1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:15:55 | ||
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文档简介
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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
姓名：__________ 班级：__________ 学号：______________
一、单项选择题
1．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．0 B． C． D．1
6．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
7．在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ）
A．平面平面
B．对于任意， 三棱锥的体积为定值
C．周长的最小值为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
10．已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则平面
B．若，则与所成角的取值范围为
C．若，则二面角的平面角为
D．若，则三棱锥的体积为2
11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角是
B．当时，点到平面的距离为
C．三棱锥的体积不变
D．若，则二面角的平面角的正弦值为
三、填空题.
12．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线到的距离为 ．
13．在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是 ．
14．已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ．
四、解答题
15．如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，．
(1)求证：平面ABC；
(2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16．如图，在圆锥中，是底面的直径，且，该圆锥的侧面积为.已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示．
(1)证明：平面；
(2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
21．如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．D
5．C
6．A
7．D
8．D
9．ACD
10．AC
11．BC
12．
13．
14．
15．【解】（1）由题可知，，．
在中，，
所以，
在三棱柱中，所以，
因为平面平面且平面平面，
所以平面.
（2）因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意，得，，，，且D为的中点，即，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值.
16．【解】（1）由圆锥的底面周长为，可得侧面积为，解得.
在中，根据中位线性质可得，所以平面，
由于，底面圆半径是1，所以，
又，所以，而，
所以为等边三角形，.
于是且，所以四边形是平行四边形，可得，
所以平面，又，，平面，
所以平面平面.
（2）易知.如图，以为坐标原点，在平面中，
过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
设平面的法向量，
则，令，则；
设平面的法向量，
则，令，则.
结合（1）可知，也是平面的法向量，
从而，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【解】（1）如图所示，取的中点，连接．
由分别为的中点，则，
而，得，
即四边形为平行四边形，故，
而平面平面，故平面．
（2）取的中点的中点，连接，
由为等边三角形，则．
由平面平面，平面平面平面，
故平面．
由，
以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
则．
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得．
则．
由图形知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．
18．【解】（1）
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面.
（2）
如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；
则，
可得，
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，
易知面得一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【解】（1）侧面为矩形，，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，所以，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）连接，如图，
由（1）易知，
所以由已知可得，
在中由余弦定理可得，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以在中，
由（1）易知两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，
则取，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．【解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）（ⅰ）如图，连接．
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
（ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则.
令，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
21．【解】（1）∵，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
又平面，.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
又平面，.
∵，，，平面，平面，∴平面.
又平面，.
（2）由（1）可知，，，故以为坐标原点，，，分别为，，建立空间直角坐标系如图所示.
则由题可知，，，，，
∴，，.
平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为.
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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
姓名：__________ 班级：__________ 学号：______________
一、单项选择题
1．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．0 B． C． D．1
6．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
7．在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ）
A．平面平面
B．对于任意， 三棱锥的体积为定值
C．周长的最小值为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
10．已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则平面
B．若，则与所成角的取值范围为
C．若，则二面角的平面角为
D．若，则三棱锥的体积为2
11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角是
B．当时，点到平面的距离为
C．三棱锥的体积不变
D．若，则二面角的平面角的正弦值为
三、填空题.
12．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线到的距离为 ．
13．在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是 ．
14．已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ．
四、解答题
15．如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，．
(1)求证：平面ABC；
(2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16．如图，在圆锥中，是底面的直径，且，该圆锥的侧面积为.已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示．
(1)证明：平面；
(2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
21．如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．D
5．C
6．A
7．D
8．D
9．ACD
10．AC
11．BC
12．
13．
14．
15．【解】（1）由题可知，，．
在中，，
所以，
在三棱柱中，所以，
因为平面平面且平面平面，
所以平面.
（2）因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意，得，，，，且D为的中点，即，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值.
16．【解】（1）由圆锥的底面周长为，可得侧面积为，解得.
在中，根据中位线性质可得，所以平面，
由于，底面圆半径是1，所以，
又，所以，而，
所以为等边三角形，.
于是且，所以四边形是平行四边形，可得，
所以平面，又，，平面，
所以平面平面.
（2）易知.如图，以为坐标原点，在平面中，
过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
设平面的法向量，
则，令，则；
设平面的法向量，
则，令，则.
结合（1）可知，也是平面的法向量，
从而，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【解】（1）如图所示，取的中点，连接．
由分别为的中点，则，
而，得，
即四边形为平行四边形，故，
而平面平面，故平面．
（2）取的中点的中点，连接，
由为等边三角形，则．
由平面平面，平面平面平面，
故平面．
由，
以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
则．
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得．
则．
由图形知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．
18．【解】（1）
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面.
（2）
如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；
则，
可得，
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，
易知面得一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【解】（1）侧面为矩形，，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，所以，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）连接，如图，
由（1）易知，
所以由已知可得，
在中由余弦定理可得，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以在中，
由（1）易知两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，
则取，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．【解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）（ⅰ）如图，连接．
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心．
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以三棱锥的体积．
（ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则.
令，则，
当时，，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
21．【解】（1）∵，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
又平面，.
∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
又平面，.
∵，，，平面，平面，∴平面.
又平面，.
（2）由（1）可知，，，故以为坐标原点，，，分别为，，建立空间直角坐标系如图所示.
则由题可知，，，，，
∴，，.
平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为.
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