1.3.2空间向量运算的坐标表示课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年

1.3.2空间向量运算的坐标表示课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A．12 B．9 C． D．
2．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则
3．已知向量，则在方向上投影的数量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间向量，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．已知 ，且，则（ ）
A．-5 B． C．4 D．
6．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ）
A． B． C． D．
7．设，向量，，，且，，则（ ）
A．5 B．1 C． D．
8．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列各组向量，能构成空间基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．
B．与夹角的余弦值为
C．是等腰直角三角形
D．与平行的单位向量的坐标为或
11．在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的中点坐标为
B．
C．
D．若，则四点共面
三、填空题.
12．空间直角坐标系中，已知，且点在平面上，则 .
13．已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为 .
14．已知两个向量，则 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，，．
(1)求的值；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)设，若，求的值．
16．已知.
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的值.
17．已知，，．
(1)求；
(2)若，求实数，的值．
18．已知空间中三点，，．
(1)设，且，求的坐标；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；
(3)求的面积．
19．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）．
(1)若，求的最小值；
(2)若，求与夹角的最大值．
20．已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
21．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直．
(1)求向量的坐标；
(2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
22．已知
(1)，求的坐标；
(2)求；
(3)若与互相垂直，求实数的值.
23．已知空间三点，，．
(1)求向量与的夹角；
(2)若，求实数的值．
(3)求的面积.
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得.
【详解】由向量，共线，
故存在，使得，即，
解得，，所以．
故选：C．
2．D
【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误；
对于选项B:若，则，解得，故选项B错误；
对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误；
对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确．
故选：D.
3．D
【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可.
【详解】已知，得，
所以在方向上投影的数量为.
故选：D.
4．C
【分析】利用空间向量垂直的数量积性质即可解出的值.
【详解】由，有，
则，
即，解得.
故选：C.
5．D
【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解.
【详解】因为 ，且，
所以，解得.
故选：D.
6．A
【分析】分析可知、、三个向量共面，则存在实数、，使得，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值.
【详解】由题意可知，、、三个向量共面，则存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：A.
7．D
【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解.
【详解】由有存在，所以，
由有，所以，所以，
故选：D.
8．D
【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解.
【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于，
所以，
所以，结合得
则向量夹角的余弦值为.
故选：D.
二、多项选择题
9．ACD
【分析】能构成空间基底，则这三个向量不共面，判断向量是否共面，即可得.
【详解】A：设存在实数使得，则，即无解，所以向量不共面，能构成空间基底，对；
B：由坐标运算得，即共面，不能构成基底，错；
C：设存在实数使得，则，即无解，所以不共面，能构成空间基底，对；
D：设存在实数使得，则，即无解，所以不共面，能构成空间基底，对.
故选：ACD
10．ABD
【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误.
【详解】A：，则，对；
B：，，
则，，所以，对；
D：与平行的单位向量为，即或，对；
C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错.
故选：ABD
11．BD
【分析】对于A，由空间中点坐标公式可判断选项正误；对于B，由空间向量坐标运算，数量积运算公式可判断选项正误；对于C，验证是否等于0，可判断选项正误；对于D，由可得，据此可判断选项正误.
【详解】因为，，，所以，，.
对于A，的中点坐标为．故A错误；
对于B，，则．故B正确；
对于C，，所以，不垂直．故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
所以，即，
所以，，共面，所以四点共面，故D正确.
故选：BD
三、填空题
12．9
【分析】利用空间向量的坐标运算及共面向量定理列式计算即得.
【详解】依题意，，由点在平面上，得，
则，
因此，解得，
故答案为：9
13．2
【分析】应用空间向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】由题设，
由与互相垂直，则，
所以.
故答案为：2
14．
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】,
故答案为：
四、解答题
15．(1)9
(2)
(3)
【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题．
【详解】（1）
（2），，,，
设与的夹角为，则．
（3），，
根据，
解得．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标运算求出.
（2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出.
【详解】（1）由，得.
（2）由（1）知，，
由，得
，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案；
（2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案.
【详解】（1）因为，，
则，，，
所以.
（2）由题意可得：，
因为，且，
设，即，
则，解得.
18．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解；
（2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标；
（3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解.
【详解】（1）由已知得．
因为，所以可设，
所以，解得，
所以或．
（2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，
由，，，
得，，
所以，故．
（3）由题可得，，
所以，，
所以，
又，所以，
所以的面积．
19．(1)
(2)
【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果．
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设．
，，
由于，所以，即．
又，所以，
由于，所以当时取得最小值．
（2），，
因为，所以，即．
又．
由于，所以（利用二次函数的性质求解），
即当或1时，取得最小值，因此的最大值为，
即与夹角的最大值为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值；
（2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值.
【详解】（1）因为向量，，且，则，解得，
所以，，则，
故.
（2），
所以，.
因此，向量与夹角的余弦值为.
21．(1)或；
(2)
【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解；
（2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）设，则由题可知，
解得或，
所以或．
（2）因为向量与向量共线，所以．
又，，所以，，
所以，且，，
所以与夹角的余弦值为．
22．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
（2）因为、、，，，
所以，，
则.
（3）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
23．(1)
(2)3或
(3)
【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）由已知得：，，
，
所以，向量与的夹角为60°．
（2），，
∵ ，
∴，
∴，解得或，
∴实数k的值为3或．
（3）由（1）得，，
故的面积为.