1.2空间向量的基本定理课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年

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1.2空间向量的基本定理课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．0
2．对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列命题中，为真命题的是（ ）
①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面；
③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．四面体中，，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．0
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．两两共面，但不可能共面
B．有且仅有一对实数，使得
C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
D．，，一定能构成空间的另一个基底
10．在平行六面体中，，，M为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在三棱柱中，为空间中一点，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上
三、填空题.
12．在四面体中，所有梭长都是2，、分别为棱、的中点，则
13．已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，且，则 ．
14．在三棱柱中，为的中点，则 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，已知是平行六面体．
(1)在图中标出的结果；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的点，，设，试求的值；
(3)设底面是边长为1的正方形，，，求的值．
16．如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．
(1)用，，表示向量，并求的模长；
(2)求证：，；
(3)求与所成角的余弦值．
17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．
(1)试用 表示向量，，
(2)求；
(3)求证：
18．如图所示，平行六面体中，．
(1)求；
(2)求．
19．如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.
(1)求证：A，E，，F四点共面；
(2)若，求x+y+z 的值.
20．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
参考答案
一、单项选择题
1．A
【分析】设，，，由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解.
【详解】由题意，是空间的一个基底，
设，，，则不共线．
因为不能构成空间的一个基底，则共面，
所以存在实数使得，
即，
所以，解得，，．
故选：A.
2．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．
【详解】空间任意一点和不共线的三点，
令，
若，则，，
，，
所以四点共面，
所以充分性成立；
若四点共面，
当与四个点中的一个（比如点）重合时，
，可取任意值，不一定有，
即不一定有，
所以不能得到，
故必要性不成立，
所以“”是“四点共面”的充分不必要条件，
故选：B.
3．D
【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为N为BC的中点，则，所以，，
则，因此，．
故选：D
4．D
【分析】根据空间基底向量的性质逐个选项判断即可.
【详解】对①，若，不共线，则存在向量使得不在，所组成的面上，此时有，，不共面，可以构成空间的一个基底，故，共线，故①正确；
对②，若非零向量，，不构成空间的一个基底，则，，共面，即四点共面，故②正确
对③，由空间向量的基本定理可得③正确.
综上有①②③正确.
故选：D
5．A
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，
使得，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；
由于，则，，共面，故B错误；
由于，则，，共面，故C错误；
由于，则，，共面，故D错误；
故选：A.
6．B
【分析】利用空间向量线性运算计算即可.
【详解】
因为，
所以，点为的中点，
所以，即.
故选：B
7．A
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为、分别是、的中点，
则，，
所以，
故选：A.
8．C
【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解.
【详解】由四点共面，所以，即，
故选：C.
二、多项选择题
9．ACD
【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断.
【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确；
对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确；
对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确；
对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：ACD.
10．AD
【分析】根据向量的线性运算判断A，根据A的结果，计算数量积，判断B，利用基底表示，再代入向量数量积运算求模，判断C，根据几何图形，判断D.
【详解】对于A，，故A正确：
对于B，，故B错误，
对于C，，故C错误：
对于D，易得为正三角形，故，故D正确.
故选：AD
11．ACD
【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可．
【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确；
对于B，当时，，，连接，即，
即，所以点在线段上，故B错误；

对于C，当时，，，所以，
所以，即，所以点在棱上，故C正确；
对于D，当时，，，
由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．
【分析】用向量，表示出，利用数量积的运算即可求解.
【详解】
如图，由题意有，
，又因为两两的夹角为，且模长为2，
所以，
所以
.
故答案为：.
13．16
【分析】设，，又，根据垂直得到数量积为0，从而得到方程，求出，得到.
【详解】设，，
又，其中，
故，，
又，
故
，
解得，所以．
故答案为：16
14．
【分析】根据题意，，两边平方计算后求其模.
【详解】根据题意，取中点，连接,
，
又，
则
，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）借助向量空间向量线性运算法则计算后在图中标出即可得；
（2）借助向量空间向量线性运算法则计算即可得；
（3）借助向量空间向量线性运算法，数量积及其运算律求得，再代入公式求向量夹角的余弦即可.
【详解】（1）如图，取的中点即为所求．

由平行六面体的性质可得，
故．
（2）
，
即．
（3），
所以
．
，
，
所以．
16．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用向量的三角形法即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果.
（2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明.
（3）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】（1），，
所以．
（2），所以，同理可证,所以：．
（3）设为异面直线与所成的角，
17．(1)，；
(2)；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解；
（2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解；
（3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明.
【详解】（1），
.
（2）因为，
所以，
，
，
所以.
（3）因为．
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由两边平方后可得.
（2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可.
【详解】（1），又
则
，
所以．
（2）由空间向量的运算法则，可得，-
因为且，
所以
，
-
，-
则．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明；
（2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）证明：
，
所以A，E，，F四点共面.
（2）
，
，，，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果.
（2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可.
【详解】（1），
.
（2）因为，
所以，
所以，
，
所以
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