3.2.2双曲线的几何性质课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 3.2.2双曲线的几何性质课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 556.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:07:52 | ||
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文档简介
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3.2.2双曲线的几何性质课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．1 B．4 C．16 D．18
2．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ）
A． B． C．7 D．14
二、多项选择题
9．已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
10．已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ）
A．C的渐近线方程为 B．C的离心率为
C．M到两渐近线的距离之积为 D．
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（ ）．
A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为
C．四边形的面积为15 D．
三、填空题.
12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ．
13．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ．
14．若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
16．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点.
(1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程；
(2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
17．已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
18．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程，并写出其离心率；
(2)求的焦点到其渐近线的距离；
(3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值．
19．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
参考答案
一、单项选择题
1．D
2．A
3．B
4．D
5．B
6．B
7．D
8．B
二、多项选择题
9．BD
10．BCD
11．ACD
三、填空题
12．2
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
所以可设：，又双曲线过，
所以，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设，
又 ，所以左焦点，则，
，
，
，
则，
所以.
16．【解】（1）由双曲线Γ的方程得，，得，
则，即.
故，，渐近线方程为.
（2）存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.
易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意）
设，，AB的中点.
由得为等腰三角形，
则，，
即，，
即，.①
因为点A，B在Γ上，所以
②－③得，即，
则，即，
所以.④
联立①④，消去得，
解得或（舍），
当时，，所以，
由得，
所以直线的方程为.
17．【解】（1）根据题意可得，则．
将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为．
（2）由（1）得，即，则，则直线的方程为．
设，由得，
，
所以．
（3）设，
则两式相减得．
设，则所以，
即，所以，即，
所以直线OP的斜率．
18．【解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线，
所以可设双曲线的方程为，
将代入，得，得，
故双曲线的方程为，所以，故离心率．
（2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为，
故的焦点到其渐近线的距离．
（3）联立直线AB与双曲线的方程，得
整理得，．
设，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，
所以AB的中点坐标为．
又点在圆上，所以，所以．
19．【解】（1）因为点在双曲线上，所以，
由离心率为可得，解得，
所以的方程为．
（2）如图，设直线的方程为，，
联立得，
由题意可得，且，
化简得，
由韦达定理得．
因为，
所以，
整理得，
即，
化简得，因为直线不经过点，所以，
此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系．
所以，即，满足，
所以直线的方程为，即直线过定点．
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3.2.2双曲线的几何性质课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A．1 B．4 C．16 D．18
2．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ）
A． B． C．7 D．14
二、多项选择题
9．已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
10．已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ）
A．C的渐近线方程为 B．C的离心率为
C．M到两渐近线的距离之积为 D．
11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（ ）．
A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为
C．四边形的面积为15 D．
三、填空题.
12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ．
13．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ．
14．若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
16．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点.
(1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程；
(2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
17．已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
18．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程，并写出其离心率；
(2)求的焦点到其渐近线的距离；
(3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值．
19．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
参考答案
一、单项选择题
1．D
2．A
3．B
4．D
5．B
6．B
7．D
8．B
二、多项选择题
9．BD
10．BCD
11．ACD
三、填空题
12．2
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
所以可设：，又双曲线过，
所以，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设，
又 ，所以左焦点，则，
，
，
，
则，
所以.
16．【解】（1）由双曲线Γ的方程得，，得，
则，即.
故，，渐近线方程为.
（2）存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.
易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意）
设，，AB的中点.
由得为等腰三角形，
则，，
即，，
即，.①
因为点A，B在Γ上，所以
②－③得，即，
则，即，
所以.④
联立①④，消去得，
解得或（舍），
当时，，所以，
由得，
所以直线的方程为.
17．【解】（1）根据题意可得，则．
将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为．
（2）由（1）得，即，则，则直线的方程为．
设，由得，
，
所以．
（3）设，
则两式相减得．
设，则所以，
即，所以，即，
所以直线OP的斜率．
18．【解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线，
所以可设双曲线的方程为，
将代入，得，得，
故双曲线的方程为，所以，故离心率．
（2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为，
故的焦点到其渐近线的距离．
（3）联立直线AB与双曲线的方程，得
整理得，．
设，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，
所以AB的中点坐标为．
又点在圆上，所以，所以．
19．【解】（1）因为点在双曲线上，所以，
由离心率为可得，解得，
所以的方程为．
（2）如图，设直线的方程为，，
联立得，
由题意可得，且，
化简得，
由韦达定理得．
因为，
所以，
整理得，
即，
化简得，因为直线不经过点，所以，
此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系．
所以，即，满足，
所以直线的方程为，即直线过定点．
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