3.2.1双曲线及其标准方程课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 3.2.1双曲线及其标准方程课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 706.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:04:36 | ||
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文档简介
3.2.1双曲线及其标准方程课后提升训练人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
5．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦距为6，则为（ ）
A．5 B． C． D．32
8．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
10．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆
B．若，则是双曲线
C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆
D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大
11．已知是双曲线上关于原点对称的两点，过点作轴于点（异于点），交于点.设直线的斜率为，则（ ）
A．的取值范围是
B．直线的斜率为
C．直线的斜率为
D．时，直线与直线的斜率之和的最小值为
三、填空题.
12．设为双曲线的左 右焦点，若点在双曲线上，且，则 .
13．已知点是双曲线的一个焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，且，则 ．
14．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为 ．
四、解答题
15．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）．
(1)若，求的面积；
(2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标．
16．已知双曲线：的右焦点为，为上一点，为坐标原点，且的面积为12.
(1)求的方程；
(2)设过点且斜率分别为的直线，，．与的左支分别交于三点，为线段的中点，求的面积．
17．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点．
(1)求直线AP，AQ的斜率之积；
(2)若的面积为，求l的方程．
18．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点
(1)求双曲线的方程；
(2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值.
20．已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点，
(1)求点 的轨迹及轨迹方程；
(2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．C
5．A
6．C
7．A
8．B
二、多项选择题
9．BC
10．BD
11．BC
三、填空题
12．13
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，得，
可得，则的面积．
（2）如图所示，，，
设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为．
由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，
故，即．
设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得．
由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，
可得，，
解得，，
可得内切圆圆心的横坐标为．
16．【解】（1）由题意得解得
所以的方程为．
（2）由题意得直线的方程为，联立，
消去得（，且），
设，，，则，
得，代入直线的方程得，
所以．
同理可得，所以PQ的中点．
如图，连接OB，
则，所以点在直线上，所以．
由题意得直线的方程为，即，
所以点B到直线的距离等于点O到直线的距离，即为．
联立，解得或（舍），
故，所以，
所以．
17．【解】（1）由题意得，解得，
所以C的方程为．
所以，由于直线l的斜率不为0，设l的方程为，，，
联立消去得，
由，
得，则，，
故
．
（2）由（1）得，，
所以
所以，
即，即，
解得或，
因为直线l交C的右支于P，Q两点，
所以且，
即，，
解得，所以仅有满足题意，
所以直线l的方程为或．
18．【解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．
（2）（i）令，解得，所以的值可以是，
（ii）当时，过点的斜率为的直线的方程为，
联立双曲线方程与直线方程得，化简得，
因为直线与双曲线只有一个交点，
所以，解得；
综上所述，的值为或.
19．【解】（1）因为，在双曲线E上，
所以，故，所以E的标准方程为．
（2）如图：
设直线l：，由
得，①
所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，
所以，且，故，
设圆P：，，由，
得，②
由双曲线的右顶点D在圆上得，
由①②得.
由，可得③
由，可得④
所以3④③可得，即．
20．【解】（1）设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意：
两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线，
,得 ； ,得 ； ，
双曲线的标准方程为:，
（2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意.
当斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得.
展开整理得， ，
设，，由韦达定理（），.
根据弦长公式
先求
.
所以.
原点到直线的距离.
已知.
即. 化简得.
两边平方整理得，即.
得，因为，所以，.
也满足.
所以直线的方程为.
一、单项选择题
1．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
5．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦距为6，则为（ ）
A．5 B． C． D．32
8．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
10．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆
B．若，则是双曲线
C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆
D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大
11．已知是双曲线上关于原点对称的两点，过点作轴于点（异于点），交于点.设直线的斜率为，则（ ）
A．的取值范围是
B．直线的斜率为
C．直线的斜率为
D．时，直线与直线的斜率之和的最小值为
三、填空题.
12．设为双曲线的左 右焦点，若点在双曲线上，且，则 .
13．已知点是双曲线的一个焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，且，则 ．
14．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为 ．
四、解答题
15．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）．
(1)若，求的面积；
(2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标．
16．已知双曲线：的右焦点为，为上一点，为坐标原点，且的面积为12.
(1)求的方程；
(2)设过点且斜率分别为的直线，，．与的左支分别交于三点，为线段的中点，求的面积．
17．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点．
(1)求直线AP，AQ的斜率之积；
(2)若的面积为，求l的方程．
18．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点
(1)求双曲线的方程；
(2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值.
20．已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点，
(1)求点 的轨迹及轨迹方程；
(2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．C
5．A
6．C
7．A
8．B
二、多项选择题
9．BC
10．BD
11．BC
三、填空题
12．13
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，得，
可得，则的面积．
（2）如图所示，，，
设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为．
由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，
故，即．
设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得．
由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，
可得，，
解得，，
可得内切圆圆心的横坐标为．
16．【解】（1）由题意得解得
所以的方程为．
（2）由题意得直线的方程为，联立，
消去得（，且），
设，，，则，
得，代入直线的方程得，
所以．
同理可得，所以PQ的中点．
如图，连接OB，
则，所以点在直线上，所以．
由题意得直线的方程为，即，
所以点B到直线的距离等于点O到直线的距离，即为．
联立，解得或（舍），
故，所以，
所以．
17．【解】（1）由题意得，解得，
所以C的方程为．
所以，由于直线l的斜率不为0，设l的方程为，，，
联立消去得，
由，
得，则，，
故
．
（2）由（1）得，，
所以
所以，
即，即，
解得或，
因为直线l交C的右支于P，Q两点，
所以且，
即，，
解得，所以仅有满足题意，
所以直线l的方程为或．
18．【解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．
（2）（i）令，解得，所以的值可以是，
（ii）当时，过点的斜率为的直线的方程为，
联立双曲线方程与直线方程得，化简得，
因为直线与双曲线只有一个交点，
所以，解得；
综上所述，的值为或.
19．【解】（1）因为，在双曲线E上，
所以，故，所以E的标准方程为．
（2）如图：
设直线l：，由
得，①
所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，
所以，且，故，
设圆P：，，由，
得，②
由双曲线的右顶点D在圆上得，
由①②得.
由，可得③
由，可得④
所以3④③可得，即．
20．【解】（1）设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意：
两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线，
,得 ； ,得 ； ，
双曲线的标准方程为:，
（2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意.
当斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得.
展开整理得， ，
设，，由韦达定理（），.
根据弦长公式
先求
.
所以.
原点到直线的距离.
已知.
即. 化简得.
两边平方整理得，即.
得，因为，所以，.
也满足.
所以直线的方程为.