1.4.1.2空间中直线、平面的平行课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年

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1.4.1.2空间中直线、平面的平行课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
姓名：__________ 班级：__________ 学号：______________
一、单项选择题
1．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A． B．
C． D．与相交但不垂直
2．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
3．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．l与α相交但不垂直 D．或
4．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，则在的投影向量为
B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
6．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为2
7．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）
B．
C． D．
二、多项选择题
9．在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．不存在点，使得平面平面CDP
C．存在唯一的点，使得平面
D．直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为
10．在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
11．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若非零空间向量满足，则有
B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则或
C．若向量，且，则
D．若向量，且共面，则
三、填空题.
12．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ．
13．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ．
14．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 .
四、解答题
15．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．

16．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面；
17．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，分别为棱，上的点，且交于点．
(1)求证：平面；
(2)求证：四边形为平行四边形，并计算其面积．
18．在空间直角坐标系中，，，，．
(1)求；
(2)判断点，，，是否共面，并说明理由．
19．如图，四边形为正方形，平面，，.
证明：平面.
参考答案
一、单项选择题
1．A
2．B
3．A
4．A
5．D
6．B
7．B
8．B
【解】由题意可知：，
设，则．
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
因为平面，则，
即，解得，即点坐标为．
故选：B.
二、多项选择题
9．ABD
10．BD
11．BCD
三、填空题
12．
13．-1
14．/2.5
四、解答题
15．【解】证法一：由题意知，直线两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
所以，又，故．
证法二：由题意可得
，
又，所以．
16．【解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，
则
∵分别是的中点
∴
则
显然平面的一个法向量为，
所以，则，
又面 ，所以平面.
17．【解】（1）如图，过点作于点，连接，
由题意得，为的中点，
在正方体中，为的中点，，，
四边形为平行四边形，
，
平面平面，
平面．
（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，
四边形为平行四边形，
又，
，
，
∴四边形的面积为．
18．【解】（1）由题意知，，
∴；
（2）∵，，，
设，则无解，
即不存在，使得，，共面，
故点，，，不共面．
19．【解】（1）由题意易知两两互相垂直.
如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系.设.
依题意有,
有,
则,
故
又不共线，所以为平面的一个法向量.
又因为,且
即,且平面，
故有平面.
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