2.5.1直线与圆的位置关系课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 2.5.1直线与圆的位置关系课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 775.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:05:14 | ||
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文档简介
2.5.1直线与圆的位置关系课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l为过点且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：，若的最小值为，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（ ）
A． B．1 C． D．
5．过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
8．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．直线与圆交于两点，则（ ）
A．点到直线的距离为 B．线段
C． D．的面积是20
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆必相交
C．圆截轴所得弦长为
D．直线被圆截得的最短弦长为
11．（多选）已知圆和直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与圆的位置关系无法判定
B．当时，圆上的点到直线的最远距离为
C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D．如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为
三、填空题.
12．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
13．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
14．圆过点的切线方程为 ．
四、解答题
15．已知点是圆上任意一点．
(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
16．已知圆．
(1)若直线与圆交于两点，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值．
(2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值．
17．已知圆，直线．
(1)求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；
(2)设与圆交于两点，若，求的倾斜角；
(3)在直线中，是否存在使得直线截圆所得的弦最长或最短？
(4)设与圆交于两点，求中点的轨迹方程．
18．已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
19．已知圆过点和点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围；
(3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值．
20．已知圆C的方程为
(1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程；
(2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长.
21．已知圆：，直线：.
(1)求圆的圆心及半径；
(2)求直线被圆截得的弦的长度.
22．已知圆，直线．
(1)若直线与圆相切，求实数的值；
(2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径．
23．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.
(1)求的值
(2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．D
7．D
8．D
二、多项选择题
9．ABC
10．BCD
11．BCD
三、填空题
12．或
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）由题意，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为．
点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）方法一：设，则直线与圆有公共点，
，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
方法二：设，则，
其中，则，
即的最大值为，最小值为．
16．【解】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得．
（ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是．
（ⅱ）设，，由根与系数的关系得
所以．
即直线的斜率之和为定值．
（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点．
因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，
连接，则，
所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，
同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即．
17．【解】（1）解法1 代数法．
联立方程得．
整理得．
因为，
所以直线与圆总有两个不同的交点．
解法2 几何法．
圆心到直线的距离为
又，所以
所以直线与圆总有两个不同的交点．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
.解得．
所以直线的方程为或．
∴的斜率为，故的倾斜角为或．
（3）,所以直线过定点,
当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长，此时，直线方程为；
当直线满足时，直线截圆所得的弦最短，，故直线的斜率不存在，而直线的斜率为，不存在使所得的弦最短．
（4）因为与圆交于两点，是的中点，所以，
又因为过定点，
所以
所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）.
所以．
即.
18．【解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
19．【解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上，
得，即，
解得，即，圆的半径，
所以圆的方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
因为直线与圆交于两点，所以．
所以，
由于，则，因此，
所以的面积的取值范围为．
（3）当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意；
如图，直线的斜率必定存在，且不为0，
设其方程为，即，
由，解得，即．
因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为，
由，解得，即．
因此，
所以为定值．
20．【解】（1）由题意得圆C的标准方程为：，
所以圆心坐标为，
由直线的点斜式方程可得直线方程为，
即；
（2）圆心到直线的距离为，
所以弦AB的长为.
21．【解】（1）圆：的标准方程为：，
∴圆的圆心为，半径为.
（2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为.
取弦中点，连接，，如图所示.
由圆的性质可知，.
∴圆心到直线：的距离.
在中，，∴，
即直线被圆截得的弦的长度为.
22．【解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即.
所以圆心到直线的距离，
因为直线与圆相切，所以，解得，满足.
所以，.
（2）由题意，联立可得，
设，
则，解得，
根据韦达定理可得，
则，
所以，满足.
所以，圆的半径满足，故.
23．【解】（1）因为圆：可化为，
所以圆心为，半径为，
因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心，
将代入，即 ，解得.
（2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则．
当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即，
所以圆心到直线l的距离，解得，
直线l的方程为，即，
综上所述，直线l的方程为或.
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试卷第1页，共3页
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人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l为过点且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：，若的最小值为，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（ ）
A． B．1 C． D．
5．过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
8．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．直线与圆交于两点，则（ ）
A．点到直线的距离为 B．线段
C． D．的面积是20
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆必相交
C．圆截轴所得弦长为
D．直线被圆截得的最短弦长为
11．（多选）已知圆和直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与圆的位置关系无法判定
B．当时，圆上的点到直线的最远距离为
C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D．如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为
三、填空题.
12．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
13．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
14．圆过点的切线方程为 ．
四、解答题
15．已知点是圆上任意一点．
(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
16．已知圆．
(1)若直线与圆交于两点，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值．
(2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值．
17．已知圆，直线．
(1)求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；
(2)设与圆交于两点，若，求的倾斜角；
(3)在直线中，是否存在使得直线截圆所得的弦最长或最短？
(4)设与圆交于两点，求中点的轨迹方程．
18．已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
19．已知圆过点和点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围；
(3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值．
20．已知圆C的方程为
(1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程；
(2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长.
21．已知圆：，直线：.
(1)求圆的圆心及半径；
(2)求直线被圆截得的弦的长度.
22．已知圆，直线．
(1)若直线与圆相切，求实数的值；
(2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径．
23．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.
(1)求的值
(2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．D
7．D
8．D
二、多项选择题
9．ABC
10．BCD
11．BCD
三、填空题
12．或
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）由题意，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为．
点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）方法一：设，则直线与圆有公共点，
，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
方法二：设，则，
其中，则，
即的最大值为，最小值为．
16．【解】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得．
（ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是．
（ⅱ）设，，由根与系数的关系得
所以．
即直线的斜率之和为定值．
（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点．
因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，
连接，则，
所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，
同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即．
17．【解】（1）解法1 代数法．
联立方程得．
整理得．
因为，
所以直线与圆总有两个不同的交点．
解法2 几何法．
圆心到直线的距离为
又，所以
所以直线与圆总有两个不同的交点．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
.解得．
所以直线的方程为或．
∴的斜率为，故的倾斜角为或．
（3）,所以直线过定点,
当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长，此时，直线方程为；
当直线满足时，直线截圆所得的弦最短，，故直线的斜率不存在，而直线的斜率为，不存在使所得的弦最短．
（4）因为与圆交于两点，是的中点，所以，
又因为过定点，
所以
所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）.
所以．
即.
18．【解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
19．【解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上，
得，即，
解得，即，圆的半径，
所以圆的方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
因为直线与圆交于两点，所以．
所以，
由于，则，因此，
所以的面积的取值范围为．
（3）当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意；
如图，直线的斜率必定存在，且不为0，
设其方程为，即，
由，解得，即．
因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为，
由，解得，即．
因此，
所以为定值．
20．【解】（1）由题意得圆C的标准方程为：，
所以圆心坐标为，
由直线的点斜式方程可得直线方程为，
即；
（2）圆心到直线的距离为，
所以弦AB的长为.
21．【解】（1）圆：的标准方程为：，
∴圆的圆心为，半径为.
（2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为.
取弦中点，连接，，如图所示.
由圆的性质可知，.
∴圆心到直线：的距离.
在中，，∴，
即直线被圆截得的弦的长度为.
22．【解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即.
所以圆心到直线的距离，
因为直线与圆相切，所以，解得，满足.
所以，.
（2）由题意，联立可得，
设，
则，解得，
根据韦达定理可得，
则，
所以，满足.
所以，圆的半径满足，故.
23．【解】（1）因为圆：可化为，
所以圆心为，半径为，
因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心，
将代入，即 ，解得.
（2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则．
当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即，
所以圆心到直线l的距离，解得，
直线l的方程为，即，
综上所述，直线l的方程为或.
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试卷第1页，共3页
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