1.1.2空间向量的数量积运算课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 1.1.2空间向量的数量积运算课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 936.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:23:58 | ||
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文档简介
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1.1.2空间向量的数量积运算课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
2．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．最小值为B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
10．已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．正四面体外接球的表面积为
B．正四面体内切球的体积为
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题.
12．在空间四边形中，，，，，则 ．
13．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ．
14．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
16．如图，已知空间四边形．
(1)若，，求证：；
(2)求的值．
17．如图，已知正方体的棱长为1.
(1)求的值；
(2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围．
18．如图所示，在平行六面体中，，，，．
(1)求；
(2)求线段的长．
19．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
(1)用分别表示，．
(2)若，，，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
参考答案
一、单项选择题
1．D
【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果．
【详解】由题意
，
又，即，得，
所以．
故选：D．
2．B
【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算.
【详解】
.
故选：B
3．D
【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可．
【详解】依题意，得，
则，
故选：D
4．D
【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案.
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，，
又因为四面体为正四面体，且棱长为，
可得.
故选：D.
5．D
【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2，
则，
所以
.
故选：D
6．C
7．B
【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】依题意，有，，设，
则
．
故选:B．
8．B
【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则，
由共面，则，解得，
所以
.
故选：B.
二、多项选择题
9．BC
【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案.
【详解】设的中点为，连接，则，则，
即点在以为球心，以1为半径的球面上．
如图，因为，所以．
因为正四面体的棱长为，所以，，又，
所以．设，
则．
因为，所以．
故选：BC
10．ABC
【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，由题：，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，由，得，由，得
，所以，
则
．故C正确；
对于D，，所以，故．故D错误.
故选：ABC
11．ABD
【分析】把正四面体放入正方体中，通过求得正方体的外接球的半径判断A；利用等体积法求得内切球的半径判断B；设正四面体的外接球球心为，利用向量的数量积运算可得，进而可求范围.
【详解】正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内，
如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为，
可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为，
从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确.
由题意可得，
设正四面体的内切球半径为，所以，
解得，其体积，故B正确.
设正四面体的外接球球心为，则，
.因为点在正四面体的表面上运动，所以，
则的取值范围为，所以C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．22
【分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案.
【详解】因，则，
，
则，
整理得，因此．
.
故答案为：22
13．
【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积.
【详解】
如图所示，设中心为，则平面，
则，
即，即，
所以点在以为球心，为半径的球上，
由已知正四面体的棱长为，
则，，
则
，
故答案为：.
14．
【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解.
【详解】因为，与、的夹角都是，且，，，
则，，，
则，
所以，
故答案为：.
四、解答题
15．(1)10
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可；
（2）根据数量积为0证明垂直；
（3）由，再计算模长即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以
.
所以.
16．(1)证明见解析
(2)0
【分析】（1）得，得，两式相减，化简得到答案
（2），代入提公因式化简可以得到答案
【详解】（1）因为，所以，
同理可得，两式相减可得，
即，所以．
（2）
．
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
（2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
【详解】（1）依题意，．
（2）取中点，则．
而，则，所以．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可.
（2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）
，
所以线段的长为．
19．(1)，
(2)（ⅰ）14；（ⅱ）
【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解；
（2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论.
【详解】（1）连接，取中点为，连接．
因为底面是正六边形，所以，即，
所以，又因为，所以．
（2）由题知，，
根据，可知，
因为底面是正六边形，所以，所以．
（ⅰ）．
（ⅱ）因为，
所以，所以．
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1.1.2空间向量的数量积运算课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
2．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．最小值为B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
10．已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．正四面体外接球的表面积为
B．正四面体内切球的体积为
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题.
12．在空间四边形中，，，，，则 ．
13．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ．
14．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
16．如图，已知空间四边形．
(1)若，，求证：；
(2)求的值．
17．如图，已知正方体的棱长为1.
(1)求的值；
(2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围．
18．如图所示，在平行六面体中，，，，．
(1)求；
(2)求线段的长．
19．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
(1)用分别表示，．
(2)若，，，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
参考答案
一、单项选择题
1．D
【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果．
【详解】由题意
，
又，即，得，
所以．
故选：D．
2．B
【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算.
【详解】
.
故选：B
3．D
【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可．
【详解】依题意，得，
则，
故选：D
4．D
【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案.
【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，，
又因为四面体为正四面体，且棱长为，
可得.
故选：D.
5．D
【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2，
则，
所以
.
故选：D
6．C
7．B
【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】依题意，有，，设，
则
．
故选:B．
8．B
【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则，
由共面，则，解得，
所以
.
故选：B.
二、多项选择题
9．BC
【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案.
【详解】设的中点为，连接，则，则，
即点在以为球心，以1为半径的球面上．
如图，因为，所以．
因为正四面体的棱长为，所以，，又，
所以．设，
则．
因为，所以．
故选：BC
10．ABC
【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，由题：，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，由，得，由，得
，所以，
则
．故C正确；
对于D，，所以，故．故D错误.
故选：ABC
11．ABD
【分析】把正四面体放入正方体中，通过求得正方体的外接球的半径判断A；利用等体积法求得内切球的半径判断B；设正四面体的外接球球心为，利用向量的数量积运算可得，进而可求范围.
【详解】正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内，
如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为，
可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为，
从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确.
由题意可得，
设正四面体的内切球半径为，所以，
解得，其体积，故B正确.
设正四面体的外接球球心为，则，
.因为点在正四面体的表面上运动，所以，
则的取值范围为，所以C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．22
【分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案.
【详解】因，则，
，
则，
整理得，因此．
.
故答案为：22
13．
【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积.
【详解】
如图所示，设中心为，则平面，
则，
即，即，
所以点在以为球心，为半径的球上，
由已知正四面体的棱长为，
则，，
则
，
故答案为：.
14．
【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解.
【详解】因为，与、的夹角都是，且，，，
则，，，
则，
所以，
故答案为：.
四、解答题
15．(1)10
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可；
（2）根据数量积为0证明垂直；
（3）由，再计算模长即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以
.
所以.
16．(1)证明见解析
(2)0
【分析】（1）得，得，两式相减，化简得到答案
（2），代入提公因式化简可以得到答案
【详解】（1）因为，所以，
同理可得，两式相减可得，
即，所以．
（2）
．
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
（2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
【详解】（1）依题意，．
（2）取中点，则．
而，则，所以．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可.
（2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）
，
所以线段的长为．
19．(1)，
(2)（ⅰ）14；（ⅱ）
【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解；
（2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论.
【详解】（1）连接，取中点为，连接．
因为底面是正六边形，所以，即，
所以，又因为，所以．
（2）由题知，，
根据，可知，
因为底面是正六边形，所以，所以．
（ⅰ）．
（ⅱ）因为，
所以，所以．
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