2026年九年级数学中考一轮复习专题三：二次函数与一元二次方程的关系综合训练（含解析）

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2026年九年级数学中考一轮复习专题三
二次函数与一元二次方程的关系综合训练
1．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，4）在二次函数y＝ax2+2x+c（a＞0）的图象上，
（1）用含a的代数式表示c＝　 　 ；
（2）当0≤x≤2时，求二次函数的最大值；
（3）已知直线y＝x与抛物线y＝ax2+2x+c（a＞0）相交于A，B两点，若，求a的取值范围．
2．已知抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（1，a）时，求a的值；
（2）若点，在此抛物线上，求a3﹣5a2﹣5a+9m+2025的值．
3．已知二次函数y＝ax2﹣a2x（a为常数）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）该函数图象的对称轴是直线x＝ 　 　 （用含a的代数式表示）．
（3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上．对于2≤x1≤3，2a≤x2≤2a+1，都有y1＜y2，直接写出a的取值范围．
4．已知抛物线G：y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P（0，t）（﹣1≤t≤2）为y轴上一动点，过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合）．
（1）当a＜0时，若，求抛物线G的纵坐标在4a≤x≤4a+5时的取值范围；
（2）对于a（a＞0）的每一个确定的值，MN有最小值m，若m≤2，求a的取值范围．
5．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）．
（1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴；
（2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1．
①求a的取值范围；
②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值．
6．设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3．
（1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围．
7．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣1.5，﹣4.5），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）．
（1）若该函数经过点（1，﹣6），求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值；
（3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围．
8．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m是常数，且m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1）和点B（m﹣1，y2）．
（1）若m＝2，求抛物线顶点坐标；
（2）若存在实数k，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），且1＜k＜2，求m的取值范围；
（3）当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求m的值．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过（c，3a+1）和（0，﹣c+2）两点．
（1）若b＜0，求当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围；
（2）已知直线与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个交点．
①求a的值；
②若点（x2，y2）在直线上，点（x2+m，y2+n）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
求证：当x2＝m+1时，n的最小值是．
10．在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+c上的两点．
（1）若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，求抛物线的对称轴；
（2）若对于2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，都有y1＞y2，求t的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣n．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含n的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中n﹣2≤x1≤n+1，x2＝3﹣n．
①若y1的最大值是2，求y1的最小值；
②若对于x1，x2，都有y1≥y2，直接写出n的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象上．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）点B（m，y1），C（m+2，y2）在该函数的图象上，若m＞﹣2，求证：y1＜y2．
（3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），满足1＜x2﹣x1＜2，求a的取值范围．
13．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍．
（1）b的值为　 　 ．
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
①若x1＝2，t＝6m，求m的值；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最小值．
14．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与直线L相交于A，B两点，且点A在y轴上．
（1）若A，B两点的坐标分别为（0，2），（3，5）．
（i）求直线L的函数表达式；
（ii）设w＝a+b+ab，求w的最大值．
（2）若直线L与x轴，y轴所围成的三角形面积为，抛物线C的顶点在直线L上，且b＝3c2﹣2c+1，求c的值．
15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3）．
（1）请用含a的代数式表示b．
（2）若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），求该抛物线的函数表达式．
（3）当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，试求a的取值范围．
参考答案
1．【解答】解：（1）由条件可得：4a+4+c＝4，
∴c＝﹣4a，
故答案为：﹣4a；
（2）由（1）得c＝﹣4a，
∴二次函数解析式：y＝ax2+2x﹣4a，
∵a＞0，
∴对称轴为直线，
∵0≤x≤2，
∴当x＝2时，函数有最大值为y＝4a+4﹣4a＝4；
（3）设y＝ax2+2x﹣4a的图象与直线y＝x交点为A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
则有y1＝x1，y2＝x2，
联立解析式得ax2+x﹣4a＝0，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
2．【解答】解：（1）∵抛物线经过点（1，a），
∴a﹣2（a+3）+10＝a，
解得a＝2；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0），
∴对称轴为直线x，
∵点，在此抛物线上，
∴点，关于对称轴对称，
∴，
解得m＝2，
把代入y＝ax2﹣2（a+3）x+10，
得a2（a+3）10＝a﹣3，
∵a≠0，
去分母得9﹣6a﹣8+10a＝a2﹣3a，
整理得a2﹣7a+9＝0，
∴a3＝7a2﹣9a，a2﹣7a＝﹣9，
∴a3﹣5a2﹣5a+9m+2025
＝a3﹣5a2﹣5a+18+2025
＝7a2﹣9a﹣5a2﹣5a+18+2025
＝2a2﹣14a+18+2025
＝2×（﹣9）+18+2025
＝2025．
3．【解答】（1）证明：由题知，
（﹣a2）2﹣4a×0＝a4，
因为a≠0，
所以a4＞0，
故该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：二次函数y＝ax2﹣a2x（a为常数）的对称轴为直线xa；
故答案为：．
（3）解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，对称轴为直线xa，
∴点B（x2，y2）关于对称轴的对称点为（a﹣x2，y2），
∵2a≤x2≤2a+1，
∴﹣a﹣1≤a﹣x2≤﹣a，
∵对于2≤x1≤3，2a≤x2≤2a+1，都有y1＜y2，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴2a＞3或﹣a﹣1＞3，
解得a；
当a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴2a+1＜2或﹣a＜2，解得﹣2＜a＜0，
综上，a的取值范围是a或﹣2＜a＜0．
4．【解答】解：（1）由点C是抛物线与y轴的交点，
把x＝0时，得y＝﹣3a，
∴点C的纵坐标为﹣3a；
把y＝0代入y＝a（x+1）（x﹣3），
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∵，点C的坐标为（0，﹣3a），
∴，
解得，
∵a＜0，
∴，
∴抛物线的解析式为，且对称轴为直线x＝1，
当4a≤x≤4a+5，即﹣3≤x≤2时，
得当x＝1时，函数取最大值，即y＝3
当x＝﹣3时，函数取最小值，即y＝﹣9
得抛物线G的纵坐标在﹣3≤x≤2时的取值范围﹣9≤y≤3；
（2）由抛物线可知顶点坐标为（1，﹣4a），设点M的坐标为（xM，﹣1），点N的坐标为（xN，﹣1），
若a＞0，由图可得当t＝﹣1时，MN取得最小值m，
把y＝﹣1代入y＝a（x+1）（x﹣3），整理得ax2﹣2ax+1﹣3a＝0，
得xM+xN2，xMxN，
∵M（xM，﹣1），N（xN，﹣1），
∴MN＝|xM﹣xN|，
∴m24xMxN，
整理得m2，
∵m≤2，
∴，
解得，
∵顶点（1，﹣4a），过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合），
∴﹣4a＜t，
即﹣4a＜﹣1，
解得，
∴a的取值范围为．
5．【解答】解：（1）∵AB∥x轴，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x3；
（2）①抛物线y＝ax2+x+c的对称轴为直线x，
当a＞0时，抛物线开口向上，0，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在y轴的右侧，
∴点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1，
故a的取值范围是a＞0；
当a＜0时，抛物线开口向下，0，
∵点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的左侧，
∴6，解得a，
a的取值范围是a＜0，
故a的取值范围是a＜0或a＞0；
②若a＜0，则抛物线开口向下，
∵点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，y1≥y2，
∴，
解得t，
∵1≤t≤2，
∴1，
解得a，
经检验a是原方程的解，
∴a的值是．
6．【解答】解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1，
∴1，解得a＝1，
∴y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴该函数的顶点坐标为（1，3）；
（2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值5，
整理得a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣1，
∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1；
（3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，
∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3，
解得a＝3，
∴y＝﹣x2+6x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x3，
∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，
∴x2＜1或x2＞5．
7．【解答】解：（1）∵函数y＝﹣x2﹣x+c经过点（1，﹣6），
∴﹣1﹣1+c＝﹣6，
解得：c＝﹣4，
∴该函数解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4；
设点P是函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”，
则P（m，3m），
∴3m＝﹣m2﹣m﹣4，
解得：m1＝m2＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣6）；
（2）由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4，
配方得y＝﹣（x）2，
∴抛物线的对称轴为直线x．
当t+1，即t时，y最小值＝﹣（t+2）2﹣（t+2）﹣4＝﹣t2﹣5t﹣10；
当t+1，即t时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4；
综上，当t时，y最小值＝﹣t2﹣5t﹣10，当t时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4；
（3）由题意，得“三倍点”所在的直线为y＝3x．
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x的图象至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝42﹣4×1×（﹣c）＝16+4c≥0，
解得：c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣6+c，
代入y＝3x，得y＝﹣9，
则﹣9＞﹣6+c，
解得：c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣2+c，
代入y＝3x，得y＝3，
则3＞﹣2+c，
解得：c＜5．
综上，c的取值范围为﹣4≤c＜5．
8．【解答】解：（1）若m＝2，则二次函数为y＝x2﹣2x，
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标（2，﹣4）；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx（m是常数，且m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1）和点B（m﹣1，y2），
∴y1＝（2m+1）2﹣2m（2m+1）＝2m+1，y2＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝1﹣m2，
∵y2﹣1＝k（y1﹣1），
∴k，
∵1＜k＜2
∴．
∴﹣4＜m＜﹣2；
（3）∵二次函数y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
∴对称轴为直线xm，顶点为（m，﹣m2），
∵当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，
∴B（m﹣1，y2）在抛物线对称轴的左侧，点A（2m+1，y）抛物线对称轴的右侧，
∴当x＝m时，y的最小值是﹣m2，
若2m+1﹣m＞m﹣（m﹣1），即m＞0时，x＝2m+1时，y有最大值为2m+1，
∴2m+1﹣（﹣m2）＝3，
解得m＝﹣1或m＝﹣1（舍去），
若2m+1﹣m＜m﹣（m﹣1），即m＜0，y的最大值是1﹣m2，
∴1﹣m2﹣（﹣m2）＝1≠3．
综上，m的值是．
9．【解答】解：（1）由题意可得：﹣c+2＝0+0+c，
∴c＝1，
把（1，3a+1）代入解析式y＝ax2+bx+c，得3a+1＝a+b+1
∴b＝2a
∴y＝ax2+2a+1
∴对称轴是直线
∵b＜0
∴a＜0
∴抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
（2）①由题意可得：
当y1＝y时，方程2a2x﹣a2﹣a+1＝ax2+bx+c有两个相等的实数根．
整理，得ax2+（2a﹣2a2）x+a2+a＝0．
∴（2a﹣2a2）2﹣4a（a2+a）＝0．
解得a＝3．
②证明：∵a＝3，
∴，y＝ax2+bx+c＝3x2+6x+1．
∵点（x2，y2）在直线y1＝18x﹣11上，点（x2+m，y2+n）在抛物线y＝3x2+6x+1上．
∴y2＝18x2﹣11，．
∴．
∵x2＝m+1，
∴18（m+1）﹣11+n＝3（m+1+m）2+6（m+1+m）+1．
∴．
∵12＞0，
∴当x2＝m+1时，n的最小值是．
10．【解答】解：（1）∵P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+c上的两点．
若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，
则P（﹣1，y1），Q（3，y2）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x1；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+c开口向上，对称轴为直线xt，
∵2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，
∴Q（x2，y2）在对称轴的右侧，P（x1，y1）关于对称轴的对称点为（2t﹣x1，y1），
∴2≤2t﹣x1≤3，
∵对于2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，都有y1＞y2，
∴2t﹣3＞t+3或2＞t+3，
解得t＞6或t＜﹣1，
综上，t的取值范围是t＞6或t＜﹣1．
11．【解答】解：（1）y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣n＝﹣（x2﹣2nx+n2）﹣n＝﹣（x﹣n）2﹣n，
则抛物线的顶点坐标为（n，﹣n）；
（2）①y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣n＝﹣（x﹣n）2﹣n，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向上，
∵n﹣2＜n＜n+1，
∴当x1＝2时，y1有最大值2，2＝﹣n，n＝﹣2，
∴﹣4≤x1≤﹣1，
此时，y＝﹣（x+2）2+2，﹣4≤x≤﹣1，
对称轴为x＝﹣2，在x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴当x1＝﹣4时，y1有最小值：；
②∵y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣n＝﹣（x﹣n）2﹣n的对称轴为x＝n，
∴当x＞n时，y随x的增大而减小，当n+2≤3﹣n时，y1≥y2，
当x＜n时，y随x的增大而增大，当n﹣2≥3﹣n时，y1≥y2，
即n+2≤3﹣n，
解得n，
n﹣2≥3﹣n，
解得，
综上，n的取值范围：n或．
12．【解答】（1）解：∵A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1的图象上，
∴1＝4a﹣2b+1，
∴b＝2a，
∴对称轴为直线，
（2）证明：∵点B（m，y1）C（m+2，y2）在该函数的图象上，
，
，
∴y2﹣y1＝4am+8a＝4a（m+2），
∵m＞﹣2，a＞0，
∴4a（m+2）＞0，
∴y2﹣y1＞0，即y1＜y2．
（3）解：如图，1＜x2﹣x1＜2，对称轴为x＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，
∴﹣1＜2x2＜0，
∴﹣0.5＜x2＜0，
∴当x＝﹣0.5时，y＜0，
即，
解得．
13．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍，
∴2，
∴b＝8．
故答案为：8；
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+8x上，
①若x1＝2，t＝6m，则y1＝﹣22+4×2＝4，
∴B（2+m，4+6m），
∴4+6m＝﹣（2+m）2+8（2+m），
解得m＝2或m＝﹣4；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，
∴1≤m≤4，
则y1＝﹣（m+2）2+4（m+2）＝﹣m2+4，
∴B（2m+2，﹣m2+4+t），
∴﹣m2+4+t＝﹣（2m+2）2+8（2m+2），
∴t＝﹣3m2+8m+8＝﹣3（m）2，
∵1≤m≤4，
∴m＝4时，t有最小值﹣8．
14．【解答】解：（1）（i）由题意，∵直线L过（0，2），
∴可设直线L的函数表达式为y＝kx+2．
又∵直线L过（3，5），
∴5＝3k+2．
∴k＝1．
∴直线L的函数表达式为y＝x+2．
（ii）由题意，∵A（0，2），B（3，5）在抛物线上，
∴．
∴b＝﹣3a+1．
∴w＝a+b+ab＝a+（﹣3a+1）+a（﹣3a+1）
＝a﹣3a+1﹣3a2+a
＝﹣3a2﹣a+1
＝﹣3（a）2．
∵﹣3＜0，
∴当a时，w＝a+b+ab取最大值为．
（2）由题意，可设直线L为y＝mx+c，
∴直线L与x轴的交点B为（，0）．
又∵与y轴的交点A为（0，c），
∴直线L与坐标轴围成三角形的面积为|c （）|．
∴||．
∴m＝±c2．
又∵抛物线的顶点在直线L上，
∴点（，）在直线L上．
∴m+c．
∴b2＝2bm．
∴b＝2m或b＝0（舍去，不合题意）．
∴b＝±3c2．
又∵b＝3c2﹣2c+1，
∴3c2﹣2c+1＝±3c2．
∴c（当3c2﹣2c+1＝﹣3c2时，无解）．
综上，c．
15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3），
∴，
②﹣①得3a﹣3b＝﹣3，即a﹣b＝﹣1，
∴b＝a+1；
（2）∵该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣3，0），（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1），
代入（﹣2，﹣3），得﹣3＝﹣3a，
解得a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1），即该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（3）y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1．
记y'＝y﹣x＝ax2+ax﹣2a﹣1，
图象对称轴直线，
①当a＞0时，如图1，
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y′≤0，则1＜x＜3，y＜0成立．
即9a+3a﹣2a﹣1≤0，
解得，
所以；
②当a＜0时，如图2，
当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y′≤0，则1＜x＜3，y'＜0成立，
即a+a﹣2a﹣1≤0，﹣1≤0恒成立，
所以或a＜0时，y＜x始终成立．
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