全国名校第一次月考试卷 数 学
注意事项:
1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围:选择性必修第一册(第一章~第二章)。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的.
1.已知点A(2,1),B(3,2), 则直线AB 的倾斜角为
A.135° B.60° C.45° D.30°
2.如图所示,空间四边形OABC 中 ,OA=a,OB=b,OC=c, 点 M 在OA 上,且,M 为OA 中点, N 为BC 中点,则MN 等于
A
B.
C.
3.过点A(1,4) 的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为
A.x-y+3=0 B.x+y-5=0
C.4x-y=0 或x+y-5=0 D.4x-y=0 或 x-y+3=0
4. 已知 a=(1,2,—y),b=(x,1,2), 且 2b//(a-b), 则
A B C D.x=1,y=-1
5.在空间直角坐标系中,若a=(1,1, 一 √3),b=(1,-1,x), 且a⊥b, 则 |a+b|=
A.√5 B.√7 C.√ 11 D.√ 13
月考卷(一) ·数学 第1页(共4页)选择性必修第一册-
6.直线L :kx—y+2k+1≈0 与L :z+ky—k+2=0 分别与圆 O:z +y =10 交于A,C 和B, D, 则四边形ABCD 面积的最大值为
A.15 B.10 C.4√5 D.3√5
7.已知圆C:(x—2) +(y-3) =4, 若点P 在直线x-y-4=0 上运动,过点P 作圆C 的两条 切线PA,PB, 切点分别为A,B, 则直线AB 过定点坐标为
(
D
) (
B
) (
A.
)C
8.如图,正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,线段B D 上有两个动点E,F(E 在F 的左
边),且EF=√2. 下列说法正确的是
A. 当 E,F 运动时,存在点E,F 使得AE⊥CF
B. 当 E,F 运动时,存在点E,F 使得AE//BF
C. 当 E 运动时,二面角E-AB-C 的最小值为45°
D. 当 E,F 运动时,二面角A-EF-B 的余弦值为定值
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知v 为直线l 的方向向量,n ,nz 分别为平面a:β的法向量(a,β不重合),那么下列说法中, 正确的有
A.v//n L//α B.vLn l⊥a C.n://n a//β D.n ⊥n a⊥β
10.圆 C:(x-2) +y =1, 点P(m,n) 为圆 C 上的动点,则下列结论正确的是
A. 的最大值为 B.m-+n 的最大值为3
C.m +n 的最大值为9 D 无最大值
11.如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA⊥平 面AB- CD,SA=AB,O,P 分别是AC.SC 的中点,M 是棱SD 上的动点,则 下列说法中正确的是
A.OM⊥AP
B. 存在点M, 使OM// 平面SBC
C. 存在点M, 使直线OM 与AB 所成的角为30°
D. 点 M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知 a=(1,1, √2), |b|=2, |a-b|=2, 则a ·b=
13.已知直线l:x+y-1=0: 与圆C:(x-3) +(y+4) =5 交于A,B 两点, 则 |AB|=
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四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13分)
已知直线l :(2a-1)x—(a-2)y+1=0, 直线l ;(a+1)z—2y-1=0.
(1)若L //l ,求实数a 的值;
(2)若l⊥l , 求实数a 的值.
16. (15分)
已知(e ,e ,e }为空间的一个基底,且OP=2e—e +3e,OA=e +2e —es,OB=-3e +
e +2e ,OC=e +e —e .
(1)判断P,A,B,C 四点是否共面;
(2)能否以{OA,OB,C 作为空间的一个基底 若能,试以这一组基表示OP; 若不能,请说 明理由.
17. (15分)
已知圆 C:(x-2) +(y-3) =4, 直线l:(m+1)x+(2m+1)y=5m+3.
(1)判断并证明直线I 与圆C 的位置关系;
(
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数学第4页(共4
页)选择性必修第一册
)(2)设直线I 与圆C 交 于A,B 两点,若点A,B 分圆周得两段弧长之比为1:2,求直线L的 方程.
18. (17分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中 ,BD⊥PC,∠ABC=60°, 四边形ABCD 是菱形,PB=√2AB= √2PA,E 是棱PD 上的动点,且PE=λPD.
(1)证明:PA⊥平面ABCD.
(2)是否存在实数λ,使得平面PAB 与平面ACE 所成锐二面角的余 弦值是 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
19. (17分)
已知直线l:x=my-1, 圆C:x +y +4x=0.
(1)证明:直线l 与圆C 相交;
(2)设l 与C 的两个交点分别为A,B. 弦AB的中点为M, 求点M 的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,设圆C 在点A 处的切线为l, 在点B 处的切线为L ,Ly 与Lg的交点为
Q. 试探究:当m 变化时,点Q 是否恒在一条定直线上 若是,请求出这条直线的方程;若 不是,说明理由.
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1.C 因为,又因为0°≤a<180°,所以α=45°.
2.A 由题意得
3.D 解法一:当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为 y=4x, 即 4x-y=0; 当直线不过原点时,设直线方 程为,因为直线过点A(1,4), 所以 ,解得a=-3, 此时直线方程为x-y+3=
0.
解法二:易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为y-4=k(x—1)(k≠0), 则 x=0
时,y=4—k,y=0 时 ,由题意知 ,解得k=4 或 k=1, 即直线方程为y=4x 或x 一
y+3=0.
4.B ∵a=(1,2,一y),b=(x,1,2), 且 2b//(a-b), 则 2b=(2x,2,4),a-b=(1-x,1,-y-2). ∵2b//(a-
解得
5.B 因为a=(1,1, 一 √3),b=(1,-1,x), 且 a⊥b, 所以a·b=1-1-√3x=0, 得 x=0, 所以b=(1,-1,0), 所以a+b=(2,0, 一 √3),所以|a+b|= √2 + (一 √ 3 = √ 7.
6.A 显然l ⊥l2, 且两直线同时过定点P(一2,1),点P 在圆O 内,设点O 到 弦AC,BD 的距离分别为d ,d2,
则d +dz =|OPI =5,|AC|=2√ 10-di ,|BD|=2√ 10-d2 , 四边形面积: 2√ 10-d ·√ 10-dz ≤10-di +10-d 2=20—(di+d)=15.
7.D 圆 C:(x—2) +(y-3) =4① 的圆心为C(2,3), 半径为2,过点P 作圆C 的两条切线PA,PB, 切点分别 为A,B, 故 P,A,C,B 四点共圆,其中PC 的中点为该圆心,PC 为直径.设P(m,m-4), 则 PC 的中点为
),IPCI=√(m-2) +(m-4-3 =√(m-2 +(m-7)°, 故过 P,A, C,B 的圆的方程为 ,变形得到z —(m+2)x+y —(m-
1)y=-5m+12②, 由①②相减可得直线AB 的方程,即(m-2)x+(m-7)y=5m-21, 整理得m(x+y-5) —2x-7y+21=0, 令 { - 2 - 7y+21=0, 解得故直线过定点坐标
8.C 对于A, 以 C 为坐标原点,CD,CB,CC 所在直线为x,y,z 轴,建立空间直角 坐标系Cryz, 则 A(2,2,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),D (2,0,2), 由 于 EF=√2, 设E(t,2 一t,2),F(t-1,3 一t,2),I≤t≤2, 则AE=(t-2, 一t,2),CF=D
(1- 1,3-t,2), ,所以当E,F 运 动时,故存在点E,F 使得AE⊥CF,A 错误;对于B, 若 AE//BF, 则 A,B,B ,D
四点共面,与AB 与B D 是异面直线矛盾,B错误;对于C, 设平面ABE 的法向
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量为m=(,y,z), 又 B=(-2.0,0), 故 令 y=2, 则m=(0,2,t), 平面ABC
的法向量可取为 n=(0,0,1), 故 . 因为1≤t≤2,且函数y=
在[1,2]上单调递减,所以,当且仅当t=2 时,取到最大值,设二面角E- AB-C 的平面角为θ,0°≤θ≤90°,则cosθ最大值为,即二面角E-AB-C 的最小值为45°,C 正确;对于D, 连接BD,AD ,AB , 平面 EFB 即为平面BDD B , 平面AEF 即为平面AB D , 平面BDD B 的法向量可取 为CA=(2,2,0), 设平面 AB D 的法向量为 t=(a,b,c), 又AB =(-2,0,2),D B =(-2,2,0), 故
,令a=1, 则 t=(1,1,1), 故 ,由图知二面角
A-EF-B 为锐角,则二面角A-EF-B 的余弦值为定值 ,D 错误.
9.CD 对于A,v//n I//α 或 lCa, 故 A 错误;对于B,v⊥n L//α 或 ICa, 故 B 错误;对于C,n //nz a//β, 故C 正确;对于D,n⊥n2 a⊥β, 故 D 正确.故选CD.
10.AC 圆 C:(x—2) +y =1 的圆心为 C(2,0), 半径为r=1, 设 ,则 km-n =0, 因 P 在圆上,所以
(
,解得
,故
)的取值范围是 ,故A 正确,D错误;因为m +n 的几何意
义为P 点到原点距离的平方,又P 到原点的距离的取值范围为[1,3],所以m +n 的取值范置为[1,9],故 m +n 的最大值为9,故B 错误,C 正确.故选 AC.
11.ABD 依题意可知AB,AD,AS 两两相互垂直,以A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系Azyz, 设AB= AD=AS=2, 则 S(0,0,2),C(2,2,0),P(1,1,1),O(1,1,0), 设M(0,t,2—t),OM= ( 一 1 ,t-1,2—t), 所以
OM·AP=-1+t-1+2-t=0, 所 以OM⊥AP,A 选项正确;点M 到平面
ABCD 与平面SAB 的距离和为2—t+t=2 为定值,D 选项正确;因为B(2,
0,0),SB=(2,0,—2),BC=(0,2,0), 设平面SBC 的法向量为n=(x,y,z),
故可设n=(1,0,1), 要使 OM// 平面 SBC,OMC 平 面 SBC, 则OM·n=(-1,t-1,2 一t)·(1,0,1)=-1+2-t=1-t=0, 解得 t=1, 所以存在点M, 使 OM// 平面 SBC,B 选项正确;若直线 OM 与直线AB
所成角为30°,则
+7=0,△=81-4×3×7=-3<0,无解,所以C 选项错误.故选 ABD.
12.2 因为a=(1,1,√2), 所以 a||=√ 1+1+2=2, 因为 |a-b|=2, 所以 |a-bl =a —2a·b+b =4, 即 4 一 2a·b+4=4, 解得a·b=2.
13.2 √3 由 圆C:(x—3) +(y+4) =5, 可得圆心坐标为C(3,-4), 半径为r=√5, 又由圆心C 到直线l:x+y
- 1=0的距离为,根据圆的弦长公式,可得IAB|=2 √ -dF=2 √5-( √2 =2 √3.
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如图,以C 为坐标原点,CA,CB,CC CO,0,0), ),可得CA =(1,0,2),
分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系Cxyz, 则 A (1,0,2),
.设平面DA C 的法向量为n=(x,y,z), 则
令x=2,则y=-2, z = - 1 , 即n =(2,-2,- 1) . 由题
意可得:平面A CC 的法向量 m =(0,1,0),则
.由图形可知:二面角D - A C -C 为钝角,所以其余弦值为 ·
15.解:(1)∵L // l ,∴(2 a-1) · (一2)=(2—a )·( a +1) ……………………… 2 分
整理得a —5 a =0,解得a = 0 或a =5 ……………………………………………… 5 分
当 a = 0 时 ,L 与 l 重合,舍去,故a =5 …………………………………………………………………………7 分
(2)解:∵L⊥l ,∴(2 a -1)·( a +1)+(2- a ) · (一2)=0……………………………………………………9 分
∴2a +3a-5=0,∴a=1 或
16.解:(1)假设P,A , B , C 四点共面,则存在实数x , y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC ,且 x + y + z =1,即2e - e +3e =x(e +2e - es)+ y (-3 e + e +2 es )+ z( e + e — es) ………………………………………… 3 分 比较对应的系数,得到关于x , y , z 的方程组
, 解得 x+y+ 十 z = 1 矛盾,
故 P ,A , B , C 四点不共面…………………………………………………………………………………………6 分 (2) 若 O A, OB ,OC 共面,则存在实数m , n,使OA= mOB + noC,
所以e +2 e - e3= m (-3 e + e +2 e )+ n( e + e — e ) ……………………………………………………8 分
所似 方程组无解,所以OA , OB, OC不共面……………………………………………………10分 所以{OA ,OB , C }可以作为空间的一组基底,令OA= a , OB = b ,OC =c,
所以
,
解得
………………………………………………………
12分
所以OP =2 e — e +3 e =2(3 a - b -5 c)一(a - c )+3(4 a - b—7c)
=17a-5b—30c=17 OA-5 OB -30C ………………………………………………………………………15分
17.解:(1)直线l 与 圆C 相交………………………………………………………………………………………2 分
证明如下:由l 得方程m ( x +2 y -5)+ x + y -3=0,
故l恒过两直线x +2 y- 5 = 0 以 及x + y -3=0的交点P (1,2). …………………………………………4 分 因为圆C 的圆心为(2,3),所以(1-2) +(2-3) =2<4,即点P 在圆的内部,
所以直线 l 与圆C 相交. ………………………………………………………………………………………6 分 (2) 因为圆C 的方程为(x -2) +( y -3) =4,所以点C 的坐标为(2,3),半径为2,
因为点A , B 分圆周得两段弧长之比为1:2,故∠ACB =120°,
所以∠CAB =30°,故圆心到直线的距离 ……………………………………………………… 9 分 直线斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,
因为点C 2,3)到直线x =1的距离为1,
所以直线 x =1满足条件,即直线l 的方程可能为x =1; ……………………………………………………11分 当直线斜率存在时,设直线方程为y -2= k(x -1),即kx - y—k +2=0,
则圆心到直线的距离, 解得k =0,
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所以直线l 的方程为y=2 14 分
故直线l 的方程为y=2 或x=1 15 分
18. (1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC 1分
因为BD⊥PC,AC,PCC 平面PAC, 且AC∩PC=C, 所以BD⊥平面PAC.
因为PAC 平面PAC,所以BD⊥PA 3分 因为PB=√2AB=√2PA, 所以PB =AB +PA , 即AB⊥PA.
因为AB,BDC 平面ABCD, 且AB∩BD=B, 所以PA⊥平面ABCD. 6 分 (2)解:取棱CD 的中点F,连接AF, 易证AB,AF,AP 两两垂直,故以A 为原点、分别以A B,AF,AP 的方向 为x,y,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 8 分
设AB=2, 则A(0,0,0),C(1,√3,0),D(-1,√3,0),P(0,0,2), 故AC=(1,3,0),PD= (一1, √ 3,-2),AP
=(0,0,2),所以AE=AP+PE=AP+λPD= (一 λ, √3λ,2—2λ). ………………………………………11分
设平面ACE 的法向量为n=(x,y,z), 则
令x=√3, 得
又平面PAB 的一个法向量为m=(0,1,0), 设面 PAB 与面ACE 所成的锐二面
整理得3x +2λ-1=0, 解得或λ=- 1(舍去) . …………………… 16分
故存在实数,使得面 PAB与面ACE 所成锐二面角的余弦值是
……………………………………17分
19. (1)证明:化简整理可得(m +1)y +2my-3=0,……………………………………2 分 因为△=4m +12(m +1)=16m +12>0, 所以直线l 与圆C 恒相交 . … … … … … … … … … … … … … 4分
(2)解:设直线l 与x 轴交于点P, 设M(x,y), 则有CM⊥PM, 故 分 ∵圆心C(-2,0),P (一1,0),∴(x+2,y)·(x+1,y)=0,
整理可得,x 即 ∴点M 的轨迹方程是,表示的是以为圆心,半径长为的圆 . … ……………………………………………………………………………………………………………10分
(3)解:当m 变化时,点Q 恒在直线x=2 上 . ……………………………………………………………11分
理由如下:设Q(xo,yo), 由题意可得,Q,A,B,C 四点共圆,且圆的方程为(x-xo)(x+2)+(y-yo)y=0, 即 x +y +(2-xo)x-yoy—2x =0, 13 分 与圆C 的方程x +y +4x=0 联立,消去二次项得(x +2)x+yoy+2x =0, 即为直线l的方程,与 l:x= my-1 比 较 可 得 ,xo+2=2x , 解得x =2 16 分
所以当m 变化时,点Q 恒在定直线x=2 上. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17分
月考卷(一)· 数学 参考答案 第4页(共4页)选择性必修第 一 册6.直线6:kx-y十2+1=0与a:x十ky一为+2=0分别与画0:2十=10交于A,C和B,
D,则四边形ABCD面视的最大值为
全国名校第一次月考试卷
A.15
B.10
C.45
.35
7.已知圆C:(x一2)2十(-3)2=4,若点P在直线x一y一4=0上运动,过点P作画C的两条
的
数学
切线PA,PB,切点分别为A,占,则直线AB过定点坐标为
A(传)
(停,)
c得
D借)
注意事项:
.如图,正方体AE()-ABD:的楼长为2,线段BD上有两个动点E,F(E在F的左
1.本试誉满分150分,考试时间120分钟
边),且EF=2,下列说法正确的是
2.考生作答时,诗将答菜答在答翅卡上。选择遵每小题遮出答策后,用2B铅笔把答题卡上
A.当E,F运动时:存在点E,F使得AE⊥CF
1
对应题月的答案标号涂黑,非迭择通计用左径05走米黑色足水签宇笔在答翅卡上各题的
B当E,P运动时,存在点F,F使得AE∥BF
空
答题区妓内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
C当F运动时,二面作E-AB-C的最小值为45“
3.本卷命题花阁:速择注达修第二册(第一章一第二辛),
到
D.当E,F运动时,二面角A-EF-B的余张值为定值
蛇
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选顶
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
是符合题目要求的.
求,全部选对的得6,部分选对的得部分分,有选错的得心分.
数
1.已知点A(2,1),B(3,2),则直线AB的颇斜角为
9.已知为直线的方向向t,%,分别为平面a,的法向量(23不重合),邦么下列说法中,
A135
B.50
C.45
D.30
正确的行
2.如图所示,空间四边形OABC中,OA=a,O=b,O心=c,点M在OA上,且,M为OA中点,
A.v∥=l∥a
B.v11台l⊥a
C,n:∥n:兰aa
D.n1⊥阳=e⊥3
N为BC中点,剥MN等于
10.圆C:(z一2)+y=1:点P(m,》为圆C上的动点,则下列结论正确的是
1
A是的总人信为号
3.十的最大值为3
Cm2十n2的最大值为9
D号无最大值
整
C.ga+zb-zc
11.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面BD是正方形,SA⊥平面AB-
CD,SA=AB,O,P分别是AC.SC的中点.M是棱SD上的动点,则
山.2a-+c
下列说法中正确的是
3.过点A(1:4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为
A.OM⊥AP
A.x-y+3=0
B.x+y-5-0
B.存在点M,使M平面SBC
誉
C.42-y=0或x十y-5=0
D.4x-3y=0戚x-y+3=0
C.存在点M,使直线OM与AB所成的角为0
4.已灯a=(1,2,一y),b=(x,1,2),且2b∥(a-b),则
D.点M到平面AECD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,
x=方y=1
Bx-2,y=-4
12.已别a=(1,1,w2),1bl=2,'a一bl=2,划a·b=
C=2y=号
D.x=1,y=-1
13.已知直线1:x+y-1=0:与圆C:{x3)2十〔y+4)3=5交于A,B两点
则川AB1=
5.在空间直角坐标系中,若a=(1,1,一3),b=(1,一1,x),且a⊥b.则|a十b川一
14.在直饺柱ABC-A:BC中,∠A(cB=0,D,D分别是AB,A,B,的中
A⑤
B.7
C,√1I
D./13
点,AC-BC=1AA=2.则二面角D-A,CC,的余弦值是
月考卷()·敛学第1页(共4页)选择性必修第一财
月考卷(-)·数学第2页〔共4页)选择性必修第一册