3.3.1抛物线及其标准方程课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 3.3.1抛物线及其标准方程课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 532.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:09:29 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.1抛物线及其标准方程课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（ ）
A． B． C．-8 D．-4
4．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，过Γ上一点P作于A，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知直线l过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点（A在第一象限），点P在C的准线上，若为等边三角形，则l的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．的坐标为
10．记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（ ）
A．当，点在上时，
B．当，点在上时，
C．当，三点共线时，
D．当，四边形的外接圆圆心坐标为时，
11．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
三、填空题.
12．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ．
13．已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 .
14．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ．
四、解答题
15．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：．
16．已知抛物线上一点到焦点的距离为，直线与抛物线交于、两点，（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的值．
17．已知抛物线：的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积．
18．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积．
19．抛物线的焦点为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．
①证明：点到和的距离相等；
②若的面积等于的面积，求点的坐标．
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．C
3．A
4．B
5．A
6．D
7．C
8．D
二、多项选择题
9．AC
10．ACD
11．ABC
三、填空题
12．
13．
14．/
四、解答题
15．【解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
，又，，该椭圆的右焦点为，
又抛物线的焦点为，所以，解得，
故抛物线的方程为．
（2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为，
设直线的方程为，
联立，得，即，
方程的判别式，
设，，则，，
由根与系数的关系得，
因为，，
所以，
.
16．【解】（1）因为抛物线上点到焦点的距离为，所以，
解得，所以抛物线的方程为.
（2）设，由，消得到，
因为，所以，且，
所以，
又，则，即
解得或，又因为，所以.
17．【解】（1）由抛物线的定义得，
因为，所以，解得，所以的方程为．
（2）由（1）知，直线的斜率存在且不为0．
设直线的方程为，，，
由消去得，则，
所以，因为点G是AB的中点，
所以，同理得，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为8．
根据对称性，不妨取，即直线AB的方程为，
则，同理得，故．
18．【解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为，
将点代入方程可得，解得，
此时抛物线的标准方程为，准线方程为；
当抛物线开口向上时，设其方程为，
将点代入方程可得，解得，
此时抛物线的标准方程为，准线方程为.
综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为.
（2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为.
画出图象为：
由题意可知存在，，因为，所以.
设点，所以，解得（舍去）或.
直线的方程为，即.
所以点的坐标为.
所以的面积为.
19．【解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：.
（2）①设直线方程为，，，
由得：，则，
，，
又，
，
易知点，所以垂直于轴，
所以，所以点到和的距离相等.
②因为，所以，
故直线PA//FQ，所以，
由①知，所以，
所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.3.1抛物线及其标准方程课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（ ）
A． B． C．-8 D．-4
4．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，过Γ上一点P作于A，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知直线l过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点（A在第一象限），点P在C的准线上，若为等边三角形，则l的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．的坐标为
10．记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（ ）
A．当，点在上时，
B．当，点在上时，
C．当，三点共线时，
D．当，四边形的外接圆圆心坐标为时，
11．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
三、填空题.
12．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ．
13．已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 .
14．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ．
四、解答题
15．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：．
16．已知抛物线上一点到焦点的距离为，直线与抛物线交于、两点，（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的值．
17．已知抛物线：的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积．
18．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积．
19．抛物线的焦点为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．
①证明：点到和的距离相等；
②若的面积等于的面积，求点的坐标．
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．C
3．A
4．B
5．A
6．D
7．C
8．D
二、多项选择题
9．AC
10．ACD
11．ABC
三、填空题
12．
13．
14．/
四、解答题
15．【解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
，又，，该椭圆的右焦点为，
又抛物线的焦点为，所以，解得，
故抛物线的方程为．
（2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为，
设直线的方程为，
联立，得，即，
方程的判别式，
设，，则，，
由根与系数的关系得，
因为，，
所以，
.
16．【解】（1）因为抛物线上点到焦点的距离为，所以，
解得，所以抛物线的方程为.
（2）设，由，消得到，
因为，所以，且，
所以，
又，则，即
解得或，又因为，所以.
17．【解】（1）由抛物线的定义得，
因为，所以，解得，所以的方程为．
（2）由（1）知，直线的斜率存在且不为0．
设直线的方程为，，，
由消去得，则，
所以，因为点G是AB的中点，
所以，同理得，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为8．
根据对称性，不妨取，即直线AB的方程为，
则，同理得，故．
18．【解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为，
将点代入方程可得，解得，
此时抛物线的标准方程为，准线方程为；
当抛物线开口向上时，设其方程为，
将点代入方程可得，解得，
此时抛物线的标准方程为，准线方程为.
综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为.
（2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为.
画出图象为：
由题意可知存在，，因为，所以.
设点，所以，解得（舍去）或.
直线的方程为，即.
所以点的坐标为.
所以的面积为.
19．【解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：.
（2）①设直线方程为，，，
由得：，则，
，，
又，
，
易知点，所以垂直于轴，
所以，所以点到和的距离相等.
②因为，所以，
故直线PA//FQ，所以，
由①知，所以，
所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)