球半径.
故选：A
例题2：（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围.
【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心，
点在上，连接，连接并延长交于点，
则.设该球半径为，则.
由，可得，
故.
在中，，解得.
因为点为的中点，所以，
在中，，所以，
设球心到过点的截面圆的距离为，可知，
截面圆半径，
所以截面圆的面积的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
例题3：（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、球的结构特征辨析
【分析】对于正三棱锥，底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范围，需要先求出外接球的半径以及球心到点的距离，的取值范围就是球心到点的距离加减外接球半径.
【详解】因为底面是正三角形，.
根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得.
设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为.
因为为中点，在上，且.
对于正三角形，，则.
在中，，，根据勾股定理.
设外接球半径为，球心在高上.
根据，将，代入可得：
. 展开得.
移项化简得，解得.
因为.
设球心到点的距离为，在中，，，根据勾股定理.
的最小值为，最大值为.
，.
所以的取值范围是.
故答案为：.
巩固训练
1．（23-24高一下·浙江·期中）已知一圆柱的底面直径与母线长相等，高为3，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则当取得最大值时正四面体的高（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据题意可得该圆柱的内切球的半径为，设内切球为球，当正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长最大，所以等价于已知球的半径为，结合正四面体的几何性质求内接正四面体的棱长即可.
【详解】由题意可知：圆柱的底面圆直径和母线长都是3，则该圆柱的内切球的半径为，
因为正四面体在该圆柱内可以任意转动，可知正四面体的外接球在该圆柱内，
若取得最大值，即正四面体的外接球取到最大，此时正四面体的外接球为该圆柱的内切球，
如图，球即为该圆柱的内切球，该正四面体的棱长为，
设点在底面内的射影为（为等边的中心），
则球心在上，且，
由题意可知：，
则，，
在中，，即 ，
整理可得：，解得或(舍) ，
所以的最大值为，此时正四面体的高.
故选：D.
2．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，球O为其外接球，若点是正四棱锥的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】求出外接球的半径，则的最大值为.
【详解】设，连接，则平面，
依题意可得，，
所以，则球心在直线上，
连接，设外接球的半径为，则，解得，
又为球表面上的一点，点是正四棱锥的表面上的一点，，
所以的最大值为.
故选：D
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正棱锥及其有关计算、直线与球、平面与球的位置关系
【分析】依题意先求得取最小值时对应的正四面体的高，进而可得棱长．
【详解】先证明如下引理：
如下图所示，设正四面体棱长为，于点，平面，交于于点，
所以，显然点为重心，
所以，由勾股定理得，
所以正四面体的高等于其棱长的倍；
则点也为正四面体的外接球球心，设外接球球心为，
则在中，，，
由勾股定理得，，则；
如图，10个半径为1的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有3层，
则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，
当取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，
底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，
位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体，
设第三层最中间小球与底面线切于点，为正四面体的高，
且都在同一直线上，
则该正四面体的棱长为，
可求得其高，，，
所以正四面体的高，
则可求得其棱长的最小值为，
故选：D．
题型十 证明三点共线（三线共点）问题
例题1：（23-24高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：
(1)、、、四点共面；
(2)、必相交且交点在直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题
【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面；
（2）结合面面位置关系可得证.
【详解】（1）
连接、，，
由，分别为，中点，则，
又，，则，
，
、、、四点共面.
（2）
由，，
易知，
又，分别为，中点，即，
，
结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行，
设它们交点为，平面，同理平面，
又平面平面，因此，
即、必相交且交点在直线上．
例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：
(1)直线和在同一平面上；
(2)直线、和交于一点．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解.
【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题
【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可;
（2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证；
【详解】（1）如图，连结.
∵点分别是的中点，∴.
∵四边形为平行四边形，∴，
∴，
∴四点共面，即和共面．
（2）证明：正方体中，
∵点分别是的中点，∴且
∵四边形为平行四边形，∴，且
∴∥且
∴与相交，设交点为P，
∵，平面，∴平面；
又∵，平面，∴平面，
∵平面平面，∴，
∴三线交于点P.
例题3：（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】空间中的点共线问题、平行公理
【分析】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证.
（2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证.
【详解】（1）、分别是、的中点，
，
，，
.
（2）因为，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面与平面的公共点，
又平面平面，
所以，所以三点共线
巩固训练
1．（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线.
【答案】证明见解析.
【知识点】空间中的点共线问题
【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线.
【详解】因为,
所以平面平面 ,
因为平面,平面,且,
所以,
即三点位于同一直线上.
2．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：
(1)四边形EFGH为梯形；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、平面的基本性质及辨析
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形；
（2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论.
【详解】（1）由题意，作图如下：
连接、，因为空间四边形中，分别是的中点，
所以，且，
又因为，所以，且，
所以，且，
故四边形为梯形.
（2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰，
所以相交于一点.
设交点为，
因为平面，所以平面，
同理平面，而平面平面，所以，
故点是直线的公共点，即直线相交于一点.
3．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．
【答案】证明见解析
【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题
【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明.
【详解】因为，且平面，所以平面，
同理平面，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面∩平面，所以成立．
所以点三点共线．
题型十一 由平面基本性质做截面图
例题1：（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形
【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解.
【详解】正方体中，平面，
则平面与平面的唯一交线与平行.
取BC中点，连接，
则四边形即为经过三点的正方体的截面，
梯形中，，
则梯形的高为，
所以梯形的面积为，
故选：A.
例题2：（23-24高一下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由平面的基本性质作截面图形
【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长.
【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点，
连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面，
其中分别是的中点，故，
，故，由勾股定理得，
，
同理可得，
又，故，
故平面截该四棱柱所得截面的周长为.
故选：A
例题3：（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.
(1)求证：点在直线上；
(2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
【答案】(1)证明见详解
(2)图形见详解
【知识点】空间中的点共线问题、由平面的基本性质作截面图形
【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上.
（2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面.
【详解】（1）平面平面,
由于平面
所以平面,
同理平面,
所以平面，
所以,即点在直线上.
（2）如图所示，取的中点，连接，
因为，，
所以，故共面.
则即为所求截面.
巩固训练
1．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（ ）
A．10 B．15 C． D．
【答案】A
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状
【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可．
【详解】分别在棱上取点，使得，
连接，根据正方体特征及平行公理，易证，，
则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.
由题中数据，知道，，可得.
故选：A.
2．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
【答案】 等腰梯形 /
【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形
【分析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积.
【详解】如图，取的中点，连接，，，，，
因为，，故，且．
则截面为梯形，且为等腰梯形，
，可得梯形的高为，所以梯形的面积为．
故答案为：等腰梯形；.
3．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面；
【答案】作图见解析
【知识点】由平面的基本性质作截面图形
【分析】过点作的平行线即可.
【详解】取的中点为，连接，易证，
则四边形即为所求截面，如图阴影部分，
题型十二 异面直线所成角
例题1：（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果.
【详解】
连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点，
所以，
因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为.
故选：B
例题2：（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ．
【答案】
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值.
【详解】
如图，过作交底面圆锥于点，连接，
因为，则为异面直线与所成角，
所以，
又，所以，即，
因为，函数在上单调递减，所以，
故异面直线与所成角的最小值为.
故答案为：.
例题3：（24-25高二上·山东东营·开学考试）在三棱锥中，.记的中点为的中点为，则异面直线与的夹角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形
【分析】先求出中的长度，同理可求的长度，根据余弦定理可求线线角的余弦值.
【详解】先证明一个结论：中，若为的中点，则.
证明：
由余弦定理可得，
，
而，，
故.
在三棱锥中，连接，取的中点为，连接，
在中，，，
故，即即.
同理，，，
因为，故且，
故或其补角即为所成的角，
而，故所求角的余弦值为，
故答案为：.
巩固训练
1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】令分别是的中点，是中点，连接，化为求直线与所成角，即，应用余弦定理求其余弦值即可.
【详解】令分别是的中点，是中点，连接，
由正四棱柱的性质及题设，易知且，则为平行四边形，
所以，直线与所成角即为直线与所成角，即，
若，则，，，
.
故选：D
2．（24-25高二上·广东广州·期中）在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形
【分析】连接MD，取MD中点E，连接EN，CE，所以，所以直线AM和夹角即为，分别求得各个边长度，结合余弦定理，即可求得答案.
【详解】连接MD，取MD中点E，连接EN，CE，
因为ABCD为正四面体，且棱长为1，分别为的中点，
所以，
因为E，N分别为MD，AD中点，
所以，且，
所以直线和夹角即为，
在中，，
所以在中，由余弦定理得，
所以直线和夹角的余弦值为.
故答案为：.
3．（25-26高二上·上海·单元测试）已知空间四边形ABCD中，，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为．求的值．
【答案】
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】首先利用平行直线的转化，将异面直线转化为相交直线所成角，再利用余弦定理求解.
【详解】设O为MD的中点，连接，则，
或其补角为异面直线AM与CN所成的角．
∵，，．
在中，由余弦定理可得：，即.
题型十三 平行关系
例题1：（2024高二上·河南安阳·学业考试）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）先由几何关系得到四边形是直角梯形，再求出其面积，然后由棱锥的体积公式求出体积即可；
【详解】（1）证明：因为，所以.
又因为平面平面，所以平面.
（2）由题意知为四棱锥的高.
因为是圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，所以.
由（1）知，，所以四边形是直角梯形.
在中，，所以.
在等腰直角三角形中，因为，所以.
在直角梯形中，，
所以直角梯形的面积.
所以四棱锥的体积.
例题2：（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证：
(1)∥平面；
(2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析.
【知识点】证明线面平行、判断面面平行
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面；
（2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行．
【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点，
则有∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下：
由（1）知，∥平面，
同理：∥平面，
又平面，平面，，
所以平面∥平面．
例题3：（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示
(1)求证:平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明；
（2）先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明.
【详解】（1）由题设得：，，
∴四边形为平行四边形.
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2），，
∴四边形为平行四边形.
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.平面.
又平面，
∴平面平面.．
巩固训练
1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求证：平面；
(3)若，为的重心，证明平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）根据菱形的几何性质以及中位线的性质，结合线面平行判定定理，可得答案；
（2）根据中位线的性质，结合线面平行与面面平行的性质与判定，可得答案；
（3）根据等比例可得线线平行，结合线面平行判定定理，可得答案.
【详解】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点，
又为的中点，所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）过作交于，连接，.
因为，平面，平面，所以平面，
因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点，
因为，，所以为的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（3）连接，并延长，交于点，连接，
因为为的重心，所以为中点，且.
又，所以.
所以，所以，又平面，平面，
所以平面.
2．（23-24高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行.
（2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行.
【详解】（1）如图：连接BD，设，连接OM，
∵在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面.
（2）如图：连接，NB，
为的中点，为的中点，
，又，
∴四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面
由（1）知平面，，平面，平面，
∴平面平面.
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【知识点】证明面面平行、证明线面平行
【分析】由线面平行的判定定理先证明平面，再由面面平行的判定定理即可证明.
【详解】由题意，因为平面，
且平面
又因为平面平面，
所以由线面平行的性质得.
又因为点为的中点，
所以为的中点，即，
因为为的中点，即，
又因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又平面，，平面，平面，
所以平面平面.
题型十四 垂直关系
例题1：（24-25高二上·山东·阶段练习）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面．
(1)画出点P的轨迹，并说明理由；
(2)平面，，，，当最短时，指出P的位置，并说明理由．
【答案】(1)取三等分点E，F，其中，为点P的轨迹，理由见解析
(2)点P与E重合时，最短，理由见解析
【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直
【分析】（1）分别取三等分点E，F，因为G是的重心，结合面面平行的判定定理即可证明平面平面，故有平面，得点P的轨迹为；假设P不在上，根据平行关系会得出矛盾结果；
（2）由余弦定理得，根据垂直关系可证，故当点P与E重合时，最短．
【详解】（1）分别取三等分点E，F，其中，
连接，则为点P的轨迹.
①因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为G是的重心，所以，因为平面，平面.
所以平面，因为，平面，
所以平面平面，当P在上
时，平面；
②如图，假设P不在上，任取上一点Q，连接，
因为平面，平面，，平面，
所以平面平面，所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，所以，与矛盾，所以假设不成立，
综上所述，为点P的轨迹.
（2）点P与E重合时，最短，理由如下：
由余弦定理得，解得，
所以，所以，因为，所以，
因为平面，所以，
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，当点P与E重合时，最短.
例题2：（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
证明：；
【答案】证明见解析
【知识点】线面垂直证明线线垂直
【分析】利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理即可得证.
【详解】连接，由四边形为菱形，得，由，得，
又平面平面，平面平面，面ABC，
则平面，又平面，于是，而，则，
又，平面，因此平面，又平面，
所以
例题3：（2024高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直
【分析】（1）根据线面垂直、面面垂直的判定定理可证平面平面；
（2）在平面内过点作交于点，根据面面垂直的性质定理可得平面，根据相似可得.
【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，
则，
又平面，平面，
则有，
而，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）在平面内过点作交于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则点即为所要找的点，
如下图所示，因为，，
所以与相似，
因此，
即有，于是，，所以.
巩固训练
1．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：直线平面；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)9
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明线面平行
【分析】（1）利用三角形的中位线性质可求，由直三棱柱的性质可得，进而可证，利用线面平行的判定定理即可证明平面；
（2）先应用线面垂直的判定定理证明平面，由，即可证明平面;
（3）应用等体积方法转化求解三棱锥的体积.
【详解】（1）分别为棱的中点，是三角形的中位线，
，
又直三棱柱中， ，，
平面， 平面，
平面；
（2）
直三棱柱中，，
又，，平面，
平面，
，
平面.
（3）分别为棱的中点，是三角形的中位线，
所以．
2．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为棱的中点，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解.
【详解】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点，
，且，则四边形是平行四边形，，
而平面平面DEG，所以平面DEG.
（2）在正方体中，平面，面，则，
由是正方形边的中点，得，则，
为棱的中点，在正方形中，，
则，即，则，
又平面DEG，所以平面DEG.
3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）取的中点，连接，证明，利用线线平行推出线面平行即可；
（2）利用勾股定理证明，再利用题设条件证明平面，由线面垂直的性质即可证得.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，因分别为、的中点，
则 又故
即四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，故平面；
（2）因为，，，所以，可得，
在直三棱柱中，因平面，平面，则，
又平面，故平面，
因平面，故；
题型十五 求线面角
例题1：（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积的有关计算、求线面角、余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据直角三角形的性质可确定球心位置，结合外接球体积可求得；取中点，作，根据线面垂直的判定可证得平面，根据线面角定义可确定所求角为，由余弦定理可求得结果.
【详解】设三棱锥的外接球的半径为，
取中点为，连接，
，，，
是三棱锥的外接球的球心，，
三棱锥的外接球体积为，，解得：，，
取中点，连接，
为等边三角形，，
，，，
，，，
作，垂足为，
，，，平面，
平面，又平面，，
又，平面，平面，
即为直线与平面所成角，
，，，，
，
即直线与平面所成角的余弦值为.
故选：D.
例题2：（2024·重庆·模拟预测）正三棱台三侧棱的延长线交于点，如果，三棱台 的体积为， 的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角
【分析】过作面于，交面于，连接，则为侧棱与底面所成的角，根据条件得到，利用棱台的体积公式得到，进而得到，再利用三棱锥为正三棱锥，求得，即可求解.
【详解】过作面于，交面于，连接，
正三棱台三侧棱的延长线交于点，所以三棱锥为正三棱锥，
又因为，则，所以，又 的面积为，
所以，则，
解得，所以，设的边长为，则，解得，
又三棱锥为正三棱锥，所以是的中心，
又易知边上的高线长为，所以，
又面，所以为侧棱与底面所成的角，则，
故选：D.
例题3：（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一动点．
(1)若为中点，求证：平面；
(2)若是棱上靠近的三等分点，求直线和平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）根据余弦定理可得长度，即可根据勾股定理求证，进而根据线面垂直的性质以及判定，即可求解，
（2）根据为中点时平面，即可根据余弦定理求解是棱上靠近的三等分点时的长度，即可根据锐角三角函数求解.
【详解】（1）因为，，
所以余弦定理可得，
所以，即，
又平面，平面，故，
平面，故平面，
又平面，故,
是中点，
故，又平面，
故平面.
（2）由（1）知，为中点时，平面，此时，
所以当是棱上靠近的三等分点时，是直线和平面的夹角，且，
所以由余弦定理可得，
所以直线和平面夹角正弦值为.
巩固训练
1．（23-24高二上·四川德阳·期末）在四棱锥中，平面，点是矩形内的动点，，，．直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、弧长的有关计算
【分析】结合线面角以及圆的知识求得正确答案.
【详解】由于平面，点是矩形内的动点，
则平面，所以，
又直线与平面所成角为即，
所以，即是直线与平面所成角，
又，，，
则，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在矩形内的部分，
设圆与分别交于两点，
则，，
所以，则，
所以点的轨迹长为.
故选：B.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱表面积的有关计算、求线面角
【分析】连接，，过点作平面，且在上，过点作，连接，易得，从而是与平面所成的角求解．
【详解】如图，
连接，，过点作平面，垂足为，且在上，
则，
过点作，垂足为，连接，又平面,
所以平面，平面，所以，
显然是与平面所成的角．
，解得．
又，所以．
又易知，所以．
又，所以，
所以与平面所成的角为，
故选：C．
3．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，.
(1)证明：平面.
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明面面平行、求线面角、锥体体积的有关计算、面面平行证明线面平行
【分析】（1）作PA的中点F，连接EF，FG，通过证明平面∥平面，可得平面；
（2）利用等体积法求出点D到平面的距离为h，设PD与平面所成的角为,所以，求出线面角.
【详解】（1）如图，作PA的中点F，连接EF，FG.
因为E，F，G分别是棱AB，AP，PD的中点，
所以，又平面，平面，所以平面，
又底面为平行四边形，
所以，则，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面∥平面.
又平面，所以平面.
（2）因为，
所以，所以.
因为，所以，所以.
因为平面，
所以平面.
因为，所以，所以，
因为平面，
所以平面，所以平面，因为平面，
所以.
设点D到平面的距离为h，又，
所以，所以.
设PD与平面所成的角为,所以，
因为，所以，
所以PD与平面PBC所成的角为.
题型十六 已知线面角求参数
例题1：（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 .
【答案】
【知识点】由线面角的大小求长度
【分析】根据题意，过作于H，连接，结合线面角的定义可得，然后由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】
如图所示，过作于H，连接，由题意，得平面.
因为直线与平面所成的角为，所以.
又因为，所以，，
设，则.
在四边形中，可得，
所以，所以.
故答案为：
例题2：（23-24高三上·山东青岛·期末）已知正四棱台的上 下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为，则该正四棱台的体积为 .
【答案】/
【知识点】台体体积的有关计算、由线面角的大小求长度
【分析】作出辅助线，根据侧棱与底面所成角的大小求出台体的高，利用台体体积公式求出答案.
【详解】如图，延长相交于点，连接，
过点作⊥平面，交于点，则⊥平面于点，
且点在上，
其中，过点作⊥于点，则，
所以，
因为侧棱与底面所成的角为，所以，故，
则该正四棱台的体积为.
故答案为：
例题3：（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、线面角的概念及辨析
【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证
（2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点， 中点为，
所以，且，
又，故，故四边形为平行四边形，
故，
因为平面，
