1.1.1空间向量及其线性运算课后提升训练（含解析）人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年

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1.1.1空间向量及其线性运算课后提升训练
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若向量，满足，则
D．若，，则
3．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．下列命题中正确的是（ ）
①若，则，，三点共线；
②若，则，，，四点共面；
③若，则，，，四点共面．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（ ）
A．与一定共线 B．与一定共面
C．，，一定共面 D．与一定共线
6．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，都是直线的方向向量，则必有
B．为空间任意一点，若，且四点共面，则
C．若为不共线的非零向量，，，则
D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则
11．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题.
12．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ．
13．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ．
14．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
16．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面．
17．如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点．
(1)化简：；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)设、交于点，求证：．
18．已知向量是空间中不共面的三个向量，.
(1)若，求的值；
(2)若四点共面，求的值.
19．在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，．
(1)证明：当取最小值时，；
(2)设，求的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可.
【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得，
由已知得
故
由于不共面，故解得
另解:因为向量不共面，所以，
由已知得
故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得．
故选：C.
2．D
【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可.
【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的；
把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误；
对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行，
所以当时，与不一定平行，故B错误；
对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误；
对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确．
故选：D.
3．A
【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果.
【详解】选项A，若，，共面，则存在实数使得，即，得到共面，与已知矛盾，所以A正确；
选项B，因为，所以，，共面，所以B错误；
选项C，因为，所以，，共面，所以C错误；
选项D，因为，所以，，共面，所以D错误.
故选：A.
4．C
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确；
，若，，不共面，
则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误；
，
所以，即，，，四点共面，命题③正确．
故选：C.
5．D
【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案.
【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确，
对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确，
对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确，
对于D，与不一定共线，所以D错误.
故选：D.
6．B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意点是的中点，
所以.
故选：B.
7．B
【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值.
【详解】由得，
即，
由空间向量共面定理的推论可知，，解得.
故选：B.
8．B
【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案.
【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得.
因为，所以，
因为E为的中点，，
所以，，
所以，
，
，
代入，得，
所以，解得.
故选：B．
二、多项选择题
9．ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确；
对于选项B:因为，
所以，即,
由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确；
对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直，
四点不一定共面，故选项C错误；
对于选项D:若，则直线平行或重合，
故四点共面, 故选项D正确．
故选：ABD.
10．CD
【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D.
【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误；
对于选项B: 由题意可得:，
所以，
因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得，
即；故选项B错误；
对于选项C:因为，所以，故选项C正确；
对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得
不妨设，则
此时共面，与不共面矛盾，
所以只有时，，故选项D正确．
故选：CD.
11．AC
【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解.
【详解】因为，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D错误.
故选：AC
三、填空题
12．
【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.
【详解】延长交边于点，则，
则有，，
故．
故答案为：.
13．0
【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可.
【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得.
故答案为：0
14．
【分析】由图结合空间向量加法可得答案.
【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC.
如图，可得，又.
则，，则.
故答案为：
四、解答题
15．(1)，作图见解析
(2)，作图见解析
(3)，作图见解析
【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【详解】（1），
向量如图所示.
（2）；
向量如图所示.
（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证；
方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证.
（2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面
【详解】（1）证法1：由得，，，
，，
因为①；②，
由①②，得
，
所以
证法2：设是平面内一点，
由平面向量中的定比分点公式可得，，
即.
（2）由，分别是，上的动点，设,
因为，分别为，的中点，即，
根据（1）的结论，得.
又因为分别为，的中点，
所以，，
，
即直线在平面上，所以，，，四点共面．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简；
（2）证明出，即可证得结论成立；
（3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立.
【详解】（1）因为为的中点，所以，
所以．
（2），同理得，
所以，所以四边形是平行四边形．
（3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点，
因为、分别为、的中点，
所以，．
由，可得．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果；
（2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果.
【详解】（1）由题可得：
，
，
因为，所以，
即解得
所以的值分别为；
（2）因为四点共面，所以存在，使得，
即，
于是有
所以，
即的值为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据条件确定点的位置，再证明线线垂直.
（2）先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围.
【详解】（1）如图：取中点，中点，连接，
则，.
因为，，
所以三点共线.
又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值.
又，所以.
（2）易知，
.
所以，，，
故（）.
根据二次函数的性质，当时，有最小值，为；
当或时，有最大值，为.
故的取值范围为：
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