1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 607.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:22:48 | ||
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文档简介
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1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点，，，则平面的法向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是
3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（ ）．
A． B． C． D．
4．在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ）
A． B． C． D．
7．如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（ ）
A． B．与相交 C．与异面 D．
8．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知点，，则（ ）
A．为 B．线段的中点坐标为
C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
11．已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题.
12．在直线l上，则直线l的一个方向向量为 .
13．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 .
14．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．
(1)试用表示；
(2)若正方体的棱长为，求的面积；
(3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量．
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面的一个法向量．
17．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
(1)设平面的法向量为，求的值；
(2)求与 所成角的余弦值．
18．已知，，．
(1)写出直线的一个方向向量；
(2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式．
19．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．
(1)求.
(2)求平面的一个法向量
参考答案
一、单项选择题
1．A.
2．C
3．D
4．D
5．A
6．B
7．D
8．A
二、多项选择题
9．ABC
10．AC
11．AC
三、填空题
12．
13．
14．（答案不唯一）
【解】解：由
则
因为向量是平面的一个法向量，
所以，令，则
故答案为：
四、解答题
15．【解】（1）因点分别是的中点，
则，，
则.
（2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
则，
则，，，
得，则，
则，
故的面积为.
（3）设平面的法向量为
则，令，则，
平面的一个法向量为.
16．【解】（1）因为底面为正方形，故；
平面，平面，故，
平面，
故平面；
（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
故，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量为.
17．【解】（1）由题可知，
，
则，即，
解得 ；
（2），
∴，
又，
∴.
18．【解】（1），，
，
即为直线的一个方向向量．（答案不唯一）
（2）由题意得，
平面，，
，则，
，
．
化简得．
19．【解】（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，，
.
（2）设平面的法向量，
，，，
则有，即，令，则，
所以.
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1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点，，，则平面的法向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是
3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（ ）．
A． B． C． D．
4．在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ）
A． B． C． D．
7．如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（ ）
A． B．与相交 C．与异面 D．
8．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知点，，则（ ）
A．为 B．线段的中点坐标为
C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
11．已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题.
12．在直线l上，则直线l的一个方向向量为 .
13．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 .
14．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．
(1)试用表示；
(2)若正方体的棱长为，求的面积；
(3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量．
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面的一个法向量．
17．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
(1)设平面的法向量为，求的值；
(2)求与 所成角的余弦值．
18．已知，，．
(1)写出直线的一个方向向量；
(2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式．
19．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．
(1)求.
(2)求平面的一个法向量
参考答案
一、单项选择题
1．A.
2．C
3．D
4．D
5．A
6．B
7．D
8．A
二、多项选择题
9．ABC
10．AC
11．AC
三、填空题
12．
13．
14．（答案不唯一）
【解】解：由
则
因为向量是平面的一个法向量，
所以，令，则
故答案为：
四、解答题
15．【解】（1）因点分别是的中点，
则，，
则.
（2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
则，
则，，，
得，则，
则，
故的面积为.
（3）设平面的法向量为
则，令，则，
平面的一个法向量为.
16．【解】（1）因为底面为正方形，故；
平面，平面，故，
平面，
故平面；
（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
故，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量为.
17．【解】（1）由题可知，
，
则，即，
解得 ；
（2），
∴，
又，
∴.
18．【解】（1），，
，
即为直线的一个方向向量．（答案不唯一）
（2）由题意得，
平面，，
，则，
，
．
化简得．
19．【解】（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，，
.
（2）设平面的法向量，
，，，
则有，即，令，则，
所以.
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