湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试卷(含答案）

湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A B. C. 1 D. i
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 是的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知单位向量满足，则（ ）
A. 2 B. C. D.
6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数且，关于函数，有下列四个命题：
甲： 是的极值点; 乙：3是的零点;
丙： 在区间单调递减; 丁： 在单调递增．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数则（ ）
A. 函数为偶函数 B. 的最大值为
C. 在区间单调递增 D. 曲线关于对称
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1
B. 的展开式中，的系数是
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60
11. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ）
A. B. 数列等差数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则______.
13. 已知直线与圆交于两点，写出满足“”的的一个值：______.
14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角的对边分别为，已知
（1）求
（2）的角平分线交于点，若，求的周长．
16. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据．
男性网民 女性网民 合计
喜欢网络文学 45 60 105
不喜欢网络文学 55 40 95
合计 100 100 200
（1）判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关；
（2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜．
（i）在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望；
（ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式，并求出使的的最小值．
附 ，其中n=a+b+c+d．
0.1 0.05 0.01 0005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围；
（3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值．
19. 已知函数其中且
（1）讨论的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为求证：对于任意的正实数，都有
（3）若关于的方程， （为实数)有两个正实数根，，求证
参考答案
1-8.
【答案】A
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】C
【答案】A
【答案】D
【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】0
13.【答案】（答案不唯一）
14.【答案】####
15.【小问1】
因为，所以，
则，由余弦定理得，
因为，所以，则，由题意得，
联立两式，得到，解得 .
【小问2】
如图，作出符合题意的图形，
因为的角平分线交于点，所以，
则，得到，故，
而，
而，则在中，由正弦定理知，
解得，故的周长为.
16.【小问1】
因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB，
因为平面平面ABC，所以，
又平面
所以平面
又因为平面，所以，
连接，易得，
所以，所以，
又因为，所以，
因为，平面，
所以平面.
【小问2】
取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直，
以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
由（1）知平面的一个法向量为，又，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17.【小问1】
根据列联表中的数据，得，
所以没有的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关.
【小问2】
（i）X的可能取值为0，1，2，3，
；；
；，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
（ii）依题意，，
则，而，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，，
当为奇数时，，不合题意；
当为偶数时，，令，得，
当时，，当时，，又数列单调递增，则，
所以的最小值为6.
18.【小问1】
由题意，解得，所以，
所以椭圆C的方程为．
【小问2】
由题意，
令，则，
当时，，当且仅当取等号；
当时，，当且仅当取等号；
所以或，
即取值范围为．
【小问3】
方法一：①当l斜率不为0时，
设直线，，，则，，
，
，
，，
所以，即，
所以，代入得，
（*）
，O到直线l的距离，
，
当且仅当，即时取“=”．
②当l斜率为0时，设直线，联立，
则，
由得，解得，
所以，
综上：．
方法二：设，，，，
由，
，，
设，，其中，，
即，，
，
，而，，
当且仅当或2即，或，时，取最大值1．
19.【小问1】
由，，得，其中且.
下面分两种情况讨论：
①当为奇数时，令，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
-1 1
– 0 + 0 –
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以， 在，上单调递减，在单调递增.
②当为偶数时，令解得.
1
+ 0 –
↗ 极大值 ↘
所以， 在单调递增，在上单调递减.
故当为奇数时， 在，上单调递减，在单调递增.
当为偶数时，在单调递增，在上单调递减.
【小问2】
证明：设点的坐标为，则，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
令，即，则.
由于且，所以幂函数在上单调递增，因此在上单调递减，
故在上单调递减，且，
所以当时，；当时，
所以 在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值
所以对应任意的正实数，都有.
故对于任意的正实数，都有
【小问3】
证明：不妨设，由（2）知，设方程的根为，可得.
又由知在上单调递减，由（2）知，可得.
同理，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当,.
即对于任意的，.设方程的根为，可得，
因为在上单调递增，且，因此.
由此可得： ，
因为所以，所以有.
所以.
故.