1.3.1空间直角坐标系课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 1.3.1空间直角坐标系课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 591.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:22:59 | ||
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文档简介
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1.3.1空间直角坐标系课后提升训练人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ）
A． B． C．1 D．9
3．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．点在空间直角坐标系中的（ ）
A．轴上 B．平面上
C．平面上 D．第一象限内
6．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ）
A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称
7．已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
8．若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于平面对称
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
10．下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点与点关于z轴对称
B．点与点关于y轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
三、填空题.
11．设点的坐标为，点关于平面的对称点是 ．
12．空间任意两点，间的距离 ．
13．在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
15．如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.
(1)求的坐标；
(2)求线段的长度.
16．已知点，求：
(1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标；
(2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标.
17．在空间直角坐标系中，已知长方体，，，，
(1)写出，点的坐标.
(2)点E是的中点，，用表示出及
18．如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基.
(1)求向量在基下的坐标；
(2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且.
①求向量在基下的坐标；
②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积.
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．C
3．C
4．A
5．B
6．C
7．A
8．A
二、多项选择题
9．ACD
10．BD
三、填空题
11．
【分析】根据点的对称性质求解即可.
【详解】点关于平面的对称点是.
故答案为：.
12．
【分析】由两点距离公式可得结论.
【详解】由，，
可得.
故答案为：.
13．
【分析】先由点关于x轴对称求得C的坐标，再由空间两点间距离公式计算即可得解.
【详解】因为的坐标为，则关于轴的对称点，
又B的坐标为，
所以.
故答案为：.
四、解答题
14．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标；
（2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标.
【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直．
以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，；
（2），
，
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标；
（2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得.
【详解】（1）如图，由题意可知，
因，则 .
（2）为的中点，.
是上的靠近点的三等分点，.
由两点间的距离公式，得.
16．(1)，.
(2)，，.
【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标；
（2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标.
【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，.
（2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，.
17．(1)；；
(2)；.
【分析】（1）根据空间直角坐标系及长方体的长宽高即可直接写出；
（2）根据向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）点在轴上，且，则；
点在轴，轴，轴上的射影为，
它们在坐标轴上的坐标分别为，所以；
（2）；
.
18．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求；
（2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可.
【详解】（1）设向量在基下的坐标为，
则
因为
可得方程组，解得
所以向量在基下的坐标为.
（2）①向量在基下的坐标为，
即
则.
因为向量与共线，可设，
解得，
所以在基下的坐标为或.
②，
因为与的夹角为锐角，从而，所以，
在上的投影大小为
以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥，
该圆锥的半径，
两个圆锥高值和为，
所以旋转体的体积为
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1.3.1空间直角坐标系课后提升训练人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ）
A． B． C．1 D．9
3．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．点在空间直角坐标系中的（ ）
A．轴上 B．平面上
C．平面上 D．第一象限内
6．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ）
A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称
7．已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
8．若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于平面对称
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
10．下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点与点关于z轴对称
B．点与点关于y轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
三、填空题.
11．设点的坐标为，点关于平面的对称点是 ．
12．空间任意两点，间的距离 ．
13．在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
15．如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.
(1)求的坐标；
(2)求线段的长度.
16．已知点，求：
(1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标；
(2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标.
17．在空间直角坐标系中，已知长方体，，，，
(1)写出，点的坐标.
(2)点E是的中点，，用表示出及
18．如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基.
(1)求向量在基下的坐标；
(2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且.
①求向量在基下的坐标；
②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积.
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．C
3．C
4．A
5．B
6．C
7．A
8．A
二、多项选择题
9．ACD
10．BD
三、填空题
11．
【分析】根据点的对称性质求解即可.
【详解】点关于平面的对称点是.
故答案为：.
12．
【分析】由两点距离公式可得结论.
【详解】由，，
可得.
故答案为：.
13．
【分析】先由点关于x轴对称求得C的坐标，再由空间两点间距离公式计算即可得解.
【详解】因为的坐标为，则关于轴的对称点，
又B的坐标为，
所以.
故答案为：.
四、解答题
14．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标；
（2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标.
【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直．
以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，；
（2），
，
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标；
（2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得.
【详解】（1）如图，由题意可知，
因，则 .
（2）为的中点，.
是上的靠近点的三等分点，.
由两点间的距离公式，得.
16．(1)，.
(2)，，.
【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标；
（2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标.
【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，.
（2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，.
17．(1)；；
(2)；.
【分析】（1）根据空间直角坐标系及长方体的长宽高即可直接写出；
（2）根据向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）点在轴上，且，则；
点在轴，轴，轴上的射影为，
它们在坐标轴上的坐标分别为，所以；
（2）；
.
18．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求；
（2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可.
【详解】（1）设向量在基下的坐标为，
则
因为
可得方程组，解得
所以向量在基下的坐标为.
（2）①向量在基下的坐标为，
即
则.
因为向量与共线，可设，
解得，
所以在基下的坐标为或.
②，
因为与的夹角为锐角，从而，所以，
在上的投影大小为
以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥，
该圆锥的半径，
两个圆锥高值和为，
所以旋转体的体积为
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