3.1.2函数的表示法课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

3.1.2函数的表示法课后提升训练人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题.
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B．4 C． D．8
3．若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数满足，，则等于（ ）
A．33 B．32 C．31 D．30
8．若函数是二次函数，满足，则=（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题.
9．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．的值域为
C．的定义域为 D．的值域为
10．已知函数的定义域为，，，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ）
A．
B．
C．的值域为
D．不等式的解集为
三、填空题.
12．已知，则的值为 .
13．若函数与是同一个函数，则 ．
14．已知函数，若，则 ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的定义域为，求实数的值；
(3)若的定义域为，求实数的取值范围.
16．已知函数．
(1)若，求；
(2)若的定义域为，求的取值范围．
17．求下列函数的解析式
(1)已知函数是一次函数，满足，求；
(2)已知是二次函数，且，，，求．
18．求下列函数的解析式.
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知，求.
19．已知函数，其中，.
(1)若，求：实数的值；
(2)若时，求不等式的解集；
(3)求不等式的解集；
20．已知
(1)求出的函数解析式
(2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式
21．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)对，不等式恒成立，求的最小值.
22．（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3）已知函数，求；
23．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的取值范围．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、单项选择题
1．D
【分析】利用配凑法即可解答.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．D
【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案.
【详解】，所以，
故选：D.
3．D
【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.
【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内，
因此和是方程的两根，可得，
又易知，可得，
即，所以.
故选：D
4．C
【分析】由对分段函数的定义域的理解可得.
【详解】由，
得函数的定义域为.
故选：C.
5．B
【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，再进行分类讨论求出的取值即可．
【详解】函数的图象如图所示，
当时，，此时，
当时，或；时，或
而由题意得函数的值域为，
当，即时，需满足，此时满足不等式；
当，即时，需满足，此时满足不等式；
综上所述：实数的取值集合为，
故选：B．
6．D
【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：D.
7．D
【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得.
【详解】令，则，
令，则，则，所以①．
所以，则，
又因为，所以，，所以②．
①－②，得，所以．所以．
故选：D．
8．B
【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【详解】设（），由，则，
由，则，
整理可得，则，解得，
所以.
故选：B.
二、多项选择题
9．BC
【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD.
【详解】对于A，法一：依题意，，
则，，故A错误；
法二：设，则，且，则，
所以，，故A错误；
对于B，当时，，当且仅当时取等号，
因此的值域为，故B正确；
对于C，在中，令，解得，
因此的定义域为，故C正确；
对于D，显然，，于是，
因此的值域为，故D错误．
故选：BC.
10．BC
【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D.
【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误，
对于B，令，得到，由选项A知，
所以，故B正确，
对于C，令，则，
又，则，
又由题可知，故，
又，
所以，故C正确，
对于D，由，则，
所以，
，
由选项C中分析知，所以，
即，故D错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】对于A：将代入即可；对于B：画出函数图象，数形结合可得B正确；对于C：观察图象即可得到值域，对于D：在B基础上，分，，和四种情况，求解不等式即可求得结果.
【详解】对于A：将分别代入函数，，得到，故，故A错误；
对于B：令，故，解得或，
同一坐标系内画出两函数图象，如下：
观察图像可知当时，，
当时，，
当时，，
所以故B正确；
对于C：观察图象得到值域为，故C正确；
对于D：当时，，
通过观察图象可知函数单调递减，定有；故，
当时，，此时，
因为，所以，
解得或（舍），故；
当时，，此时，
，即，无解；
当时，，由于，
故，无解，
综上：不等式的解集为，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．3
【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案.
【详解】令，则，进一步可得，
，
，
故答案为：3.
13．/
【分析】由已知条件可求得，再代入求解即可.
【详解】因为与是同一个函数，
则，故.
故答案为：
14．0
【分析】根据求得的值，再代入求值即可.
【详解】因为，所以，解得，则，
所以.
故答案为：0.
四、解答题
15．(1)
(2)2
(3).
【分析】（1）配方求解值域；
（2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解；
（3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以的值域为.
（2）因为的定义域为，
所以-2和1是方程的两个根，
故，解得，检验符合，故,.
（3）当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域不为，不符合题意；
当时，由题意，在上恒成立，
令，解得，
综上所述，实数的取值范围.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求解得，进而计算可求.
（2）分，和三种情况，分别计算求解即可.
【详解】（1）因为，所以，解得，则，
故．
（2）因为的定义域为，所以对于任意，不等式恒成立，
①当时，二次函数的图象开口向下，
故必然存在使得，不符合题意；
②当时，的定义域为，不满足题意；
③当时，要使对于任意恒成立，
只需满足，解得．
综上，的取值范围是．
17．(1)或
(2)
【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式；
（2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
【详解】（1）设，则
，
所以，解得或，
所以或.
（2）设，
根据题意得，解得
所以．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得；
（2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得；
（3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式.
【详解】（1）令，则，
于是有，
所以.
（2）函数，又的值域为，
.
（3）∵，
∴用替换上式中的，得到，
解方程组，得.
19．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据解析式列方程计算即可；
（2）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（3）分，两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）由，则.
（2）当时，，
由，则，解得，
所以不等式的解集为.
（3）由，则，即，
当时，，解得或；
当时，，不等式无解.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．(1)
(2)；
【分析】（1）代入给定条件建立方程组，利用待定系数法求解解析式即可.
（2）利用待定系数法求出解析式，再结合题意建立不等式组确定的范围，再求解的解析式即可.
【详解】（1）因为，
所以，，解得，，
则，故的函数解析式为.
（2）由题意得是一次函数，设，
因为，所以，，
解得，则，令，
解得，令，解得，
而用表示和的最大者，
故.
21．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用分解因式解不等式，结合分类讨论可求不等式的解集；
（2）先证明，再说明时满足条件，可求得的最小值.
【详解】（1）因为，
由，得，
整理得，
所以，不等式对应方程的两根为或，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
所以不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）由，不等式恒成立，可得，
所以，解得，
又当时，对，有，满足条件，
所以的最小值为.
22．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式；
（2）利用函数关系，列方程组求解析式即可；
（3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式.
【详解】（1）令，又，
所以，
所以，故；
（2）由题设，联立，
所以，则，故；
（3）由题设，时，时，时，
所以.
23．(1)，；
(2)或；
(3).
【分析】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解.
（2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可.
（3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可.
【详解】（1）依题意，，而,
所以.
（2）当时，，解得，不合题意；
当时，，即，而，则；
当时，，解得，符合题意，
所以当时，或.
（3）由，得或或，
解得或或或,
所以实数的取值范围是.