3.1.2椭圆的简单几何性质课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 3.1.2椭圆的简单几何性质课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 611.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:06:34 | ||
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文档简介
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3.1.2椭圆的简单几何性质课后提升训练人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知和椭圆，点在上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．的周长为14
C．若，则
D．若，则的面积为7
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．存在点，使得
C．若直线交椭圆于另一点，则
D．使得为等腰三角形的点共有4个
三、填空题.
12．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ．
13．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，的面积是，则 ．
14．已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足．
(1)求的方程；
(2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值．
16．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率．
17．已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．
（ⅰ）证明：直线PM过定点Q；
（ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围．
18．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
19．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0．
（i）求点Q的坐标；
（ii）求的面积的最大值．
参考答案
一、单项选择题
1．A
2．D
3．A
4．C
5．D
6．B
7．D
8．C
二、多项选择题
9．AD
10．BCD
11．BC
三、填空题
12．3
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）因为在上，所以①．
由题意知，所以．
由，得，解得②．
由①②联立解得，
所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在．
设其方程为，联立消得．
由，得③．
如图，设，
则．
所以，则．
所以，代入③得，
所以．
，
点到直线的距离，
，
．
当时，最大，最大值为．
16．【解】（1）设，则，故，
又，
故，
由题可得，，故，
故椭圆的标准方程为；
（2）若直线的斜率为0，则，不满足条件，
斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为，
联立，消去整理得，
则，
根据点和点所在位置，如图：
如图，可得，
又四边形的面积为
，
又，即，
故，所以直线的斜率为.
17．【解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆，
其中，，解得，，
故C的方程为；
（2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，
设，，．
联立得得，
由韦达定理得，，
则直线PM的方程为，
即，
其中
，
则直线PM的方程为，
故直线PM过定点；
（ⅱ），，
，
因为，所以，，
所以的取值范围为．
18．【解】（1）由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
19．【解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，，
又由，
可得椭圆C的标准方程为；
（2）设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为，
（i）联立方程消去y后整理为，
有，可得或，
又有，，可得，
直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为，
又由直线与直线的斜率之和为0，有，
可化为，
有，有，由k的任意性可得，
故点Q的坐标为；
（ii）
令，有，
有，
当且仅当时等号成立，此时，
故的面积的最大值为．
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3.1.2椭圆的简单几何性质课后提升训练人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知和椭圆，点在上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．的周长为14
C．若，则
D．若，则的面积为7
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．存在点，使得
C．若直线交椭圆于另一点，则
D．使得为等腰三角形的点共有4个
三、填空题.
12．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ．
13．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，的面积是，则 ．
14．已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足．
(1)求的方程；
(2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值．
16．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率．
17．已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．
（ⅰ）证明：直线PM过定点Q；
（ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围．
18．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
19．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0．
（i）求点Q的坐标；
（ii）求的面积的最大值．
参考答案
一、单项选择题
1．A
2．D
3．A
4．C
5．D
6．B
7．D
8．C
二、多项选择题
9．AD
10．BCD
11．BC
三、填空题
12．3
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）因为在上，所以①．
由题意知，所以．
由，得，解得②．
由①②联立解得，
所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在．
设其方程为，联立消得．
由，得③．
如图，设，
则．
所以，则．
所以，代入③得，
所以．
，
点到直线的距离，
，
．
当时，最大，最大值为．
16．【解】（1）设，则，故，
又，
故，
由题可得，，故，
故椭圆的标准方程为；
（2）若直线的斜率为0，则，不满足条件，
斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为，
联立，消去整理得，
则，
根据点和点所在位置，如图：
如图，可得，
又四边形的面积为
，
又，即，
故，所以直线的斜率为.
17．【解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆，
其中，，解得，，
故C的方程为；
（2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，
设，，．
联立得得，
由韦达定理得，，
则直线PM的方程为，
即，
其中
，
则直线PM的方程为，
故直线PM过定点；
（ⅱ），，
，
因为，所以，，
所以的取值范围为．
18．【解】（1）由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
19．【解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，，
又由，
可得椭圆C的标准方程为；
（2）设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为，
（i）联立方程消去y后整理为，
有，可得或，
又有，，可得，
直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为，
又由直线与直线的斜率之和为0，有，
可化为，
有，有，由k的任意性可得，
故点Q的坐标为；
（ii）
令，有，
有，
当且仅当时等号成立，此时，
故的面积的最大值为．
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