湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.2.2等差数列与一次函数课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
1.2.2 等差数列与一次函数
1.2 等差梳理
学习目标
1.理解等差数列的通项公式与一次函数的关系.
2.掌握等差数列的判定和证明方法.
情景导入
前面我们学习了等差数列的通项公式，现在我们对它进行变形：
an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，
你知道它与我们熟悉的哪一类函数有关吗？
1.等差数列与一次函数
新知探究
数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an = f (n)，因而可以利用函数知识来研究数列的性质．我们先看两个具体例子：
求下列等差数列{an }的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性：
（1）a1 =7，d =3； （2）a1 =7，d =－2．
不难求得，等差数列{an }的通项公式分别
（1） an=3n－2；（2）an=－2n＋9．
上述通项公式可以看成自变量 n 取正整数值的函数，将通项公式中的正整数自变量 n 换成实数自变量x，得到一次函数y=3x－2 和 y=－2x＋9，它们的图象都是直线．
当x取正整数值 n 时，就得到an ，等差数列的图象由直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．如图 1.2-2（1）、（2）所示．
由于一次函数y=3x－2的一次项系数3>0，函数递增，
因此数列{3n－2}也递增；
而一次函数y=－2x＋9的一次项系数一2<0，函数递减，
因此数列{－2n＋9}也递减．
对于一般的等差数列{an }，其通项公式为an=a1＋(n－1)d ，将其中的
正整数自变量n换成实数自变量x，得到
y = a1＋(x－1)d = dx＋(a1－d)．
当d≠0 时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d )；
当d=0时，y=a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线．
等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．
当d>0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增；
当d<0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减；
当d=0时，y=a1 为水平方向的直线，数列{an }为常数列．
概念归纳
例 4　已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p，q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
取数列{an}中任意相邻两项an与an－1(n≥2)，作差得an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝p，
它是一个与n无关的常数，所以数列{an}一定是等差数列，且一次项系数p为该等差数列的公差.
课本例题
注：若 p=0，则an= q，数列{an}是常数列，也是等差数列．
例 5 已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点，
所以a2＝－1，a4＝－7，
因此，an＝2＋(n－1)×(－3)＝－3n＋5.
课本例题
(2)画出数列{an}的图象；
由(1)可知，
数列{an}的图象是均匀分布在直线
y＝－3x＋5上的一系列孤立点，如图.
(3)判断数列{an}的单调性.
由(1)可知公差d＝－3<0，所以等差数列{an}为递减数列.
例 6 已知等差数列{an}满足ap=q，aq=p，(p，q∈N+，p ≠ q)，求ap+q的值．
解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
a1＋(p－1) d=q，a1＋(q－1) d=p，
解得
a1=p＋q－1，d=－1，
因此，
ap+q=a1＋(p+q－1) d =(p＋q－1)＋(p+q－1) ×(－1) = 0．
课本例题
性质 如果数列{an}为等差数列，那么
an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d，
am=a1＋(m－1)d，
两式相减，得
an－am= (n－m)d，
即 an=am＋(n－m)d ．
概念归纳
例1　已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，求ap＋aq的值．
典例剖析
题型1　等差数列的通项公式的函数特征
利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，列方程组求解．
例 6 已知等差数列{an}满足ap=q，aq=p，(p，q∈N+，p ≠ q)，求ap+q的值．
解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
ap=a1＋(p－1) d=q， ① aq=a1＋(q－1) d=p，②
①－②得 ap－aq=(p－q) d，则 ③
③式从函数的观点看，等差数列{an}的任意两项的函数值之差与相
应自变量之差的比为公差d．于是将ap，aq，与ap+q，aq分别代入③式得
解得ap+q=0．
课本例题
1.在等差数列{an}中，am＝n，an＝m，则am＋n(　　)
A．0 B．m
C．n D．m＋n
练一练
A
例2　已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图象；
(3)判断这个数列的单调性．
题型2　等差数列的图象与一次函数的图象
典例剖析
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n，an)为坐标描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
归纳总结
D
练一练
例3　已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，求实数λ的取值范围．
典例剖析
题型3　等差数列的单调性与一次函数的单调性
归纳总结
3.在数列{an}中，an＝－3n＋18，则an的最大值为(　　)
A．15 B．0
C．6 D．不存在
解析：an＝－3n＋18对应的函数为y＝－3x＋18，易知它是R上的递减函数，
因此可知数列是递减数列，首项最大，
所以(an)max＝a1＝15.
练一练
A
1.对于数列{an}，“an＝kn＋b(k，b为常数)”是“数列{an}为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
随堂练
2.已知点(1,5)，(2,3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定
C
B
3.在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于（ ）
A.20 　　　　B.25 　　　　C.30 　　　　D.33
随堂练
D
（ ）
D
错因分析
易错辨析　忽视等差数列中的隐含条件致误
D
【易错警示】
出错原因
(1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误；
(2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误．
纠错心得
认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件．
错因分析
1.已知数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N＋)，则下列说法正确的是（ ）
A.数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列
B.数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列
C.数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列
D.数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列
B
分层练习-基础
2.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，公差d 等于（ ）
A.4 B.2
C.－2 D.2或－2
B
分层练习-基础
3.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为（ ）
4.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（ ）
A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
A
C
5.在数列{an}中，a1＝5,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则an等于（ ）
分层练习-基础
B
分层练习-基础
BD
（ ）
7.在数列{an}中，a1＝2，a8＝16，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 023＝________.
4 046
分层练习-基础
9.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值.
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，
得a＝－1，b＝m＋n.
所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
分层练习-基础
分层练习-基础
(2)求数列{an}的通项公式.
分层练习-基础
11.(多选)下列关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是（ ）
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列 是递增数列
D.数列{an＋3nd}是递增数列
分层练习-巩固
AD
12.等差数列an中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于（ ）
A.10 　　　　B.15 　　　　C.20 　　　　D.40
分层练习-巩固
B
（ ）
B
分层练习-巩固
分层练习-巩固
15.在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是______.
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
142
分层练习-拓展
记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y.
由第3列得a33＝2×103－2x，
所以2x＋y＝113. ①
由第1列得a21＝3y，
则由第2行得a23＝2×74－3y，
a33＋103＝a23＋2x，a23＝3×103－4x，
所以2×74－3y＝3×103－4x，
即4x－3y＝161， ②
由①②，得x＝50，y＝13，
故标有*号的空格应填142.
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
分层练习-拓展
所以满足条件的数列{an} 不唯一.
16.定义数列“从第二项起，若数列{an} 的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列{an} 为等平方差数列，d 叫作此数列的公平方差.”
已知数列{an} 为“等平方差数列”，且a1＝1，a5＝3.
(1)判断满足条件的数列{an} 是否唯一，并说明理由；
分层练习-拓展
(2)求正项数列{an} 的通项公式，并判断其单调性.
所以an＜an＋1，所以数列{an} 是递增数列.
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)等差数列通项公式与一次函数的关系.
(2)证明等差数列的方法.
(3)等差数列的项与项之间的性质及应用.
2.方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法.
3.常见误区：
(1)不注意运用性质而出错或解法烦琐.
(2)实际问题中项数的确定.
对于一般的等差数列{an }，其通项公式为an=a1＋(n－1)d ，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到
y = a1＋(x－1)d = dx＋(a1－d)．
等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．
当d>0时，直线y=d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增；
当d<0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减；
当d=0时，y=a1为水平方向的直线，数列{an }为常数列．
课堂小结